Методика проведения кружковых занятий по теме «Решение планиметрических задач методом движений»



Методика проведения кружковых занятий по теме «Решение планиметрических задач методом движений»

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Психолого-педагогические основы организации внеклассной работы по математике с учащимися основной школы   5

§1. История и основные формы внеклассной работы по математике 5

§2. Организация занятий кружка 15

§3. Возрастные особенности учащихся 9-х классов 24

Выводы  к  главе 1 30

Глава  2.  Разработка  содержания  и  методики  проведения  кружка  по  теме

«Решение планиметрических задач методом движений» для учащихся 9-х классов32

§1. Метод движения при решении планиметрических задач 32

§2. Методики обучения решению планиметрических задач методом движений        35

§3. Разработка плана проведения занятий 46

§4. Пример проведения занятия 48

Выводы к главе 2 52

Заключение 54

Список литературы 55

Приложение. Задачи для самостоятельного решения и решения в классе 59

Введение

Актуальностьисследования. В современном мире математика занимает очень важное место. Она является связующим звеном между предметами школьного образования, а также играет значительную роль профессиональном развитии человека, ибо почти любая сфера деятельности так или иначе связана с вычислениями, построениями или анализом данных.

В настоящее время школьное математическое образование предполагает использование разнообразных форм обучения, в число которых входят и кружки. Общие цели проведения кружков – главным образом, повышение мотивации школьников к изучению математики, а также углубление и расширение знаний учащихся, формирование готовности к саморазвитию, умения применять полученные знания при решении различных задач. В организационном разделе ФГОС СОО (Утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 мая 2012 г. №413) в п. 15 говорится: «Основная образовательная программа среднего общего образования содержит обязательную часть и часть, формируемую участниками образовательных отношений. … В целях обеспечения индивидуальных потребностей обучающихся в основной образовательной программе основного общего образования предусматриваются: учебные курсы, обеспечивающие различные интересы обучающихся, в том числе этнокультурные; внеурочная деятельность».[35]

Изложенные выше факты и соображения обуславливают актуальность темы  исследования  «Методика  проведения  кружковых  занятий  по      теме

«Решение планиметрических задач методом движений».

Проблемаисследования состоит в разработке для учащихся 9-х классов как самих занятий кружка на тему «Решение планиметрических задач методом движений», так и методики их проведения.

Объектомисследования является процесс обучения математике учащихся 9 классов.

Предметомисследования является процесс обучения математике учащихся 9-х классов на занятиях кружка.

Цельюисследования  является  разработка  занятий  кружка  на     тему

«Решение планиметрических задач методом движений» для учащихся 9-х классов, способствующих повышению интереса к математике.

Гипотезаисследования заключается в том, что занятия кружка способствуют расширению и углублению знаний, полученных учащимися на уроках геометрии.

Задачи исследования:

  1. Рассмотреть требования к содержанию и разработке внеклассных занятий (кружков) для учащихся 9-х классов.
  2. Изучить возрастные особенности школьников в 9 классе.
  3. Изучить психолого-педагогические особенности школьников и методические особенности преподавания математики в 9 классе.
  4. Разработать содержание кружка на тему «Решение планиметрических задач методом движений» для учащихся 9-х классов.
  5. Разработать методические рекомендации по организации и проведению кружка на тему «Решение планиметрических задач методом движений» для учащихся 9-х классов.

Методы исследования:

  1. Анализ нормативных документов, относящихся к основному общему образованию.
  2. Анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы.
  3. Наблюдение за работой учителей, учебной деятельностью учащихся, беседа с ними.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.

Во введении обоснована актуальность исследования, даны его основные характеристики.

В главеI «Психолого-педагогические основы организации внеклассной работы по математике с учащимися основной школы» рассмотрена история и основные формы внеклассной работы по математике, проведен анализ нормативных документов, относящихся к основному общему образованию, изучены методические требования, предъявляемые к организации кружка, рассмотрены возрастные особенности учащихся 9-х классов, проанализирована методическая литература по формированию познавательного интереса к обучению на занятиях математических кружков, а также методы обучения и формы проведения занятий кружка.

В главеII «Разработка содержания и методики проведения кружка по теме «Решение планиметрических задач методом движений» для учащихся 9- х классов» приведен анализ учебников по математике 9-х классов; представлены тематическое планирование и методические рекомендации к проведению кружка на тему «Решение планиметрических задач методом движений» для учащихся 9-х классов, подобраны практические материалы для занятий.

В заключении приведены основные результаты проведенного исследования, сделаны выводы.

Библиографический список содержит 36 наименований.

Глава 1. Психолого-педагогические основы организации внеклассной работы по математике с учащимися основной школы

§1. История и основные формы внеклассной работы по математике

Внеурочная работа по математике является составной частью учебно- воспитательного процесса, осуществляемого школой и учителем. Согласно проекту нового Базисного учебного плана, внеурочная деятельность школьников является обязательным элементом школьного образования и ставит перед педагогическим коллективом задачу организации развивающей среды для обучающихся. [21]

В теории и методике обучения математике выделяют два типа внеурочной работы.

К первому типу относится внеурочная работа с обучающимися, не успевающими по текущей программе, которым требуются дополнительные занятия после уроков. Основной целью такой работы является устранение и предупреждение у учащихся пробелов в знаниях и умениях по курсу математики.

Вторым типом внеурочной работы является работа с учащимися, не имеющими проблем с основным курсом и интересующимися математикой в большей степени и на более высоком уровне, по сравнениюс остальными.[17]

Внеурочная деятельность является логическим продолжением и дополнением основных форм организации и учебно-познавательной деятельности учащихся на уроке.

Изучая содержание внеурочной работы с учащимися, проявляющими интерес к математике, нужно отметить следующее:

  1. В содержании внеурочной работы должны присутствовать вопросы, не входящие в рамки школьной программы, но имеющие точки соприкосновения с ней.
  2. Традиционно во внеурочные занятия по математике включаются исторические экскурсы по определенным темам.

