РАЗВИТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ



РАЗВИТИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ ПРИ ОБУЧЕНИИРЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..2 Глава 1. Теоретические основы развития геометрического мышленияшкольников     6

Понятие, сущность геометрического мышления…………………………6

Проблемные геометрическиезадачив развитии творческогоигеометрического мышления……………………………………………………14

Психологические особенности школьников при изучении геометрии изадач на построение…………………………………………………………….21Глава 2. Развитие геометрического мышления при обучении решению задачна построение в 7-9 классах…………………………………………………….30

Методики обучения решениюзадачна построение в7-9 классах

…………………………………………………………………………………....30

Исследованиеразвитиягеометрического мышления приобучениирешению задач на построение в 7-9 классах………………………………….37Заключение………………………………………………………………………52Список литературы……………………………………………………………...55

Введение

Темой работы является: «Развитие геометрического мышления приобучении решению задач на построение в основной школе». Она, ксожалению, не вызывает такой большой интерес на сегодняшний день, кактого заслуживает, хотя в курсе геометрии рассматриваются простейшиезадачи на построение. И тем не менее, в программе по математике дляосновной школы, сформированной в соответствии с  главныминаправлениями реформы образования, отмечается, что совершенствованиелогического и геометрического мышления является одной из самыхактуальных целей курса геометрии.

Формированием методов решения задач на построение математикизанимаются с древних времен. На протяжении многих не то, что лет, вековмыслители проявляли повышенный интерес именно к задачам на построение,связано это с их прикладной значимостью. Так, к примеру, в основепроектирования зданий, мостов, тоннелей, а также конструирование техникилежат геометрические построения.

Благодаря постановке и методам решения, задачи  на построениеиграют неоценимую роль в развитии школьников: именно они формируютнакопление различных геометрических представлений, стимулируютразвитие представлений самих геометрических фигур и способностьоперировать как свойствами, так и их элементами. Задачи на построениеразвивают геометрическую интуицию, логическое и творческое мышление.

Важной частью решения задач является алгоритмизированнаядеятельность школьников, которую организует учитель, требуя от нихоптимальной последовательности простейших построений. Кроме того,задачи на построение осуществляют приобщение к самостоятельнымисследованиям, а это очень важно при развитии умений и навыков. Решениезадач     на     построение     формирует     качества     личности,     такие     как

целеустремленность, внимание, инициативу, настойчивость,дисциплинированность, изобретательность и другие. Большинство задач напостроение не являются простыми. При этом не существует общегоалгоритма для решения абсолютно всех задач. Каждая задача по-своемууникальна, соответственно, требует индивидуального подхода для решения.Каждый набор задач дает богатый материал для индивидуальноготворческого поиска школьниками путей их решения при помощи своегоподсознания и интуиции.

В настоящее время существует большое количество исследований вобласти обучения решению задач на построение в основной школе, однакосуществует мало работ, посвященных развитию геометрического мышленияпри обучении решению задач на построение.

В возрасте 13-15 лет школьники проявляют повышенное вниманиеспособам достижения результатов, соответственно, учитель имеетвозможность заинтересовать их при помощи нестандартного подхода,  атакже наиболее популярных методик обучения.

Стоит отметить, что геометрическое мышление, которое развивается науроках геометрии, находит некоторые параллели в иных предметныхобластях знаний (химия, физика, география), соответственно, можетпослужить успешной аналогией при получении необходимых выводов,результатов, принципов.

В геометрии центральная роль отводится применению визуальнойинтуиции, она основывается на пространственных представлениях. Довольноочевидно, что оптимальное геометрическое рассуждение всегда связано соперированием целыми классами пространственных объектов. Образноемышление определяется высокой степенью абстракции, геометрическое жемышление представляет собой общность мышления и оперированияпространственными образами, направлено на установление специфическихотношений    между    этими    образами.    При    развитии    геометрического

мышления происходит переоценка логического мышления школьников исовершенствование мыслительной деятельности.

Сегодня нет общего и точного определения понятия геометрическогомышления. Вопрос совершенствования геометрического мышленияшкольника находится в центре внимания многочисленных работ по методикепреподавания геометрии, как в России, так и в других странах.

Современная система геометрического образования не в состоянииохватить совокупное многообразие качественных и количественныхизменений в области геометрического восприятия детей. Современномуучителю приходится формировать технологию освоения новыхпространственных отношений, чтобы компенсировать недостатокприсутствующей системы.

Гипотеза исследования. При помощи современных методик обучениярешению задач на построение в основной школе возможно развитьгеометрическое мышление школьников.

Объект исследования – геометрическое мышление.

Предмет исследования - развитие геометрического мышления приобучении решению задач на построение в основной школе.

Целью работы является раскрытие и обоснование таких понятий как:проблемные геометрические задачи в развитии геометрического мышления,методики развития геометрического мышления при обучении решению задачна построение в 7-9 классах, исследование развития геометрическогомышления при обучении решению этих задач.

В связи с поставленной целью необходимо разрешение следующихзадач:

В первой главе рассмотрены основы геометрического мышления,отмечена роль проблемных геометрических задач в развитиигеометрического и творческого мышления, исследованы психологическиеособенности школьников в процессе обучения задачам на построение.

Во второй главе представлены и рассмотрены самые распространенныеи эффективные методики развития геометрического мышления при обучениирешению задач на построение, проанализирован процесс обучения группышкольников, отмечены их основные результаты.

Методами исследования в данной работе являются:

Теоретической основой в работе являются труды заслуженных авторов,среди которых: Артыкбаева З. А. Архипова Т. Е., Белякова Т. Н., БерниковаИ. К., Бутяев М. А., Гламаздина Я. В., Горбачев В. И., Ермак Е. А.,Ибрагимова Н. И., Исаева М. А., Кайгородцева И. В., Кашлач И. Ф.,Короткова О. П., Круглова И. А., Маканкина О. В., Маматов М. Ш.,Пономарева Е. И., Ященко Л. А., Шебанова Л. П., Фомина М. Н., СмирноваВ. В., и других.

Работа состоит из введения, основной части, заключения, спискалитературы.

Глава 1. Теоретические основы развития геометрического мышленияшкольников

Понятие, сущность геометрического мышления

На сегодняшний день в программе математики исследуются моделиреального мира, где находят отражение особенности геометрии каксвоеобразной отрасли знаний, использующей оригинальные способыдостижения истины[3, стр.28-32].

Истина – характеристика знания со стороны его соотношения как сматериальным миром, так и с областью идеального. Из курса математическойлогики, к примеру, известны следующие тавтологии (тождественно истинныеформулы):

  1. закон исключенного третьего;
  2. закон доказательства разбором случаев;
  3. закон доказательства от противного;
  4. закон приведения к нелепости;
  5. закон снятия двойного отрицания.

Мышление – это процесс функционирования сознания, определяющийпознавательную деятельность человека и его способность выявлять исвязывать образы, представления, понятия, определить возможности ихизменения и применения. Оно является высшей формой отражениядействительности.

Сама по себе геометрия отражается разделом математики, носителемсобственного метода познания мира, в нем рассматриваются определенныеформы и взаимное расположение предметов, совершенствуютсяпространственные представления, а также геометрическое мышлениеучащихся,    приемы    конструктивной    деятельности.    Сегодня   геометрия

обладает огромным потенциалом применения в задачах геометрического илогического мышления.

Геометрическое мышление следует понимать как разновидностьобразного, чувственного мышления, важной составляющей  которогоявляется наглядно-образная часть, базируемая на оперировании образамигеометрических фигур.

Образное мышление – мышление, оперирующее не понятиями, аобразами.

Чувственное мышление – мышление, не нуждающееся в обязательномязыковом выражении, осуществляемое в форме представлений.

Поэтому, геометрическое мышление - психический процессмоделирования закономерностей геометрии по средствам формализации,абстрагирования и оперирования свойствами геометрических  фигур. Отметим его составляющие:

Можно сказать, что в последние годы математики проявляют большойинтерес к проблеме совершенствования геометрического мышления, ставятсявопросы об изменении общего школьного курса геометрии, внедрении в негокурса наглядной геометрии.

Сама по себе геометрия отражается разделом математики, носителемсобственного метода познания мира, в нем рассматриваются определенныеформы и взаимное расположение предметов, совершенствуютсяпространственные представления, а также геометрическое мышлениеучащихся, приемы конструктивной деятельности. Сегодня геометрияобладает огромным потенциалом применения в задачах геометрического илогического мышления.

Можно сказать, что в последние годы математики проявляют большойинтерес к проблеме совершенствования геометрического мышления, ставятсявопросы о кардинальном пересмотре общего школьного курса геометрии,внедрении курса наглядной геометрии.