  1. В содержание внеурочной работы необходимо включать вопросы, вошедшие в содержание математического образования за последние десятилетия.
  2. В старших классах необходимо учитывать профиль, который выбрали учащиеся.[17]

Организация внеурочной работы зависит также от формы ее проведения. Рассмотрим классификацию по количественному признаку. К групповым формам, связанным с систематическими занятиями с учащимися, относят кружки и, пришедшие сравнительно недавно на смену факультативам, элективные курсы и курсы по выбору. Индивидуальная внеурочная работа направлена на руководство исследовательской, проектной деятельностью учащихся, написанием докладов и рефератов по математике, а также на подготовку школьников к участию в олимпиадах разного уровня. К массовым формам внеурочной работы относят недели математики, олимпиады, тематические вечера, конкурсы, конференции и т.п. Очевидно, что все выделенные формы имеют тесную связь, которая проявляется в общности целей математической подготовки учащихся.

Остановимся более подробно на получивших наибольшее распространение формах внеурочной работы.

Фа культа тивы

Дифференциация обучения является одним из главных направлений развития современного образования. Факультативные занятия – это одна из форм дифференцированного обучения, концепцию которого приняли на съезде работников народного образования в 1988 году. Сам термин был включен в педагогическую энциклопедию в 1964 году и означал разделение учебных планов и программ в старших классах средней школы.[27]

В ноябре 1966 года в постановлении правительства «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы» было отмечено отставание уровня учебно-воспитательной работы школы от потребностей практики, вследствие чего была спланирована система мер   по

упразднению этого отставания, среди которых были и новые формы обучения, такие как факультативы. Введение факультативов в школу проходило в несколько этапов.[27]

В сентябре 1967 года в школах начали работу факультативные занятия, что послужило началом первого этапа введения факультативов по математике в школу.

Первые факультативные курсы назывались «Дополнительные главы и вопросы математики" и "Специальные курсы". Эти курсы были направлены на новую программу по математике и стали местом проверки и пробы новых тем. После большой опытной проверки на факультативных занятиях, в основной курс математики было включено несколько тем, таких, как: "Метод координат", "Множества и операции над ними", "Бесконечные множества", "Геометрические преобразования", "Производная" и др.[28]

В основную часть школьной программы факультативные занятия вошли в 1967-1968 учебном году. По окончании этого учебного года в Москве было проведено совещание по теме обобщения опыта углубленного изучения отдельных школьных предметов по выбору учащихся, на котором были подведены итоги первого года внедрения факультативных занятий в программу школы, рассмотрены многие вопросы,  затрагивающие содержание и организацию занятий, поставлен ряд серьезных проблем, связанных, прежде всего, с методикой их проведения, оценкой знаний учащихся, формированием групп, местом таких занятий в учебно- воспитательном процессе, взаимосвязи с другими занятиями по математике и т. д.[28]

На протяжении некоторого времени происходит внедрение новых программ в содержание обязательного курса математики, вследствие чего в программе факультативного курса "Дополнительные главы и вопросы математики" происходит ряд изменений. В 1973-1974 учебном году из-за перехода восьмого класса на новые программы, а десятого класса - на переходные программы  по  математике,  была принята усовершенствованная

программа факультативных курсов, в которую не включили ряд тем, перенесенных в основной курс математики.[28]

В 1980 году был завершен переход средней школы на новую программу по математике. Начался второй этап введения факультативных занятий в школу, на котором факультативный курс «Дополнительные  главы и вопросы математики» заменили новым курсом, включившим в себя три раздела:

  1. Избранные вопросы математики.
  2. Математика в приложениях.
  3. Алгоритмы и программирование.

Программу новых факультативных курсов опубликовали в журнале "Математика в школе" (1980. – №4. – С. 35). Для каждого раздела в помощь учителям были выпущены соответствующие методические пособия.[28]

В 1988 году сформировалось движение за новую реформу общеобразовательной и профессиональной школ. В этом году на московском съезде работников народного образования обсуждались вопросы перестройки средней и высшей школы, были намечены конкретные пути совершенствования образования. В частности, реформой предусматривалось дальнейшее развитие факультативной формы обучения, как возможности углубленного изучения разных предметов, в том числе и математики.

В это время начинается третий этап внедрения факультативной формы обучения, когда перед школой были поставлены задачи улучшения образования и воспитания.

При проведении факультативов, в основном, использовалась проблемная форма обучения. Содержание факультативов увязывалось с программным урочным материалом. В настоящее время эта форма внеурочной работы трансформировалась в курсы по выбору.

Элективные курсы и курсы по выбору

В 2002 году была принята Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования,[20] в которой, вместе с базовыми и

профильными курсами, были выделены специальные курсы по выбору в 9 классе в условиях предпрофильной подготовки учащихся и элективные курсы – для учащихся 10-11 классов.

Таким образом, начался четвертый этап введения факультативных занятий в школьную программу. Цели факультативов и курсов по выбору схожи – удовлетворение индивидуальных способностей и потребностей обучающихся. Однако есть и разница: факультативные курсы в последние годы своего существования были не обязательными для всех учащихся, темы занятий раньше, планировал учитель, а сейчас выбирают обучающиеся. Факультативные занятия  были  только предметными,   например математическими, а сейчас выделяют три типа курсов по выбору для 9 класса: предметные (расширяют знания учащихся разным предметам); ориентационные (помогают самоопределению учеников); информационные (информирование обучающихся о разных образовательных учреждениях). Курсы по выбору для старшеклассников подразделяют на пять типов: предметные («надстройка»  предметных  курсов); межпредметные; подготовительные (подготовка  к  ЕГЭ);  ориентационные (достижение учениками образовательных результатов для успешного профессионального роста); «внепредметные» или  «надпредметные» (темы не  связаны с

основными школьными предметными курсами).[28]

В Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования элективные курсы определяются как обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы проводятся за счет школьного компонента учебного плана и выполняют две функции. Некоторые из них могут «поддерживать» освоение основных профильных курсов на заданном профильным       стандартом       уровне.       Например,       элективный    курс