Геометрия не может обходиться без наглядности. Созданиеотвлеченного геометрического мышления требует предварительногопополнения знаниями и формирования конкретных представлений. Умелое иудачное применение задач на построение побуждает школьников кпознавательной самостоятельности, повышает их интерес к геометрии, чтоявляется самым важным условием успеха[9, стр.25-28]. Также, в тесной связис наглядностью обучения находится практичность материала. В основном,конкретный материал для создания наглядных  геометрическихпредставлений берется из жизни. Решение задач на построение обеспечиваетсовершенствование творческих и геометрических способностей ребенка,повышает геометрическую интуицию, развивает его способности и личностьшкольника. Задачи предполагают совокупное развитие внимания, гибкостимышления, наблюдательности.

Геометрия насчитывает тысячелетнюю историю, но проблемахарактеристики законов геометрического мышления определяется связаннойс очень специфической проблемой, с течением времени изменяется сфераматематического восприятия, а также сама математика и представление огеометрическом мышлении. Однако приведенное нами определение являетсянаиболее исчерпывающим.

Полноценное геометрическое рассуждение неразрывно связано соперированием пространственными объектами, целыми классами данныхобъектов, которые сформированы по принципу «одинаковости».Геометрическое мышление реализуется при помощи пространственногомышления в виде тех или иных операций абстрагирования. Обучениешкольников пространственному и геометрическому мышлению формируетсяиз двух составляющих:

В методике обучения решению задач на построение отражена глубинаприсутствующих математических и геометрических представлений. Взависимости от общей сложности реализуемых преобразований можновыделить несколько типов оперирования пространственными образами припомощи геометрического мышления:

В основе развития геометрического мышления присутствует подход,который помогает реализовать деятельность школьников в процессе решениязадач на построение, учесть при этом индивидуальность каждого ученика.Формирование дополнительного материала по наглядной геометрии требуетглубокого осмысления присутствующего материала, создания серийвзаимосвязанных конструктивных задач.

Эти цели необходимо ставить при отборе дополнительного материаладля построения, в целом, задачи на построение реализуют развитие ушкольников следующих умений:

Геометрические построения отражаются существенным элементомизучения геометрии и формирования геометрического мышления. Внастоящее время в школьном курсе геометрии просматривается тенденцияуменьшения количества часов на исследование и решение задач напостроение. Она обуславливается тем, что сегодня снижена роль задач напостроение, которая не соответствует современным целям обучения[17,стр.31-35]. Большое внимание уделяется практическому значению задач, норедко рассматривается вопрос совершенствования геометрическогомышления школьников, а также возможности применять задачи напостроение при изучении предмета. Соответственно, можно отметить, чтознания учащихся по этой теме часто носят довольно формальный характер.

В целом, при изучении задач на построение, основным требованиемучителя отражается знание соответствующих алгоритмов формированияпостроений. В данном случае практически не уделяется внимание тому,чтобы объяснить, как получен этот алгоритм. По нашему  мнению,школьники вынуждены запоминать материал для решения задач напостроение без общего его понимания. Сегодня в школе недостаточноеколичество внимания уделяется рассмотрению главных методов решениязадач на построение:

В этом случае, у школьников отсутствует представление об этапахрешения данных задач, об анализе, построении, исследовании идоказательстве, которые соответствуют этапам логического игеометрического  мышления.  Сегодня  практически  не  уделяется  внимание

исследованию при построении, именно оно представляет собой отличноесредство совершенствования геометрического мышления[40, стр.97-101].

Стоит отметить, что в учебниках по геометрии для 7-9 класса задачи напостроение отражаются как самостоятельные, задаются в конце 7-го класса. Реализуются следующие элементарные построения:

Основным методом решения подобных задач на построениеопределяется метод геометрического места точек. В учебниках приводитсясхема решения, но не содержит их исследования, что негативно влияет наразвитие геометрического мышления.

Затем в 8-9 классе присутствуют задания на построение фигур поопределенным элементам. Четырехугольники и произвольные треугольникистроятся по углам и сторонам. В свою очередь, четырехугольникиспецифических видов строятся по диагоналям и сторонам. Исследуютсяприемы вписывания и описывания окружностей в четырехугольники итреугольники, анализируются этапы действий.

В связи с тем, что задания на построение формируют базу для работы,которая развивает навыки построения фигур, помогают формированию ушкольников умения понимать и читать чертеж, устанавливают необходимыесвязи между его частями, то отсутствие данной системы обуславливаетнедостаточное развитие геометрического мышления школьника, определяетнизкий уровень его графической культуры. Такие недостатки не позволяютшкольнику успешно изучать те разделы предмета, где самостоятельнореализованная графическая интерпретация помогает пониманию и усвоениюматериала.

При этом у школьников сильно повышается значимостьприсутствующих причинных связей в мышлении, можно сказать, чтопреобладает интерес к причинам явлений. Далее соотношение изменяется,мышление школьника начинает направляться на раскрытие всехсуществующих следствий[38, стр.417-422]. При установлении общихпричинно-следственных зависимостей в частных задачах, школьник можетначать понимать общие закономерности. Совершенно новый уровеньгеометрической мысли формируется также во взаимоотношениях речи игеометрического мышления, а также представления и наглядно-образногосодержания восприятия.

Развитие геометрического мышления школьника реализуется поэтапно.Оно представляет собой определенные ступени развития. В этом случае,высшие ступени, совершенствуясь, не вытесняют более низкие, а наоборот,развивают их.

Решение задач на построение, в целом, совершенствует геометрическоемышление учащихся. Практически нет иных задач, которые бы так помогалив развитии исследуемого мышления, ведь только задачи на построениесвязаны с представлением и образами. Присутствие анализа и реализациипостроения с последующим доказательством и исследованием помогаетвыработке у школьников навыков логики и геометрического мышления. Прирешении задач на построение ученики имеют дело не с определеннойфигурой, а с элементами, из которых должны сформировать некоторуюфигуру, которая подвергается характерным изменениям в процессе решения.

Роль задач на построение сложно переоценить в математическомразвитии школьников. По своей постановке и определенным методамрешения, они отражаются наилучшим способом стимулирования накоплениянекоторых геометрических представлений, а также совершенствуютспособность представлять ту или иную фигуру, повышают умение мысленнооперировать элементами фигуры. Кроме того, задачи на построениепомогают   пониманию   школьниками   происхождения   отдельных  фигур и

возможностей их преобразования, ведь эта тенденция является очень важнойпредпосылкой совершенствования геометрического мышления  учеников.Эти задачи развивают геометрическую интуицию.

Процесс создания геометрического мышления обязательно долженбыть непрерывным, целенаправленным, связанным с процессом обученияматематике на соответствующих ступенях обучения.

Найти решение задачи на построение – значит реализовать её сведениек конечному числу основных построений, указать конечнуюпоследовательность элементарных построений, после реализации которых,базовая фигура считается построенной в силу всех принятых конструктивныхрешений.

Сегодня в программе по математике  основной  школы,сформированной в соответствии с главными направлениями реформыпрофессиональной и общеобразовательной школы, отражается, чтосовершенствование геометрического мышления школьников  являетсяважной составляющей курса геометрии. Развитие  геометрическогомышления школьников реализуется, в основном в процессе решения задач.

Главной проблемой методики обучения является изучение ипостижение этапов решения задач на построение. При анализегеометрических построений, школьникам приходится преодолеватьразличные трудности геометрического и логического порядка. Можносказать, что в условиях школы для ликвидации этих трудностей необходимосопровождать конструкции фактическими построениями с помощьюконкретных инструментов, некоторых изображений, реализуемых от руки.

Основной процесс решения задач на построение сопровождаетсяисполнением определенных чертежей:

При этом решение задач на построение  совершенствуетгеометрическое мышление, укрепляет его правильность. Именно на такихзадачах, возможно, проследить совершенствование практически всех качествэтого мышления.

Трудности, которые связаны с реализацией исследования задачи, стоитразрешать при помощи анализа разных вариантов решения, умения охватитьи решить проблему. Учитель всегда должен давать школьникам посильныедля них задачи, но не исключать возможности повышения сложности. Стоитзаметить, что сегодня присутствует множество учебных пособий,дополнительных материалов, в которых представлены многочисленныеварианты задач на построение, при помощи которых, школьники могутрасширять свой геометрический кругозор, открывать для себя новыеварианты решений.

Очень важно вовремя развивать мышление у школьников, чтобы впроцессе обучения у них складывалось сочетание геометрического илогического мышлений, необходимого для применения в других сферахдеятельности, жизненных ситуациях, а также в возможной дальнейшейпрофессиональной деятельности. По нашему мнению, при помощи задач напостроение у детей складывается оптимальное видение объектов ипреобразований, что необходимо для более углубленного изучениягеометрии, понимания её закономерностей.

Проблемные геометрические задачи в развитии творческого игеометрического мышления

На сегодняшний день довольно хорошо известно, что для оптимальнойнаучной деятельности требуется не только понимание и знание, но исамостоятельное аналитическое и творческое мышление.

Для школьников, у которых практически не развито геометрическоемышление, задачи на построение, как правило, представляют собой реальнуюпроблемную ситуацию. Сама по себе проблемная ситуация состоит впсихическом состоянии интеллектуального затруднения школьника,вызванного сильным желанием решить задачу, а также в невозможностисделать это с помощью присутствующего запаса знаний.

Проблемную задачу можно представить, как проблему, решаемую приопределенных условиях. Ее отличие от самой проблемы состоит в том, чтодля первой заранее ограничено поле поиска решения. Любая проблемнаязадача содержит проблемную ситуацию, но не всякая проблемная ситуация ине всякая проблема являются задачами.

Исследование проблемных задач на построение отражается оченьважным этапом в самостоятельной познавательной геометрическойдеятельности школьников. Здесь отражается, что дано и что неизвестно,находится взаимосвязь между вопросом задачи и условием, устанавливаетсяхарактер задачи. Данные условия помогают сформулировать проблемузадачи, соответственно, представить её в форме цепочки проблемныхдействий или одной системы решений. Проблемная задача на построениеотличается от проблемы некоторой определенностью, а такжеограниченностью того, что дано в условии и что необходимо определить.

Оптимальная трансформация и формулировка проблемы в системуконкретных и четких вопросов – довольно весомый вклад в решение задачи.Затем необходимо последовательно действовать над каждым шагомпостроения.

На данном этапе формируются предложения и догадки о том, какможет решаться проблемная задача. Как правило, из общего количествапредположений и догадок выдвигается несколько гипотез, соответственно,они являются достаточно обоснованными геометрическими идеями.

В целом, проверка правильности решения проблемной задачиотражается    сопоставлением    цели,     условий    задачи,     непосредственно

полученного результата. Огромное значение имеет исследование всего путипроблемного поиска. Именно здесь школьники должны подключать своегеометрическое мышление. Очень важно реализовать анализ ошибок иуяснить суть неверных гипотез и предположений. Именно это помогаетпроверить правильность решения некоторой проблемы, а также получитьценный опыт и знания, развивать геометрическое мышление.

Главной характерной чертой задач на построение является то, что онине всегда имеют определенный завершенный ответ, так как школьник можетне раз углубиться в изучение некоторого вопроса. При этом самостоятельноерешение подобного рода задач помогает школьникам тренироватьгеометрическое мышление, формировать любовь к научным проблемам.

Ранее все учителя математики могли искренне похвастатьсяприсутствующим разнообразием наглядного материала в кабинетах. Затемпереход от плоскости к пространству реализовывался через принципнаглядности, все скрещивающиеся прямые можно было не только увидеть,но и осязать.

Современные школьники при ознакомлении с чертежом не могутпонять, почему прямыеSB иDC не пересекаются, в данном случае нарисунке присутствует точка пересечения и она отчетливо видна. Очевидно,что данная ошибка типична для сегодняшних учащихся (рисунок 1 – первыйчертеж).

Рис. 1 Пересечение прямых в пространстве

Также на рисунке 1 (2 и 3 чертеж) иллюстрирован метод следов приреальном построении сеченияKML. Можно сказать, что  пересекатьсяпрямые могут только тогда, когда лежат в одной плоскости, но этот фактпасует перед плоским изображением трехмерного геометрического объекта.

Формирование у каждого ученика геометрического мышленияпроисходит по-разному, у кого-то раньше, у кого-то позднее. При этомкаждый должен иметь прямую возможность проанализировать реальнуюмодель до тех пор, пока в должной мере не произойдет переход наабстрактный уровень.

Геометрическое мышление создает у школьников представление обобъекте на базе чувственных, а также осязаемых восприятий.  Присутствуюти проблемные задачи на построение некоторых геометрических объектов безчертежей.Среди данных геометрических объектов можно назвать:

Очень большое значение занимают проблемные геометрическиезадания на построение, где необходимо построить пирамиду (рис. 2). К и Мявляются серединами сторон СD иAD, соответственно.При этом искомая пирамида имеет основание MKD.

Рис. 2 Задача на построение пирамиды

При решении задач на построение всегда необходимо строгоематематическое обоснование, как получен итоговый результат. Впредставленном случае необходимо доказать, что полученная фигура иправда является пирамидой.

Построение пирамиды реализуется следующим образом:AB=BC– онисоединяются, затем АМ присоединяется кMD (они являются равнымиотрезками), СК соединяется сKD. В данном случае, не сложно доказать,  чтов результате данного складывания получится прямоугольная пирамида.

Основная сложность в задачи на построение правильного треугольникасостоит в необходимости получить угол в 60 градусов, а также разделитьпрямой угол на 3 равные части. При этом наш способ не единственный приформировании правильного треугольника. В целом, решение задачиопирается на определение правильного треугольника, ведь у негоприсутствуют равные стороны, свойство высоты треугольника, котораяпроведена к основанию и является медианой.

Можно сказать, что развитие геометрического мышления начинается сдетства, продолжается в школе. Создание представлений человека опространстве продолжается и в будущем, а иногда и всю жизнь.Геометрическое мышление связано с пространственными формами ичертежами. Очень часто школьники владеют этими геометрическимиформами не достаточно хорошо. При этом учитель должен реализовыватьдейственные меры по исправлению подобных ситуации.

Решение проблемных задач на построение отражается описаниемпоследовательности шагов с применением главных построений, приводящейк формированию искомой фигуры. Для того чтобы найти даннуюпоследовательность необходимо составить план решения проблемной задачи.Если школьник предполагает, что задача решена, реализует выполнениепримерного чертежа искомой фигуры, затем отмечает углы и отрезки,которые известны из условия задачи, старается определить к нахождениюкакой  точки  (угла  или  прямой)  сводится  решение  этой  задачи.        Далее

необходимо найти зависимость между искомыми величинами и данными, чтопомогает сформировать искомую точку.

На наш взгляд, составление плана отражается важной частью решенияпроблемной задачи, здесь школьник может проявить смекалку, а такжеиспользовать своё геометрическое мышление, сформировать некоторыйпространственный образ.

Сформировав план, выполнив анализ, школьник описывает самопостроение. Оно может содержать только главные построения иэлементарные действия с линейкой и циркулем. Затем требуется привестиреальное доказательство того, что сформированная фигура удовлетворяетвсем представленным условиям задачи, потом реализовать исследование,выяснить, всегда ли возможно построение описанного объекта.

Основной метод геометрических преобразований при построениивключает в себя:

Большинство проблемных геометрических задач на построение играетдовольно важную роль в обучении, которая сводится к характеристикам:

Применением геометрического мышления начинается с формированияпроблемы, задачи, вопроса. В целом, оно реализуется в виде активногопроцесса преобразования некоторого условия, оперирования образами,осознания итогов работы. Можно сказать, что умение думать над условием ирешением проблемной задачи на построение развивает все основныекомпоненты геометрического мышления.

Уровень активности геометрического мышления отражаетсясовокупной степенью сложности решаемой задачи. Самыми творческимиможно назвать задачи, решение которых связано с открытием нового,которое ранее не было известно школьнику:

Большую роль играет и то, в каком виде школьнику представленазадача, дана ли она в общем наглядном практическом плане, которыйдопускает действия с предметами в наглядном или словесном виде. При этомсложность процесса мышления повышается, когда процесс поиска решениязадачи протекает целиком в умственном плане.

Стоит отметить характерные проявления гибкости геометрическогомышления школьников:

Глубина геометрического мышления определяется  умениемшкольника:

Можно сказать, что глубину геометрического мышления  можносчитать качеством, создание которого у школьников отражается оченьважным условием эффективности обучения геометрии и математики, вцелом. Соответственно, глубина геометрического и творческого мышленияотражается в умении отделить главное от второстепенного в проблемнойзадаче, обнаружить некоторую структуру рассуждения, а также отделить то,что строго доказано.

Общая целенаправленность геометрического мышления определяется:

Специально подобранные учителем задачи помогают входить визучение новой темы, в этом случае школьники рассматриваютпоследовательность исследования всех относящихся к проблемной задачевопросов.

Психологические особенности школьников при изучении геометриии задач на построение

Школьники 7-9 класса определяются как ученики основной школы.Построение учебной деятельности для данных школьников характеризуетсядостижением жизненных планов, соответственно процесс обучениянаправлен на структурную организацию, а также систематизациюиндивидуального опыта, с помощью пополнения.