«Математическая статистика» сопровождает изучение профильного курса экономики. Иные элективные курсы предназначены для внутрипрофильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных

траекторий. Очевидно, что количество элективных курсов, предлагаемых в составе профиля, должно быть избыточно в сравнение с числом курсов, которые обязан выбрать учащийся.[12]

Курсы по выбору – форма организации предпрофильной подготовки на второй ступени общего образования. Формы обучения на курсах могут быть как академическими, так и ориентированными на инновационные педагогические технологии.[12]

В 2011 году был принят Федеральный государственный образовательный стандарт (ФГОС) основного общего образования, а в 2012 году – ФГОС среднего (полного) общего образования. Согласно этим документам,  термин   «элективные  курсы»   (в  10-11   классах)  заменен   на

«курсы по выбору», а термин «профильный курс» – на «углубленный курс». В этот момент начинается пятый этап введения школьных курсов по выбору. Курсы стали обязательными для всех обучающихся, но в разных школах они будут отличаться в зависимости от уровня школьной программы и интересов учеников.

Математические кружки

В началеXX века в передовых учебных заведениях начинает появляться такая форма дополнительного математического образования, как математический кружок. [15, с. 17-18]

Математический кружок – это самодеятельное объединение учащихся под руководством педагога, в рамках которого проводятся систематические занятия с учащимися во внеурочное время. [31, с. 37]

Одними из первых математический кружок в 1905 году организовали преподаватели и ученики Оренбургского реального училища. Педагоги ставили перед собой следующие методические цели проведения кружка: пробуждение интереса в учениках к физико-математическим и естественным наукам, развитие любознательности и желания вести научно- исследовательскую деятельность. На занятиях кружка учащиеся делали сообщения по отдельным темам, готовили рефераты, решали задачи. Также с

1906 по 1913 гг. участниками кружка издавался ученический журнал

«Записки математического кружка при Оренбургском реальном  училище. [15, с. 18]

За изменением в государственном устройстве в начале ХХ века последовали изменения системы образования. 16 октября 1918 г. было опубликовано «Положение о единой трудовой школе РСФСР», которое предусматривало:

Такие опрометчивые нововведения в школьное образование оказали негативное воздействие на математическую подготовку выпускников. [15, с. 19] И только в 30-е годы, осознав ошибки в реформировании системы образования, ЦК ВКП(б) публикует постановление «О начальной и средней школе», в котором говорится о восстановлении предметного преподавания основ наук и введении стабильных программ по предметам (в том числе и по математике) и др. И именно это время является расцветом дополнительного математического образования в школе. [15, с. 19]

Основа кружковой работы – принцип добровольности, организация кружков происходит как для преуспевающих учащихся, так и для тех, кто не справляется с текущей программой обучения. Так кружки могут делиться на секции (если желающих заниматься математикой вне уроков оказывается много) и на уровни – для более сильных учащихся и для остальных учащихся. В кружок могут объединиться как учащиеся одного класса, так и параллельных классов, либо учащиеся двух-трех классов (5 – 6 или 7 – 9).

[31, с. 37-38]

Олимпиады по математике

Математические олимпиады тесно связаны с математическими кружками. Сегодня олимпиады по математике являются наиболее массовой формой внеурочной работы по математике.

Целями проведения олимпиад являются:

Математические олимпиады в школе, как правило, проводятся отдельно для каждой параллели класса, начиная с 5 класса [33].

Традиционные школьные математические олимпиады проходят в несколько туров. Сначала проводят олимпиаду по классу, затем – по школе. Иногда проводят подготовительный тур, чтобы отобрать участников школьной олимпиады.

Наряду с традиционными школьными олимпиадами проводятся и нетрадиционные формы математических олимпиад, которые наряду с решением математических задач содержат и элементы игры, спортивного соревнования.К таким нетрадиционным формам олимпиад относятся:

К олимпиадам также относится международный конкурс «Кенгуру», появившийся в Австралии в восьмидесятых годах двадцатого столетия. Целью этого конкурса является развитие у широкого круга  учеников интереса к математике, демонстрация красоты и привлекательности математики, и вовлечение наибольшего количества обучающихся в процесс решения задач. Интересной особенностью «Кенгуру» является его проведение во всех странах-участницах в один день по единым вариантам, содержащим 30 задач. Нужно заметить, что среди участников конкурса не бывает учащихся, не набравших ни одного балла – варианты составлены так, что любой школьник сможет решить несколько задач.

В настоящее время актуальны многоуровневые олимпиады. Они проводятся в 3 этапа, на каждом из этапов предлагаются задачи разного уровня. На первом этапе проверяется умение решать школьные задачи на скорость. На втором этапе предлагаются чисто олимпиадные задачи. На третьем этапе участникам предлагается творческая задача – миниисследование.[32]

Также распространены устные олимпиады, которые проводятся в несколько этапов продолжительностью 30-40 минут.

Математические викторины

Викторина – познавательное соревнование, «ответы на вопросы, обычно объединенные какой-нибудь общей темой» (С.И. Ожегов).  Она может быть посвящена литературе, математике и т.д. Викторина проводиться либо как отдельное мероприятие, либо в рамках кружка или вечера. Принять участие может любой желающий. Время проведения математической викторины составляет не более 30 минут.

Школьная математическа я печать

К школьной математической печати относятся, прежде всего, различные виды математических стенгазет, математическая фотогазета, а также журналы математического кружка, уголки математики, монтаж фотографий    и    рисунков    по    математике,    выставки.    [28]    Школьная

математическая печать как самостоятельная форма должна иметь перспективное планирование на учебный год с учетом запросов конкретного коллектива учащихся, реальных возможностей организатора дополнительного образования и т.п. В основу планирования могут быть положены различные принципы: расширение и углубление учебного материала программы соответствующего класса; включение материала по истории математики и занимательного материала для повышения интереса к математике и т.п. [30]

Математические вечера

Математический вечер – это художественное, занимательное, познавательное мероприятие. Такая форма организации досуга помогает учащимся не только открыть много нового и интересного в математике, но также проявить свои математические способности и улучшить навыки самостоятельной работы с различными материалами по математике.

Учебные и сследования по математике

В современном мире крайне важно обладать навыками самостоятельного получения новых знаний, информации, и их практического применения. Такие навыки учащиеся могут приобрести в процессе проведения учебных исследований по математике. Именно эти формы внеурочной работы предполагают наибольшую независимость учебной деятельности. Проводя исследование, школьники приобретают опыт самостоятельного творчества, который, будет им полезен в любой области профессиональной деятельности.

К исследовательской деятельности обучающихся относят учебную деятельность, связанную с решением задач с неизвестным заранее результатом.Для организации учебного исследования необходимо пройти следующие этапы:

  1. Поставить проблему.
  2. Изучить соответствующую литературу, собрать материал по проблеме исследования.

  1. Выдвинуть гипотезу и подобрать методы проведения исследования.
  2. Проанализировать и обобщить собранный материал, сделать выводы.
  3. Представить результаты исследования.[30]

Выбор тем исследований по математике осуществляется учителем в зависимости от интересов и способностей учащегося.

§2. Организация занятий кружка

Текущая позиция кружков в подготовке учащихся по математике

Математический кружок является хорошо изученной и довольно распространенной формой внеклассной работы. Под математическим кружком традиционно понимается самодеятельное объединение учащихся под руководством педагога, в рамках которого проводятся регулярные занятия во внеурочное время, направленные на углубление и расширение математических знаний учащихся, формирование интереса к математике и развитие математических способностей и склонностей. Математические кружки создаются для учеников разных возрастов. [15, с. 6]

Кружок создается на добровольных началах. Любой ученик, который захотел посещать кружок, может стать его членом, независимо от успеваемости. Многие учащиеся со средней успеваемостью после активной работы в кружке начинают лучше учиться.[9, с.5]

Основными задачами проведения кружковых занятий являются:

Отчасти эти задачи выполняются на уроке, но в большей степени они реализуются во время внеклассных занятий и, в частности, во время проведения кружков. [30, с. 26]

Для того чтобы курс занятий кружка был полным, а занятия – доступными для понимания школьников и соответствующими образовательным, воспитательным и развивающим целям обучения математике, при составлении содержания необходимо пользоваться критериями отбора. Критерии отбора содержания для курсов по выбору, являющихся также внеклассными занятиями с учащимися, описанные Смирновой И.М.[26], считаем возможным использовать и при отборе содержания кружка.Перечислим их.

  1. Критерий научной и практической значимости.
  2. Критерий   соответствия   содержания   воспитательным и развивающим целям обучения.
  3. Критерий соответствия содержания уровню и профилю обучения.
  4. Критерий соответствия содержания возрастным особенностям учащихся.
  5. Критерий соответствия содержания индивидуальным особенностям школьников.
  6. Критерий соответствия содержания учебно-методическому обеспечению.
  7. Критерий соответствия содержания имеющемуся времени. Рассмотрим более подробно каждый из них.

I. Критерий научной и практической значимости.

Этот критерий предполагает, что учебный курс отражает одно из важных направлений развития теории и практики. В школьном преподавании этот вопрос рассматривается в недостаточной степени. Это не означает, что ученикам недоступно понимание научной и практической значимости изучаемого, или что в рассматриваемом материале нет такой значимости. Нужно не только сообщение учащимся достоверных фактов, но и объяснение их сущности, раскрытие внутренних связей. [26, с. 8]

Категории – наука и учебный предмет имеют тесные связи. Наука состоит из приведенных в систему законов внешнего мира и духовной деятельности людей, а также из процессов добывания, накопления и передачи практического использования знаний. [26, с. 8]

Для решения вопроса о научной и практической значимости и учебного предмета необходимо включать следующее содержание [26, с. 8]:

  1. Историю возникновения и постановки той или иной проблемы.
  2. Поиски решения, трудности на пути решения проблемы.
  3. Сведения об ученых, занимавшихся решением проблемы.
  4. Значимость решения проблемы для развития науки.
  5. Применение полученного результата к решению прикладных задач.

Одним из путей реализации критерия научной и практической значимости содержания является раскрытие межпредметных связей изучаемого материала, а также демонстрация прикладных аспектов курса. Рассмотрение задач межпредметного и прикладного характера приводит к естественной взаимосвязи теории и практики, способствует глубокому, неформальному изучению основ наук. [26, с. 9]

II.Критерийсоо тветстви ясо дер жа ни яво спи тательными

развивающим целям обучения.

Не любое содержание способствует достижению целей воспитания и развития учащихся. Необходимо специальным образом конструировать содержание учебного курса, включая в него элементы истории, современности, занимательности, красоты математики. [26, с. 9]

Включение элементов истории в содержание выполняет следующие важные дидактические функции [26, с. 9]:

  1. Использование исторического материала позволяет проникнуть в мировоззренческий смысл науки, в процесс формирования ее основных идей, эволюцию методов.
  2. Использование исторических сведений является одним из критериев интересности содержания учебного материала, служит для развития познавательного интереса учащихся к математике.
  3. Исторические сведения служат для развития творческих способностей учащихся.

  1. Сведения из истории служат средством нравственного воспитания учащихся.

Знакомство с основными направлениями современной науки необходимо теперь каждому выпускнику школы для ориентации в современном мире, правильному представлению о процессах, происходящих в природе и обществе, осознание собственной роли в обществе, в движении вперед. [26, с. 9-10]

III. Критерий соответстви я содержа ния уровню и профилю обучения.При уровневой дифференциации учащиеся учатся в одном классе, по одной программе, по одному учебнику. Различие состоит в уровне усвоения предлагаемого  учебного  материала.  В  качестве  базового  берется   уровень

обязательных результатов. Кроме того, предусматриваются уровень коррекции и продвинутый уровень, соответствующие слабо и отлично успевающим учащимся. [26, с. 11]

Выбор предмета для углубленного изучения зависит в большой степени от выбора будущей специальности, от того, какое место будет занимать в ней математика. Для классов с углубленным изучением математики должны создаваться специальные курсы по предмету. [26, с. 11]

IV. Кр итерий соответстви я содержания возрастным особенностям

уча щи хся.