Совершенствование познавательных процессов в рассматриваемомпериоде достигает высокого уровня, школьники наравне с взрослымивыполняют умственную работу. Именно с этого качества детей вовлекают вплодотворное изучение геометрии на уровне 7-9 класса. При этом ушкольников качественно совершенствуется геометрическое мышление, покане достигнет теоретического уровня.

В рассматриваемом периоде времени школьники стараютсясопоставить некоторые теории, а также докопаться до истины. Главнойфункцией учителя при этом – сформулировать для школьников информациюдля размышления, осуществлять решение задач на построение, которыебудут иметь высокую степень проблемности. При  этом школьникидостигают формирования собственного мнения. Контакт с учителемпозволяет лучше усвоить решение задачи на построение. Можно сказать, чтоздесь создается индивидуальный стиль решения задач, которыйформулируется на базе геометрического мышления конкретного школьника.

Основной задачей учителя является достижение  различногосодержания обучения с помощью пополнения его информацией овозможности построения:

В 7-9 классе ученики всеми способами стараются избежать излишнейопеки.Здесь при переходе от подростка к юношеству формируется:

Для решения задач на построение в 7-9 классе школьники применяютсвой стиль. Активно происходит совершенствование мотивированной сферы.Основное место в обучении занимают мотивы, которые связаны ссамоопределением. Создаются различные интересы к теоретическим ипрактическим проблемам, поискам решения.

Возраст школьников связан с определением собственной значимости.Ему свойственен самоанализ. В этом возрасте школьника можнозаинтересовать результатами его деятельности, перспективами жизни.

В 7-9 классе школьники находятся на таком развитии, при котором онинаиболее обучаемы, в этом возрасте они более серьезны, более объективносмотрят на то, что необходимо серьезно подходить к решениям различныхситуаций.

Учитель в таком случае должен заинтересовать школьника в получениилучшего результата решения задачи на построение. Только тогда у негосложится восприятие, что нужно развивать свои навыки и добиватьсябольшего результата, разрешать цели и задачи.

Чтобы ученик успешно учился, необходим конкретный алгоритмдействия. Соответственно необходимо найти то, что будет его мотивироватьи направлять к учебе. Учитель должен иметь конкретные действия дляформирования у школьников соответствующей мотивации.

В случае, когда учитель имеет алгоритм, должна быть конкретная цель.Здесь целью является достижение школьником нужных результатов вобучении.

Для одних школьников самой лучшей мотивацией является похвала ихорошая отметка, для других стимулом будет неудовлетворительная оценка и

желание исправить свои ошибки. Обоих должен интересовать сам процессрешения подобных задач на построение.

Но, в общем, независимо от мотивов на решение задач на построение,учитель должен стремиться, чтобы любой ученик стал субъектомдеятельности в процессе обучения. Чтобы это произошло, необходимо, чтобыабсолютно все стороны учебно-воспитательного процесса содействовалиданному становлению, были направлены на воспитание ученика,  каксубъекта своей деятельности.

На сегодняшний день школьный курс геометрии очень отстает пообобщенности знаний как науки. Если повысить успешностьинформационной ценности знаний, которые изучаются, сократится время наусвоение материала. Так же и со школьниками,  необходимо ускоритьпроцесс восприятия и понимания учеником поставленного материала, чтобыповысить эффективность решения задач на построение.

Когда интерес школьника проявится необходимо постоянно егоподдерживать, давать пищу для размышлений. Заинтересованность тожеприсуща данному возрасту. Ученика намного проще заинтересоватьпроцессом достижения результата, чем самим результатом.

Конечно, каждый ученик будет рад своим успехам, но кому-то на этопонадобится меньшее время и меньше усилий. Все школьники разные,соответственно, к каждому нужен индивидуальный подход. Возрастныеособенности у разных школьников проявляются абсолютно индивидуально.Особенно важно уделять внимание чувственно-эмоционально сферешкольников, изучению потребностей, инициативы и т. д.

Определение геометрических способностей школьников и условий ихсоздания и совершенствования достаточно важно для практики школьногообучения. Всё потому, что математика является одним из важных предметов,занимает ¾ всего курса обучения в школе, ⅓ занятий занимает геометрия.

Геометрические способности школьников являются качественнойспециализацией общих процессов интеллектуальной способности, а такжекомпонентами этой деятельности.

Рассматриваемый школьный возраст можно по праву считать временемактивного мировоззренческого поиска, где центром является смысл жизни.Современное обучение предполагает высокие требования к образованию.Геометрические знания достаточно уникальная наука с  достаточноширокими требованиями.Ученики должны проявлять инициативу в учебе, а также качества:

Учитель, при учете возрастных особенностей привык опираться наобщие данные возрастной психологии. По общим критериям педагогикиопределяются индивидуальные различия воспитания и  обученияшкольников.

В лучшем случае, учителю необходимо полагаться на личный методобучения, так как в процессе опыта учитель усваивает лучшие методыобучения и успешно их применяет.

Обучение учащихся должно характеризовать условия увлеченияпредметом, где большое внимание уделяется развитию геометрическогомышления.

Существует понятие индивидуализации обучения. Индивидуализацияобучения определяется организацией учебного процесса при учетеиндивидуальных особенностей учащихся, что помогает сформироватьоптимальные условия для реализации всех возможностей каждого ученика.

В психолого-педагогической науке проблема учета индивидуальныхособенностей наиболее актуальна. При обучении школьников необходимоориентироваться на средний уровень развития способностей и реализовывать

потенциальные возможности школьника. Средствами индивидуализацииможно назвать индивидуальные и групповые занятия. Любое занятиепредполагает продвижение ученика на более высокий уровень знаний испособностей.

Учитель обязан предвидеть затруднения ученика в процессе обучения,предложить пути преодоления подобных ситуаций. Очень сложен процессподбора индивидуальных геометрических заданий, нельзя  даватьшкольникам задания разного уровня сложности, так как это только усугубитнедостатки в развитии школьника. Таких учеников необходимо вовлекать впосильную для них работу, а уже позже усложнять задание. Кроме того,необходимо учитывать все имеющиеся у учащихся пробелы и формироватьзадания на ранее изученный материал.

Математику, в том числе геометрию, можно назвать одним из опорныхпредметов, т. к. она участвует в изучении многих других предметов.Совершенствование геометрического мышления при обучении математикепомогает усвоению предметов. Для полного развития школьниковнеобходимы практические умения и навыки.

Реализация эффекта обучения геометрии происходит на основедостижения деятельностного подхода, направленного на совершенствованиелюбого ученика, а также развитие индивидуальных способностейшкольников.

При исследовательской работе школьники должны находить способырешения задач на построение, достижения их, пытаются обобщатьполученные результаты и реализовывать их для решения проблем.

В наше время тенденции образования нацелены на повышениеположений отечественной и западной педагогики, происходит формированиедоверительных отношений между учителем и учеником. Учитель геометрии,который приступает к определению новой темы, изначально имеет дело сзадачами, которые необходимо усвоить детям на уроке. Такие задачиприменяются  практически  на  каждом  уроке  для  усвоения геометрических

понятий, а также создания необходимых умений и навыков. Очень важновыполнять задачи в конкретной последовательности. Усвоение задач напостроение является прямым продуктом для создания элементарных  знанийи умений школьников.

Задачи на построение повышенной трудности являются предметомактивного употребления в образовательной практике. Основным продуктомрешения задач на построение повышенной трудности можно назватьзакономерности, формирования большей сферы реализации знаний.Наиболее важным моментом обучения учащихся является решениенестандартных задач на построение. Именно подобное обучение учащихсявыступает залогом удачного решения всевозможных задач.

В общем смысле универсальные учебные действия определяютсянекоторой способностью школьника к саморазвитию с помощьюсознательного присвоения нового опыта.Среды функций учебных действий можно назвать:

Кроме того стоит охарактеризовать взаимодополняющие положения,отражающие взаимодействия в учебном процессе:

Чтобы эти знания школьников были результатом их поисковобязательно формировать познавательную деятельность. Простую задачу напостроение необходимо также ставить приоритетной целью школьника,чтобы он самостоятельно мог ставить цели, формировать пути ихосуществления, а также развивать умение учиться.

Базой для обучения должен быть принцип деятельностного подхода.Сам по себе такой подход определяется процессом деятельности человека,который направлен на формирование его сознания и личности в целом. С еепомощью человек формирует самоактуализацию личности.