Этот критерий предполагает не только доступность изучаемого материала, соответствие уровня трудности изучаемого материала уровню развития школьников, но и включение в содержание такого материала, который, в силу возрастных особенностей школьников, вызывает у них интерес, стимулирует творческую деятельность. [26, с. 11]

V. Критерий соответствия содержания индивидуальным

особенностям школьников.

В психологических исследованиях представлены индивидуальные различия пространственного мышления школьников. Это выражается, во- первых, в том, что индивидуальные различия в пространственном мышлении

ярко обнаруживаются в процессе восприятия пространственных свойств и отношений. Во-вторых, индивидуальные различия ярко проявляются при создании пространственных образов на наглядной основе и оперировании ими. В-третьих, индивидуальные различия наблюдаются в способах чувственного обобщения. [26, с. 11]

Учитель, работая в конкретном классе и изучив индивидуальные особенности пространственного воображения своих учеников, должен включать в содержание в том или ином объеме соответствующий наглядный материал, в котором выделяют элементы [26, с. 12]:

Также важными индивидуальными особенностями учащихся, которые обязательно нужно учитывать учителю и отражать в содержании занятий, является неоднородность интереса учащихся к математике. [26, с. 12] Даже у школьников, которые называют математику любимым или одним из любимых предметов, интерес к ней дифференцирован. [26, с. 12]

VI.   Кр итерий   соответствия   содержа ния   учебно -методическому

о бесп ечени ю.

Этот критерий предполагает, что содержание курса и в основной школе, и в старших классах должно охватываться учебными пособиями, научно-популярной литературой, наглядными пособиями и техническими средствами обучения в объеме, достаточном для успешного решения поставленных задач обучения. [26, с. 13]

VII. Критерий соответстви я содержания имеющемуся вр емени.

Этот критерий предполагает планирование содержания курса по занятиям, соответствие объема учебного материала каждого занятия времени,

отведенному на него, а также соответствие всего объема содержания курса  с

углубленным изучением определенного предмета времени, отведенному на его изучение. [26, с. 13]

Место кружков в образовательном процессе.В соответствие с ФГОС ООО [34, ч. 2, ст. 8 — 10, 11.3] при подборе темы и разработке кружковых занятий необходимо учитывать, что занятия кружка должны способствовать достижению образовательных результатов, направленных на формирование универсальных учебных действий.

Также кружковая деятельность направлена на:

В результате работы кружка происходит интеграция возможностей общего и дополнительного образования.

Изучив особенности математических кружков, их цели и задачи, а также опираясь на критерии отбора содержания внеурочных занятий со школьниками, можно сделать вывод о том, что важным элементом кружка является реализация индивидуальных потребностей учащихся, а также углубление и расширение знаний, развитие математических, творческих способностей.

Методы обучения и формы проведения занятий кружка

Существуют различные формы проведения кружковых занятий: творческие задания, творческая мастерская и деловая игра, дидактически игры, комбинированное тематическое занятие, «урок — внеклассное мероприятие». Рассмотрим их подробнее:

Творческие задания: самостоятельное составление учащимися задач с противоречиями, фокусов и т.д.

Творческая мастерскаяиделовая игра. Организация деловой игры на занятиях кружка с использованием элементов ручного труда позволит в непринужденной форме развивать способность выполнять такие логические операции, как анализ и синтез, способность прогнозировать результат, выполнять его оценку и проверку его правильности. Такие занятия стимулируют формирование и развитие пространственного компонента, способствуют повышению мотивированного интереса к предмету и прикладной значимости математических знаний. Также они представляют широкое поле для проявления творчества и богатой фантазии как педагога, так и каждого учащегося.

Дидактические игры. В процессе игры можно осуществлять развитие многих компонентов математических способностей, в частности, по приему и переработке математической информации, математическую память, активный интерес к изучаемому предмету.

Комбинированное тематическое занятие. Основную часть такого занятия составляет решение членами кружка ряда задач на одну и ту же тему. Учитель заранее подбирает и продумывает список задач и вопросов для занятия, располагает их в определенной последовательности. Задачи решают сами учащиеся, каждый в отдельности, здесь же, в классе. К следующей задаче не переходят до тех пор, пока предыдущая не разобрана кем-то из учащихся. Решая задачи, отвечая на поставленные учителем вопросы, учащиеся постепенно, как бы заново, самостоятельно раскрывают рассматриваемую тему. По ходу занятия делаются обобщения, иногда дополнения, учитель вместе с учащимися формулирует выводы. [9, с. 11 — 12]

«Урок — внеклассное мероприятие»– форма обучения математике, являющаяся композицией урока и кружка, позволяет продолжить изучение материала, начатое на уроке, на занятиях математического кружка. Использование пары «урок — внеклассное мероприятие»  позволяет включать  каждого  ученика  в  учебную  деятельность  в  соответствии  с  его

психологическими особенностями, математическими способностями и желаниями. [31, с. 214]

Также в известной книге авторов Балк М.Б., Балк Г.Д., вышедшей в 1971 году [5], описаны следующие формы учебной работы на занятии кружка, которые актуальны и сегодня:

«Десятиминутка»- небольшое сообщение (или рассказ) учителя или ученика по одному какому-нибудь сравнительно узкому вопросу. Длится оно обычно 8 - 15 минут. Темой десятиминутки может быть:  1) краткая биография какого-либо выдающегося математика; 2) интересный вопрос или факт из истории математики; 3) приемы счета; 4) сообщение о какой-нибудь математической книге, статье, обзор журнала; 5) краткое изложение какого- либо математического вопроса.

Решение задач, не связанных с основной темой данного заседания. Сюда относятся задачи, подготавливающие учащихся к предстоящим занятиям; задачи, подобные рассмотренным на предыдущих заседаниях; задачи, подготавливающие членов кружка к предстоящей олимпиаде или конкурсу, а также занимательные задачи, в том числе исторические и логические.

Математические софизмы, фокусы, задачи-шутки, геометрические иллюзии, игры и развлечения, не имеющие отношения к основной теме заседания.

Разбор задач, предложенных членам кружка на дом на прошлых занятиях.Докладыибеседына математические или историко- математические темы.

Моделирование: изготовление наглядных пособий по математике.Обсуждениематематических книг и статей.Чтение отрывковиз художественных произведений, связанных с математикой.Просмотр

видеофильмапо математике.

Успех в обучении зависит как от правильного определения его целей и содержания, так и от способов достижения целей, т.е. методов обучения. И.Я.

Лернер и М.Н. Скаткин [25, с. 227] выделяют пять методов обучения: объяснительно-иллюстративный; репродуктивный; проблемное изложение; частично поисковый, или эвристический; исследовательский.

На кружках целесообразно использовать последние три метода, а именно:

  1. Проблемное изложение

Суть проблемного изложения в том, что учитель ставит проблему, сам ее решает, но при этом показывает путь решения в его подлинных, но доступных учащимся противоречиях, раскрывает ход мысли при  движении по пути решения. Назначение этого метода в том, что учитель показывает образцы научного познания, научного решения проблемы, а учащиеся контролируют убедительность этого движения, мысленно следят за его логикой, усваивая этапы решения целостных проблем.

  1. Частично-поисковый, или эвристический, метод

В целях постепенного приближения учащихся к самостоятельному решению проблем необходимо предварительно обучать выполнению отдельных шагов решения, отдельных этапов исследования, формируя их умения постепенно. В одном случае обучают видению проблем, предлагая ставить вопросы к картине, документу, изложенному содержанию; в другом случае от них требуют построить самостоятельно найденное доказательство; в третьем — сделать выводы из представленных фактов; в четвертом — высказать предположение; в пятом — построить план его проверки, и т.д. Другим вариантом обучения является разбиение сложной задачи на серию  доступных  подзадач,  каждая  из  которых  облегчает  приближение к

решению основной задачи.

Третьим вариантом служит построение эвристической беседы, состоящей из серии взаимосвязанных вопросов, каждый из которых является шагом на пути к решению проблемы и большинство которых требуют от учащихся не только воспроизведения своих знаний, но осуществления небольшого поиска.

  1. Исследовательский метод

Для полноценного усвоения опыта творческой деятельности и одновременно усвоения знаний и умений на третьем уровне необходим давно применяющийся в педагогической практике исследовательский метод. Значение этого метода состоит в том, чтобы ученик научился приобретать знания, исследовать предмет или явление, делать выводы, уметь применять в жизни добытые знания и навыки.

Во время урочных занятий такие методы применяются реже, так как не всегда есть соответствующий учебный материал, и часто учителю не хватает отведенных на тему часов.

Многообразие форм обучения позволяет учителю выбрать наиболее подходящие к содержанию кружка. Разнообразие учебной деятельности на занятиях способствует поддержанию интереса школьников, стимулирует их к регулярному посещению занятий.

§3. Возрастные особенности учащихся 9-х классов

Направленность на всестороннее развитие личности всякого обучающегося, учёт его возможностей, интересов, уровня знаний, склонностей составляют основной принцип его современного обучения.. Учителю для успешного проведения курса по выбору необходимо учитывать индивидуально-психологические и возрастные особенности учащихся, знать как развиваются дети, и что характерно для них в разные периоды школьного возраста. В своей книге И. А. Зимняя приводит общепринятую возрастную периодизацию: «преддошкольный (3-5 лет), дошкольный (5-7 лет), младший школьный (7-11 лет), подростковый (средний школьный) возраст (11-15 лет), ранняя юность, или старший школьный возраст (15-18 лет)».[11, с. 170]ОбучающиесяУчащиеся 9 классов относятся к концу подросткового возраста и началу периода ранней юности, поэтому остановимся на отличительных особенностях этого возраста более подробно.

Ранняя юность и старший подростковый возраст – один из самых сложных периодов в жизни школьников. Это переходный, критический период, так же называемый переломным. Подростки в это время сталкиваются с трудностями личностного развития, происходит пересечение специфических подростковых и юношеских возрастных особенностей. Ведущими потребностями девятиклассников является объединение подростковых потребностей, таких, как заявление о своей взрослости и общение со сверстниками, и потребностей ранней юности, таких, как самоопределение  и  самопознание.   Учащиеся  9  классов  переживают    пик

«подросткового кризиса».

С одной стороны социальная жизнь школьника не меняется, он живет в той же семье, общается с теми же людьми, что и раньше, учится в том же классе, но несмотря на отсутствие резких изменений внешних условий жизни подростка, его внутренняя позиция меняется, образуются новые ценностные ориентации, идёт направленность свой внутренний мир, появляется новая жизненная позиция по отношению к себе, к родителям, к школе и одноклассникам. Учащиеся становятся социально активными, более внимательными и понятливыми к усвоению норм поведения и ценностей, присутствующих среди взрослых. В период подросткового возраста начинается становление морально-нравственных и социальных качеств личности школьника. [36]

В течение этого периода происходят изменения в физическом развитие подростка, которые также влияют на его поведение и психологическое состояние. Происходит ускоренное физическое развитие и половое созревание. Пубертатный период сопровождается увеличением скорости роста, повышением количества жировых отложений и мышечной массы, происходит быстрое развитие репродуктивных органов и появляются вторичные половые признаки, существенные изменения видны во всех органах и системах организма. У учащихся резко повышается интерес  к своей внешности, они начинают сравнивать себя с ровесниками.  Физическая

перестройка организма приводит к изменению внутреннего состояния, реакций и настроения учащихся, из-за чего в подростковом возрасте часто встречаются умственная или физическая утомляемость, повышенная раздражительность, рассеянность, снижение продуктивности работы, расстройство сна или, наоборот, возбужденность, двигательная активность, несдержанность, разгорячённость. [8] Обучающимся приходится постоянно приспосабливаться к физиологическим переменам в их организме.