Деятельностный подход является процессом воспитания, образования,основой которого является методологический базис, отражающий многиесистемы обучения и воспитания. Обучение деятельности в воспитательномсмысле означает формирование цели для ученика и путей её достижения.Через образовательную технологию формируются принципыдеятельностного подхода.

Таким образом, сделаем краткий вывод по первой главе. В настоящеевремя в программе математики исследуются определенные моделигеометрического образования школьников, где находят отражениеособенности геометрии как своеобразной отрасли знаний, использующейоригинальные способы достижения истины[3, стр.28-32].

Геометрическое мышление, по нашему мнению, следует  определятькак психический процесс моделирования закономерностей геометрии посредствам абстрагирования и оперирования свойствами геометрическихфигур.

Полноценное геометрическое рассуждение неразрывно связано соперированием пространственными объектами, целыми классами данныхобъектов, которые сформированы по принципу «одинаковости».

Найти решение задачи на построение – значит реализовать её сведениек  конечному  числу  элементарных  построений,  после  реализации которых,

базовая фигура считается построенной в силу всех принятых конструктивныхрешений.

Главной проблемой методики обучения решению этих  задачотражается методика внедрения и изучения этапов решения.  Дляшкольников, у которых практически не развито геометрическое мышление,задачи на построение, как правило, представляют собой реальнуюпроблемную ситуацию. Сама по себе проблемная ситуация состоит впсихическом состоянии интеллектуального затруднения школьника,вызванного сильным желанием решить задачу, а также в невозможностисделать это с помощью присутствующего запаса знаний.

Глава 2. Развитие геометрического мышления при обучении решениюзадач на построение в 7-9 классах

Методики обучения решению задач на построение в 7-9 классах

На сегодняшний день присутствует множество методик решения задачна построение, но практически отсутствуют методики развитиягеометрического мышления.

На наш взгляд, лучше всего развивать мышление школьников припомощи решения проблемных геометрических задач на построение. Поискрешения задачи на построение определяется сведением её к конечному числуэлементарных построений, отражение конечной последовательности этихпостроений, после реализации которых, искомую фигуру можно считатьпостроенной в силу всех принятых предположений конструктивнойгеометрии. Среди главных проблем методики обучения решению задач напостроение можно назвать методику изучения и введения этапов решенияпроблемных задач.

Процесс решения задачи разбивают на 4 главных этапа, каждый изкоторых соответствует задачам развития геометрического мышления:

Анализ проблемной задачи является одним из самых важных этаповрешения задачи, его можно определить как поиск способа решения задачи.Здесь подмечаются зависимости между данными в условии элементамиискомой фигуры, они помогают в дальнейшем осуществить построение.Здесь школьники применяют геометрическое и пространственное мышление.Для того чтобы облегчить себе поиск необходимых связей между базовойфигурой   и   искомой   фигурой,   при   помощи   геометрического мышления

формируется чертеж, составляется чертеж-набросок. Подобныйчертежможно выполнить от руки.

При этом на вспомогательном чертеже необходимо выделить всеприсутствующие элементы и особо из них искомые. В целом, удобнееначинать формировать построение вспомогательного чертежа с примерногоизображения исходной фигуры, пристраивая к ему данные элементов.

В случае если вспомогательный чертеж не подсказывает способапостроения необходимой фигуры, школьники должны попытаться выделитьнекоторую часть искомой фигуры, далее воспользоваться ею для построениярешения.

Кроме того, следует учитывать некоторые моменты, сопряженные сприменением геометрического мышления:

На этом этапе решения проблемной задачи активно развиваются:

выходить за существующие границы способа действия и формировать новыеспособы решения проблем при преобразовании задаваемых условий;

Далее рассмотрим этап построения.

Второй этап разрешения проблемных задач на построение формируетсяиз двух частей:

- выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежныхинструментов. В целом, решить задачу при помощи конкретныхинструментов – значит указать итоговую совокупность допустимых,элементарных построений, осуществление которых в определеннойпоследовательности дает решение проблемной задачи.

Этот этап проводится при непосредственном решении задачи напостроение первым способом. Решение одной и той же задачи многимиспособами повышает интерес школьников к подобным задачам, повышаетуровень геометрического мышления. В целом, разными способамиэффективно решать задачи в конце учебного года, когда происходитповторение курса геометрии и учащиеся уже имеют навыки геометрическогомышления при решении задач на построение. Также, проблемные задачи,которые допускают множественные способы решения, стоит задавать на дом,чтобы школьники решили её, а также нашли самый простой способ решения.

На этом этапе большее развитие получают качества геометрическогомышления как:

К главным методам решения проблемных задач на построение,изучаемых в основной школе, можно отнести:

  1. метод геометрических мест;
  2. методы геометрических преобразований;а) метод центральной симметрии;

б) метод осевой симметрии;

в) метод параллельного переноса;г) метод поворота;

д) метод подобия;

е) алгебраический метод.

Все названные методы отражаются одним из видов использованияна практике присутствующих геометрических понятий, которыеформируют основу этих методов.

Соответственно, без хорошего знания соответствующих понятий ивытекающих из них свойств геометрических фигур школьниками немогут быть использованы все методы. Учитель должен подбиратьсистему задач на построение так, чтобы  все  решаемые  задачиповышали и углубляли знания школьников, развивали геометрическоемышление.

В случае если задача решается несколькими способами,исследуемый метод должен помогать решить проблемную задачунаиболее удобным из них.

Все методы необходимо применять непосредственно для решениягеометрических задач на построение, которые содержат некоторуюпроблему. В подобном случае, учитель должен обращать внимание насовершенствование инициативы учащихся, привитие им интереса инавыков к решению данных задач.

Далее рассмотрим процесс доказательства. После того, как искомаяфигура была построена, стоит установить, удовлетворяет ли она всемусловиям задачи. В таком случае, доказательство существенно зависит отспособа построения фигуры. Доказательство представляет собой частьрешения задачи, по своему геометрическому содержанию обратную анализу.

Между доказательством, построением и анализом присутствуетвзаимообусловленность и взаимосвязь. Построение реализуется по плану,который был составлен при анализе. Построение и доказательствоопределяются некоторые специфическим критерием рациональности иправильности составленного плана. В случае, когда план невозможнореализовать соответствующими инструментами или же построениеотражается нерациональным, необходимо искать новый план решения.

На этапе доказательства активно совершенствуются: критичность иглубина геометрического мышления, ведь на этом этапе необходимопроникать в сущность всех изучаемых факторов, а также в их взаимосвязи сиными факторами, возможно, заново прослеживать ход рассуждения, чтобыобнаружить ошибку или противоречие.

Следующий этап – исследование.

В исследовании задачи, как правило, рассматривается конкретныйметод построения, полученный в анализе задачи. Поэтому в первую очередьнеобходимо ответить на вопрос, любая ли фигура, удовлетворяющаяпоставленным условиям, может быть найдена конкретным способом,полученным в анализе. Ответ на этот вопрос следует из грамотнопроведенного анализа задачи. После этого исследуется используемый методрешения задачи. При этом выясняется:

Содержание исследования формирует рассмотрение подобныхвопросов. Соответственно, исследование имеет целью установить всеусловия разрешимости и определить некоторое число решений. Частошкольники проводят исследование, произвольно выбирая случаи.

У учеников должен возникнуть еще один вопрос, ответ на который онидолжны получить вместе с учителем. Что такое решение задачи напостроение и когда они различны. При ответе следует рассмотреть два типазадач на построение: задачи со связанным и свободным решением.

Изначально рассмотрим необходимое количество часов наисследование тем, связанных с построением в 7  классе:

Также рассмотрим количество часов, которое отводится наизучение задач на построение в 8  классе:

Рассмотрим необходимое количество часов на изучение некоторых тем,которые связаны с решением задач на построение, при которых развиваетсягеометрическое мышление (9 класс):

В результате школьники должны уметь:

Для того чтобы оценить эффективность развития геометрическогомышления при решении задач на построение реализуем исследование наоснове группы школьников основной школы.

Исследование развития геометрического мышления при обучениирешению задач на построение в 7-9 классах

Для того чтобы оценить эффективность развития геометрическогомышления при решении задач на построение нами реализовано исследованиев группе школьников основной школы. Исследование было проведено вгруппе учеников основной школы, состоящей из 10 человек ОУ №1.Основной целью реализации этого исследования можно назвать: анализэффективности развития геометрического мышления при обучениишкольников решению задач на построение.

Изначально отразим присутствующий уровень геометрическогоразвития школьников (таблица 1)

Таблица 1 – Уровень знания школьников до начала экспериментальной

работы

Имя

Класс

Уровень развития геометрического мышления

Умение решатьзадачи напостроение

Владимир

8

Низкий

Не умеет, решаеттолько с помощьюучителя

Кристина

8

Низкий

Умеет решатьпростые задачитолько с помощьюучителя

Иван

8

Средний

Умеет решатьтолько простыезадачи

Ирина

8

Низкий

Не умеет, решаеттолько с помощьюучителя

Елена

8

Низкий

Умеет решать только простые

задачи

Анатолий

9

Низкий

Умеет решатьпростые задачитолько с помощьюучителя

Татьяна

8

Средний

Умеет решатьтолько простыезадачи

Юлия

8

Низкий

Не умеет, решаеттолько с помощьюучителя

Юрий

9

Низкий

Не умеет, решаеттолько с помощьюучителя

Сергей

8

Низкий

Не умеет, решаеттолько с помощьюучителя

Можно сказать, что большинство школьников практически не имеютнавыков решения задач на построение, или решают задачи при помощиучителя. Двое учеников имеют средний уровень развития, но у данныхшкольников присутствуют затруднения с решением проблемных задач.

При поставленной цели необходимо разрешение следующих задач:

Стоит отметить, что школьники экспериментальной группыпрактически не занимались решением задач на построение в связи с тем, чтона данные задания отводится малое количество часов, и школьники неуспевают овладеть всеми навыками решения проблемных задач.

Отразим на диаграмме уровень развития геометрического мышленияшкольников до начала опытной проверки (рис. 3).

Рис. 3 Уровень развития геометрического развития школьников до начала эксперимента

Занятия со школьниками проводились во время уроков геометрии,были сформированы на базе исследования математической, учебной иметодической литературы. При преподавании было также реализованоанкетирование среди учителей математики школы.

Проанализируем результаты ответов при проведении анкетирования:

Практически все учителя на данный вопрос ответили, что школьникине видят с чего начать построение, соответственно возникает проблема, а наанализ задачи уходит огромное количество времени;

тем?

Практически все учителя ответили, что не имеют возможностивернуться к этим задачам в связи с недостатком времени на уроках, иногдазадают их школьникам в виде самостоятельной домашней работы;

-Достаточно ли внимания уделяется задачам на построение вучебниках по геометрии?

Все учителя считают, что в учебниках геометрии недостаточноуделяется внимания задачам на построение;

Все учителя считают, что элективные курсы и факультативные курсыпо этой теме стоит применять. Эти занятия особенно необходимы в 8-9классах. Самое оптимальное количество занятий составляет 18-20 часов;

По мнению учителей, изначально стоит обращать внимание на анализрешения задач, затем на исследование и формирование чертежа при помощичертежных инструментов.

По результатам этого анкетирования, стоит отметить, что школьникиплохо представляют как решать данные задачи, практически не знают этапови не имеют четкого представления о методах, решение задач вызывает у нихтрудность.

Затем была проведена проверочная работа, содержащая 3 задачи, ихнеобходимо было решить за 1 час.Отразим данные задачи:

  1. Найти точку, равноудаленную от трех данных точек.
  2. Построить треугольник по данному основанию, боковой стороне ивысоте, опущенной на основание.
  3. Постройте треугольникABCпо углуAи  медианеAM, еслиизвестно, чтоAB :AC= 2 : 3.

Основные результаты диагностирующей контрольнойработы

отражены в таблице 2.

Таблица 2 - Результаты диагностирующей контрольной работы

№ задачи

1

2

3

Количествоучеников, которыесмогли решитьзадачи

3

2

5

Доля учеников,решивших задачи впроцентах

33

20

47

Далее было реализовано занятие на повторение основных приемовпостроения, на дом детям было дано задание, решить задачи на построениеметодом подобия.

На следующем занятии была исследована тема: «Методы  решениязадач на построение». Была решена задача совместно с учителем.

Задача.Построить треугольникАВСпо двум высотам, проведенным извершинВиС, и по медиане, проведенной из вершиныА.

Решение.

Рис. 4 Решение задачи в виде построения

Предположим, что треугольникАВСпостроен.

Опустим из серединыА1стороныВСперпендикулярыА1В'иА1С'напрямыеАСиАВсоответственно.

Ясно, чтоАА1=ma,А1В'=построение.

hb

иА1С'=

2

. Из этого вытекает следующее

2

Строим   отрезокАА1длинойma.   Затем   строим     прямоугольные

треугольникиАА1В'иАА1С'по известным катетам и гипотенузе так, чтобыони лежали по разные стороны от прямойАА1. Остается построить точкиВиСна сторонахАС'иАВ'углаС'АВ'так, чтобы отрезокВСделился точкойА1пополам.

Для этого отложим на лучеАА1отрезокAD = 2АА1, а затем проведемчерез точкуDпрямые, параллельные сторонам углаС'АВ'.

Точки пересечения этих прямых со сторонами углаС'АВ'являютсявершинами искомого треугольника (рис. 4).

На следующем занятии была реализована проверочная работа саналогичными задачами на построение.Результаты проведенной работы отражены в таблице 3.

№ задачи

1

2

3

Количествоучеников,которыесмогли решитьзадачи

2

1

4

Доля учеников,решивших задачи впроцентах

20

10

40

Из 10 школьников только 7 человек смогли решить данные задачи ивыполнить контрольную работу. Трое учеников не смогли решить задачи всвязи с трудностями с построением.

На следующем занятии школьники решали задачи более сложногоуровня, учитель помогал ученикам с индивидуальными трудностями.

Задача. Построить трапециюABCDпо углуАи основаниюВС, еслиизвестно, чтоAB:CD:AD= 1:2:3.

Решение.

Рис. 5 Известный угол

Рис. 6 Основание для решения задачи

Задачу надо понимать так: даны уголhkи отрезокPQ(рис. 5). Требуется построить с помощью циркуля и линейки трапециюABCD, у которойÐA =Ðhk,BC =PQ, а остальные три стороныАВ,CDиADотносятся как 1:2:3. Построим сначала какую-нибудь трапециюAB1C1D1, у которойÐА =ÐhkиAB1:C1D1:AD1= 1:2:3.

Это сделать совсем не трудно. Строим уголА, равный данному углу,   и

на  его  сторонах  откладываем  произвольный  отрезокАВ1и  отрезокAD1=

3AB1(рис. 6).

После этого через точкуВ1, проводим прямуюl, параллельнуюAD1истроим окружность радиуса2АВ1, с центром в точкеD1,. Эта окружностьпересекает прямуюlв двух точкахС1иC1'.

Итак, мы построили две трапецииAB1C1DlиАВ1С1'D1, у которых

ÐA =Ðhkи  стороныАВ1,  ВС11С1')иC1Dl1'D1)относятся  как

1:2:3.

Возьмем одну из этих трапеций, например,AB1C1Dl, проведем   прямую

АС1, и построим отрезокВСс концами на сторонах углаВ1АС1, которыйпараллеленB1C1и равенPQ.

Это можно сделать так: на лучеAD1откладываем отрезокAE =PQичерез точкуЕпроводим прямую, параллельнуюAB1. Она пересекается спрямойАС1в точкеС(рис. 7).

Через точкуСпроводим прямую, параллельнуюB1C1, и получаем точкуВ. Очевидно, отрезокВСравенPQ. Остается провести через точкуСпрямую,параллельнуюC1Dl. Она пересекает лучAD1, в точкеD.

ТрапецияABCDискомая.  В  самом  деле,ÐА=Ðhk,BC  =PQи

AB AB1

=ACAC1

=CD

C1D1

=ADAD1

(это следует из подобия треугольниковABCиAB1C1,

ACDиAС1D1). Отсюда получаем, чтоABD:AD=AB1:C1D1:AD1= 1:2:3.

Рис. 6 Полученное построение

Построенная трапецияABCDудовлетворяет всем условиям задачи.Если вместо трапецииAB1C1Dlвзять трапециюАВ1С1'D1и проделать  такиеже построения, то получим второе решение задачи (рис. 7). Итак, даннаязадача имеет два решения.

Рис. 7 Итоговое построение

Перед проведением этих занятий уровень знаний школьников былзначительно ниже, чем средний, после реализации проведения занятий онувеличился.

В целом, положительная тенденция замечена в  следующихпоказателях:

Отразим на рисунках 8 и 9 результаты решения простейших задач до ипосле опытной проверки.

Рис. 8 Результаты решения простейших задач после эксперимента

Как уже было замечено, уровень геометрического  развитияшкольников низкий и они практически не умеют решать задачи напостроение.

Рис. 9 Результаты решения простейших задач после эксперимента

В результате проведенного исследования можно сказать, что знанияшкольников в области геометрии повысились. Теперь школьники имеютпредставления о том, как решать задачи на построение, всё чаще применяютсвоё геометрическое мышление, тем самым его развивают.