Отличительным фактором детей этого возраста представляет собой проявление чувства собственной взрослости, в это время  подростки стремятся быть взрослыми, хотят, чтобы таковыми их считали окружающие. Они желают показывать свою взрослость, им необходимо, чтобы внешний мир признавал их взрослыми. Б.А. Сосновский в своей книге «Психология», говорит о том что «чувство взрослости, представление о себе как «не о ребенке» – центральное новообразование этого периода», так как обуславливает новую жизненную позицию учащегося по отношению к себе, окружающим и миру, выражает особенное направление и суть его социальной активности, совокупность новых стремлений и переживаний. [29, с. 464] Однако в действительности школьники этого возраста еще не достигли истинной взрослости, поэтому сталкиваются с проблемой несоответствия между осознанием себя взрослым и реальным положением подростка. Данное противоречие разрешается благодаря активному вовлечению обучающихся в общественную жизнь, они стремятся быть полезными, помогать, участвовать в жизни окружающих людей.

Подростки хотят быть похожими на взрослых внешне,попробовать освоить некоторые стороны их жизни и деятельности, обрести некоторые их качества, умения и возможности, права и привилегии, в первую очередь те, которые явно демонстрируют различия взрослых и детей. Обучающиеся стремятся показать и применить освоенные ими поведенческие формы взрослых среди сверстников, из-за чего ведущей деятельностью у них становится общение с ровесниками. Взаимоотношения с учителем переходят

на другой уровень, теперь ученику важнее место, занимаемое им в классе, а мнение учителя отходит на второй план. [16, с. 121]

Еще одним направлением в стремлении быть взрослым является желание подростка развивать содержательные интересы и планировать будущее. Учащиеся хотят знать и уметь что-нибудь по-настоящему, что положительно влияет их на познавательную деятельность, при этом знания начинают выходить за рамки школьной программы. Большое значение имеет самообразование, обучающиеся начинают сами находить необходимые им знания. Также получают развитие творческие навыки, начинают быстро развиваться воображение, память, способность к наблюдению, внимание.

В девятом классе ученики переживают переход от одного возрастного периода к другому, поэтому у них появляются предпосылки нового типа ведущей деятельности – учебно-профессиональной, это особенно влияет на учебную деятельность, ставя перед ней цель ориентироваться на будущую профессию. Подростки начинают задумываться о  будущей профессиональной деятельности, о том для чего они учатся и как достичь желаемого ими результата.[11]

В раннем юношеском возрасте особое место занимает ценностно- ориентационная деятельность. Учащиеся пытаются совершить глубокую самооценку своей личности, своих возможностей и способностей. Происходит развитие рефлексии, растет интерес к философским вопросам о смысле жизни. На уроках математики с большей увлеченностью обсуждаются методологические вопросы и исторические аспекты.[36]

Ценностно-ориентированная активность также связывается со стремлением обучающихся данного возраста к автономии, праву быть самим собой, к эмоциональной самостоятельности. Они стремятся к поведенческой автономии, что выражается желанием самостоятельно решать вопросы, касающиеся их лично, эмоциональной автономии - желают иметь собственные привязанности, не контролируемые родителями, моральной и ценностной автономии - хотят иметь собственные взгляды и мнение.

Подросток как субъект учебной деятельности «характеризуется тенденцией  к  утверждению  своей  позиции  субъектной исключительности,

«индивидуальности», стремлением (особенно проявляющемся у мальчиков) чем-то выделиться».[11, с. 178] Это влияет на познавательную мотивацию учеников и мотивацию деятельности. В эти годы для обучающихся характерны значимые сдвиги в сфере мышления. Они могут оперировать абстрактными понятиями, рассуждать только в словесном плане, выдвигать гипотезы, тезисы и предложения, прогнозировать, анализировать и давать оценку своим умственным действиям, исследовать и сравнивать между собой разные способы решения одних и тех же задач. В это время происходит развитие теоретического рефлексивного мышления, мышления на уровне формальных операций [29].

Еще одно отличие мышления подростков – это способность к гибкости. Школьники могут мыслить и решать проблемы по-разному, объяснять различные вариации наблюдаемых результатов. Так же обучающиеся начинают размышлять о возможностях, которые не даются им непосредственно, они могут отвлечься от реальности и представлять свое будущее, представлять то, что могло бы произойти, мечтать, строить жизненные планы и сознательно начинают задумываться над выбором профессии.

В книге А. Л. Меньщиковой говорится о том, что главным в развитии мышления девятиклассников является овладение процессом образования понятий, который направляет к высшей форме интеллектуальной деятельности, новым формам поведения. Основополагающей функцией всех интеллектуальных изменений в этом возрасте является функция образования понятий. Осознание реальности, понимание окружающих и себя – это основа мышления в понятиях.[16]

В период подросткового возраста происходит перестройка памяти, быстро начинает развиваться логическая память, поэтому обучающиеся начинают преимущественно использовать именно её, а также   произвольную

и опосредованную память. Для подростка запоминать и вспоминать – значит мыслить, он устанавливает логические отношения внутри материала, который он запомнил, а затем, вспоминая информацию, производит восстановление материала по данным отношениям. В раннем юношеском возрасте большое развитие получает чтение, монологическая и письменная речь. [25] Устная речь в этот возрастной период может замедляться, но при этом становится контролируемой и управляемой, ответы на вопросы даются более лаконичные и стереотипные. Учащийся уже может осознавать свои интеллектуальные операции и управлять ими.