Впоследствии, на остальных занятиях были реализованы исследованияпроблемных задач на построение, их решение. Во многих случаях к задачамбыли применены разные типы решения, применялись разные методы.

Чтобы закрепить полученные знания, школьникам дали задание навыполнение задачи на построение по всем этапам.

Постройте остроугольный треугольникАВСпо сумме угловВиА,высотеВDи сторонеАС.

Решение

Дан угол, представляющий сумму угловАиВ, отрезокАСи отрезокВD. Требуется построить такой треугольникАВС, в котором уголС1= 1800 -(уголА1+ уголВ1), высотаB1D1равна отрезкуВD,сторонаА1С1равна отрезкуАС.

Анализ.

Рис. 10 Условие задачи

Допустим, что такой треугольник построен. Нам известна сумма угловАиВ=> мы можем найти уголС1. Затем построим∆СВDпо катету ипротиволежащему углу. А потом достроим∆АВС.

Построение

  1. Построить прямуюа.
  2. Построить перпендикуляр (прямаяb) к прямойа.
  3. Отложить отрезокВ1D1, равныйВD.
  4. Построить отдельно уголС1= 1800- ( уголА1+ уголВ1).
  5. Построить уголВ1=900- уголС1.
  6. С1-точка пересечения.
  7. На прямойbпровести окружностьR=АСи с центромС1.
  8. А1- точка пересечения.
  9. А1иВ1соединить.
  10. А1В1С1- искомый.

Доказательство

Рис. 11 Итоговое построение

  1. ВD= B1D1(по построению).

  1. уголС1=1800-( уголА1+уголВ1)(по построению).
  2. А1С1=АС(по построению).
  3. А1В1С1- искомый. Исследование

Задача имеет решение всегда.

Чтобы отразить успешность применения данных задач ипроанализировать развитие геометрического мышления, был исследовануровень данного мышления у школьников после проведения опытнойпроверки.

Таблица 4 – Результаты проведения опытной проверки

Имя

Класс

Уровень развития геометрического мышления

Умение решатьзадачи напостроение

Владимир

8

Средний

Решает задачи,имеет небольшиесложности спроблемнымизадачами

Кристина

8

Высокий

Умеет решать задачи

Иван

8

Средний

Умеет решатьтолько простыезадачи, проблемныезадачи с помощьюучителя

Ирина

8

Высокий

Умеет решать задачи

Елена

8

Средний

Решает задачи,имеет небольшиесложности спроблемнымизадачами

Анатолий

9

Высокий

Умеет решать задачи

Татьяна

8

Высокий

Умеет решать задачи

Юлия

8

Высокий

Умеет решать задачи

Юрий

9

Высокий

Умеет решать задачи

Сергей

8

Высокий

Умеет решать задачи

Судя по данным таблицы 4 можно сказать, что уровеньгеометрического мышления у школьников экспериментальной группызначительно повысился.Схематически отразим результаты на рисунке 12.

Рис 12. Уровень развития геометрического развития школьников после опытной

проверки.

Из рисунка 12 видно, что 7 школьников имеют высокий уровеньразвития геометрического мышления, и только 3 ученика имеют проблемы срешением задач, решают их с частичной помощью учителя.

Из этого можно сделать вывод, что опытная проверка прошла успешно,задачи выполнены, цель достигнута.

Таким образом, подытожим вторую главу. На наш взгляд, лучше всегоразвивать мышление школьников при помощи решения проблемныхгеометрических задач на построение. Поиск решения задачи на построениеопределяется сведением её к конечному числу элементарных построений.

Анализ проблемной задачи отражается одним из самых важных этаповрешения задачи, его можно определить как поиск способа решения задачи.Здесь школьники применяют геометрическое и пространственное мышление.

Исследование было проведено в группе школьников основной школы,состоящей из 10 человек ОУ №1. Основной целью реализации опытнойпроверки можно назвать: анализ эффективности развития геометрическогомышления при обучении школьников решению задач на построение.

Можно сказать, что большинство школьников практически не имеютнавыков решения задач на построение, или решают задачи при помощиучителя. Двое учеников имеют средний уровень развития, но у данныхшкольников присутствуют затруднения с решением проблемных задач.

Стоит отметить, что школьники экспериментальной группыпрактически не занимались решением задач на построение в связи с тем, чтона данные задания отводится малое количество часов, и школьники неуспевают овладеть всеми навыками решения проблемных задач.

Занятия со школьниками проводились во время уроков  геометрии,были сформированы на базе исследования математической, учебной иметодической литературы. При преподавании было также реализованоанкетирование среди учителей математики данной школы.

По результатам этого анкетирования, стоит отметить, что школьникиплохо представляют как решать данные задачи, практически не знают этапови не имеют четкого представления о методах, решение задач представляетдля них трудность.

Перед проведением занятий уровень знаний школьников былзначительно ниже, чем средний, после реализации проведения занятий онувеличился.

Чтобы отразить успешность применения данных задач ипроанализировать развитие геометрического мышления, был исследовануровень данного мышления у школьников после проведения опытнойпроверки.

Можно сказать, что 7 школьников имеют высокий уровень развитиягеометрического мышления, и только 3 ученика имеют проблемы  срешением задач, решают их с частичной помощью учителя.

Соответственно, наша цель достигнута.

Заключение

На сегодняшний день в программе математики исследуютсяопределенные модели геометрического образования школьников, где находятотражение особенности геометрии как своеобразной отрасли знаний,использующей оригинальные способы достижения истины.

На сегодняшний день, геометрическое мышление в статьях в основномпонимается как разновидность образного, чувственного мышления, важнойсоставляющей которого является наглядно-образная часть, базируемая наоперировании образами геометрических фигур.

По нашему мнению, геометрическое мышление следует определять,как психический процесс моделирования закономерностей геометрии посредствам формализации, абстрагирования и оперирования свойствамигеометрических фигур.

Главной проблемой методики обучения решению задач на построениеотражается методика внедрения и изучения этапов решения.

Для школьников, у которых практически не развито геометрическоемышление, задачи на построение представляют собой реальную проблемнуюситуацию. Сама по себе проблемная ситуация состоит в психическомсостоянии интеллектуального затруднения школьника, вызванного сильнымжеланием решить задачу, а также в невозможности сделать это с помощьюимеющегося запаса знаний и навыков.

На наш взгляд, сегодня самой эффективной методикой развитиягеометрического мышления при обучении решению задач на построениеявляется применение решения системы задач, в которой существуетвозможность для проявления исследуемого вида мышления.

Проблемную задачу можно представить, как проблему, решаемую приопределенных условиях. Ее отличие от самой проблемы состоит в том, чтодля  первой  заранее  ограничено  поле  поиска  решения.  Любая  проблемная

задача содержит проблемную ситуацию, но не всякая проблемная ситуация ине всякая проблема являются задачами.

Анализ проблемной задачи является одним из самых важных этаповрешения задачи, его можно определить как поиск способа решения задачи.Здесьподмечаются зависимости между присутствующими фигурамиискомой фигурой, они помогают в дальнейшем реализовать построение.Здесь школьники применяют геометрическое и пространственное мышление.Опытная проверка была проведена в группе школьников основнойшколы, состоящей из 10 человек ОУ №1. Основной целью реализации данного исследования  можноназвать:анализ эффективностиразвитиягеометрического  мышления  при  обучении  школьников  решениюзадач на

построение.

Можно сказать, что большинство школьников решают задачи припомощи учителя. Двое учеников имеют средний уровень развития, но у нихприсутствуют затруднения с решением проблемных задач. Стоит отметить,что школьники экспериментальной группы практически не занималисьрешением задач на построение в связи с тем, что на данные  заданияотводится малое количество часов, и школьники не успевают овладеть всеминавыками решения проблемных задач.

Занятия со школьниками проводились во время уроков  геометрии,были сформированы на базе исследования математической, учебной иметодической литературы. При преподавании было также реализованоанкетирование среди учителей математики школы, в которой проводиласьэкспериментальная проверка.

Перед проведением занятий уровень знаний школьников былзначительно ниже, чем средний, после реализации проведения занятий онувеличился.В целом, положительная тенденция замечена в следующих показателях:

своё геометрическое мышление, тем самым его развивают.

Впоследствии, на остальных занятиях были реализованы исследованияпроблемных задач на построение, их решение. Во многих случаях к задачамбыли применены разные типы решения, применялись разные методы.

Чтобы отразить успешность применения проблемных задач ипроанализировать развитие геометрического мышления, был исследовануровень имеющегося мышления у школьников после проведенияэкспериментальной работы.

Можно сказать, что 7 школьников имеют высокий уровень развитиягеометрического мышления, и только 3 ученика имеют проблемы  срешением задач, решают их с частичной помощью учителя.

Соответственно, наша гипотеза верна, решение задач на построениепомогает повысить уровень развития геометрического мышления.

Список литературы

  1. Александрова А. Д. Геометрия. Пособие по решению задач,М:.Эксмо, 2014 г.
  2. Артыкбаева З. А. Методика обучения решению геометрическихзадач// Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук, №2, 2015г. 59-63 с.;
  3. Архипова С. Е. Шакурова Н. Р. Геометрический материал каксредство развития геометрического мышления младших школьников//Психология и социальная педагогика.Сборник научных статей, 2016 г. 28-32 с.;
  4. Ася С.Б., Сидоров С.В. (ред.) Инновации и современные технологиив системе образования, МатериалыII международной научно-практическойконференции 20–21 февраля 2012 года. – Пенза – Ереван – Шадринск:Научно-издательский центр «Социосфера», 2012. – 388 с.
  5. Белякова Т. Н., Храмова Н. Н. Использование моделейгеометрических объектов как средства развития геометрического мышленияшкольников на уроках математики в средней школе// Актуальные проблемыобучения математике в школе. Сборник статей 5-й межрегиональной научно-практической конференции учителей, 2014 г. 168-172 с.;
  6. Берникова И. К. Схемы как средства организации мышления впроцессе обучения математике// Вестник Омского университета, №1, 2015 г.23-27 с.;
  7. Бутяев М. А. Развитие вариативности мышления школьников приизучении геометрического материала// Современное образование, №3,  2014г. 118-125 с.;
  8. Владимирцева С.А. Теория и методика обучения математике: Общаяметодика, Барнаул: БГПУ, 2012. — 189 с.

  1. Гламаздина Я. В. Развитие геометрического мышления  школьниковв процессе изучения геометрического материала// Новая наука: опыт,традиции, инновации, №8, 2016 г. 25-28 с.;
  2. Горбачев В. И. Геометрическое пространство в методологииразвития геометрического типа мышления// Наука и школа, №4, 2016 г. 132-143 с.;
  3. Ермак Е. А. Алексеева К. В. Развитие геометрического мышлениястаршеклассников с использованием дистанционной формы обучения//Информатика и образование, №9, 2013 г. 80-82 с.;
  4. Зайкин М.И., Арюткина С.В. и др. Гуманитарные традицииматематического образования в России, Сборник статей участниковВсероссийской научной конференции с международным участием. — Подобщ. ред.М.И. Зайкина. — Арзамас: АГПИ, 2012. — 459 с.
  5. Ибрагимова Н. И. Операционализм в формированиигеометрических объектов и его влияние на формирование геометрическогомышления// Международный журнал экспериментального образования, №12,2012 г. 82-83 с.;
  6. Исаева М. А. О некоторых существующих проблемах изучениягеометрических преобразований в школьном курсе геометрии основнойшколы// Известия Чеченского государственного педагогического института,

№3, 2015 г. 514 с.;

  1. Кайгородцева Н. В. Геометрия, геометрическое мышление игеометро-графическое образование// Современные проблемы науки иобразования, №2, 2014 г. 160 с.;
  2. Кашлач И. Ф. Меньщикова А. С. Роль пропедевтикисистематического курса геометрии// Проблемы и перспективы физико-математического и технического образования.Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции, 2014 г. 104-109 с.;

  1. Коник О. Ю. Корнеева А. О. Формирование геометрическогомышления на уроках наглядной геометрии// Проблемы и перспективыразвития образования в России, №21, 2013 г. 31-35 с.;
  2. Короткова О. П. Кузнецова Л. Н. О формированиипространственного мышления обучающихся// Применение современныхинструментов для диагностики качества освоения образовательныхпрограмм, 2016 г. 41-44 с.;
  3. Круглова И. А. Проблемы формирования геометрическогомышления// Актуальные проблемы преподавания математики, №3, 2015 г.106-112 с.;
  4. Лебедев В.В. Развитие системы эффективного обученияшкольников, Монография.М.: Библио-Глобус, 2014 г. – 392 с.;
  5. Левитас Г.Г. Методика преподавания математики в основнойшколе, Учебное пособие. — Астрахань: Астраханский университет, 2012. —179 с.;
  6. Макаркина О. В. Адаптивно-интенсивный метод развитиягеометрического мышления у школьников// В мире научных открытий, №7,2013 г. 119-130 с.;
  7. Маматов М. Ш. Темуров С. Й. Мамхудова Д. М. Проблемныегеометрические задачи в развитии самостоятельного аналитического итворческого мышления молодежи// Актуальные проблемы гуманитарных иестественных наук, №9, 2013 г. 215-220 с.;
  8. Месут К. И. Интерактивные технологии на уроках геометрии//Вектор науки Тольяттинского государственного университета, №1, 2015 г.126-128 с.;
  9. Мехтиев М. Г. Проблемы обучения геометрии вобщеобразовательной школе на современном этапе// Известия Дагестанскогогосударственного педагогического университета, №1, 2012 г. 92-95 с.;
  10. Мехтиев М. Г. Измаилова З. Н. О некоторых аспектах обучениягеометрии// Вестник Университета, №13, 2012 г. 277-282 с.;

  1. Митенева С. Ф. Принципы методической системы обучениягеометрии// Современные исследования социальных проблем, №1, 2016 г. 3-11 с.;
  2. Нагорнова А.Ю. (ред.) Актуальные проблемы современногообразования: опыт и инновации, Материалы 3-й научно-практическойконференции (заочной) с международным участием: 20 — 21 апреля 2012 г. -Ульяновский государственный педагогический университет (УлГПУ) им. И.Н. Ульянова. — Ульяновск : УлГПУ, 2012. — 606 с.
  3. Пономарева Е. И. Геометрические построения в виртуальныхобразовательных средах// Вестник Педагогического университета, №5, 2013г. 265-268 с.;
  4. Саранцев Г.И. Методология методики обучения математики,Саранск: "Красный Октябрь", 2012. - 144 с.
  5. Смирнова В. В. Формирование геометрического мышленияшкольников// Международный студенческий научный вестник, №3, 2016 г.300-301 с.;
  6. ФГОС ООО: Концепция фундаментального ядра содержанияобщего образования.[Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.shkola-48.ru/ru/8/292/376/.
  7. Федеральный государственный образовательный стандартосновного общего образования / М-во образования и науки Рос.Федерации. М.: Просвещение, 2010.
  8. Фомина М. Н. Белкин А. С. К вопросу формирования у школьниковгеометрического мышления на основе знаний геометрической формы//Герценовские чтения, №1, 2012 г. 196-199 с.;
  9. Фундаментальное ядро содержания общего образования: проект /под ред.В.В. Козлова, А.М. Кондакова. – М.: Просвещение, 2009. – 48 с.
  10. Царькова Д. А. Демченкова Н. А. Формирование геометрическогомышления учащихся общеобразовательной школы в процессе обученияматематике// Ученый 21 века, №5, 2015 г. 21-29 с.;

  1. Шабанова М. В. Системы динамической геометрии в обученииматематике: проблемы и пути их решения// Современные информационныетехнологии и ИТ-образование, №9, 2013 г. 229-237 с.;
  2. Шебанова Л. П. Янсуфина З. И. Развитие геометрическогомышления учащихся в процессе обучения решению геометрических задач напостроение// Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона, №14, 2012 г. 417-422 с.;
  3. Шень А. (ред.). Задачи по математике, М.: МЦНМО, 2012. — 272 с.
  4. Ященко Л. А. Развитие геометрического мышления школьников какважнейший фактор формирования универсальных учебных действий//Певзнеровские чтения, №1, 2014 г. 97-101 с.;




Похожие работы, которые могут быть Вам интерестны.

1. РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ ПОСРЕДСТВОМ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

2. Вычисление производных элементарных функций. Применение производной к решению экономических задач

3. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ В ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ

4. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ ПО ГЕОМЕТРИИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

5. Формирование логического мышления младших школьников на уроках математики в начальной школе

6. Разработка мультимедийных тестов для осуществления контроля знаний по информатике в основной школе

7. РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЕКТА «ЭКОГРАД» С ПРИМЕНЕНИЕМ РОБОТОТЕХНИЧЕСКОГО КОМПЛЕКТА LEGOMIND STORM SEV 3 В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

8. РАЗВИТИЕ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ НА УРОКЕ ПРАВА

9. Использование задач с практическим содержанием на уроках математики в начальной школе для формирования деятельностных компетенций

10. Развитие словесно-логического мышления у детей старшего дошкольного возраста с ОНР