В это время подростки активно участвуют в кружковой работе, они охотно овладевают новыми знаниями и умениями. Поэтому при её организации необходимо учитывать все возрастные психолого- педагогические особенности учеников, чтобы ограничить обучающихся от негативных явлений этого возраста и помочь пережить кризис подросткового периода без неблагоприятных последствий. Учителю для проведения успешных занятий нужно знать индивидуальные качества учащихся, каким образом они формируются и что характерно для них в это время,  что меняется в их общем и психологическом состояниях.

Выводы к главе 1

В § 1 рассмотрены различные виды и формы внеклассной работы по математике, которая является естественным продолжением и дополнением основных форм организации и учебно-познавательной деятельности учащихся на уроке.

В § 2 представлены различные виды курсов по выбору, их цели  и задачи в математическом образовании школьников, изложены методические подходы к разработке методики кружка, критерии отбора его содержания. В этом параграфе изложены методы обучения, использующиеся при проведении кружков, и формы занятий, которые способствуют успешному усвоению нового материала и систематизации знаний и умений учащихся.

В § 3 отображены основные возрастные особенности учащихся старших классов, отношения подростков со взрослыми и сверстниками, приведены методические подходы к обучению старшеклассников математике.

Глава 2. Разработка содержания и методики проведения курса по выбору «Решение планиметрических задач методом движений» для учащихся 9-х классов

§1. Метод движений при решении планиметрических задач

Прежде, чем говорить о движении, нужно ввести понятие преобразования плоскости или фигур. Подходы различных авторов учебных изданий сильно отличаются. Например, у А.П. Киселёва преобразования не рассматриваются совсем. В то же время в учебном пособии А.И. Колмогорова преобразования занимают центральное место, именно они служили основой доказательства многих теорем, их обоснованию была посвящена специальная аксиома подвижности.[18] В курсе геометрии А.В. Погорелова даётся интуитивное определение: «Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной». [22] В учебнике Л.С. Атанасяна и др. понятие описывается так: «Представим себе, что каждой точке плоскости сопоставляется (ставится в соответствие) какая- то точка этой плоскости, причём любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя». [1]

Движениемназывается отображение плоскости на себя либо преобразование одной фигуры в другую, сохраняющее расстояние между точками.

Свойства движения:

  1. При движении три точки, лежащие на одной прямой, переходят в три точки, лежащие на одной прямой, а точки, не лежащие на одной прямой, переходят в точки, также не принадлежащие одной прямой.
  2. При движении образом прямой является прямая линия.
  3. При движении отрезок преобразуется в равный ему отрезок.

  1. При движении окружность радиусаrс центром в точкеOпреобразуется в окружность того же радиуса с центром в точке, совпадающей с образом центраO.

Стоит заметить, что в учебнике Л.С. Атанасяна и др. отображением плоскости на себя является наложение, с помощью которого определялось равенство фигур – одно из базовых понятий курса геометрии. Также верно утверждение о том, что любое наложение является движением плоскости, и наоборот, любое движение является наложением.В связи с этим, будет уместно добавить следующие свойства:

  1. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
  2. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
  3. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.
  4. Любой уголhkможно совместить наложением с равным ему угломh1k1двумя способами: 1) так, что лучhсовместится с лучомh1, а лучk– с лучомk1; 2) так, что лучhсовместится с лучомk1, а лучk– с лучомh1.
  5. Любая фигура равна самой себе.
  6. Если фигураFравна фигуреF1, то фигураF1равна фигуреF.
  7. Если фигураF1равна фигуреF2, а фигураF2равна фигуреF3, то фигура

F1равна фигуреF3.

Далее рассмотрим отдельные виды движения.

Параллельным переносомна данный векторaназывается отображение плоскости на себя, при котором каждая точкаM отображается в

такую точкуM1, что вектор

MM1равен векторуa.

Поворотомплоскости вокруг точкиOна уголαназывается отображение плоскости на себя, при котором каждая точкаMотображается в такую точкуM1, чтоOM=OM1и уголMOM1равенα.

Две точкиAиA1называютсясимметричными относительно прямойa, если эта прямая проходит через середину отрезкаAA1и перпендикулярна к нему.

Фигура называетсясимметричной относительно прямойa, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямойa также принадлежит этой фигуре. Прямаяaназывается осью симметрии.

Две точкиAиA1называютсясимметричными  относительно    точки

O, еслиO– середина отрезкаAA1.

Фигура называетсясимметричной относительно точкиO, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точкиOтакже принадлежит этой фигуре. ТочкаOназывается центром симметрии фигуры.

Центральная симметрия также может рассматриваться как поворот плоскости вокруг точки на 180°.

В работе будет рассматриваться применение метода движений к решению задач на доказательство и вычисление, а также нахождения максимума и минимума. Метод также широко применяется при решении задач на построение, его суть в этих задачах состоит в отыскании подходящего движения данных фигур или их элементов, позволяющего построить вспомогательную фигуру, в частности, точку, определяющую искомую фигуру. Выполнение построения предполагает умение строить образы точек, прямых и окружностей при различных движениях плоскости.

Трудно дать конкретные рекомендации по использованию геометрических преобразований для решения задач элементарной геометрии. Общие же соображения следующие: геометрические преобразования применяются для упрощения задачи, для отыскания закономерностей, позволяющих определить решение. При этом рассматривается образ либо всей фигуры, либо её части при существующем преобразовании. Применяя движение при решении задачи элементарной геометрии,  следует помнить, что  оно  преобразует  элементы  фигуры  в  соответствующие  элементы     её

образа: высоты треугольника преобразуются в высоты, центр вписанной окружности - в центр вписанной окружности образа и т.д. [2]

§2. Методики обучения решению планиметрических задач методом движений

В работах советских психологов (например, Леонтьева А.Н.) [14] указывается на то, что формирование общего принципа решения задач следует начинать с решения тех задач, условия которых  оказывают решающее влияние на нахождение метода решения. Согласно этим выводам, использование отображений в конкретных ситуациях целесообразно начинать с рассмотрения тех задач, анализ которых подсказывает метод их решения.

В процессе решения этих задач объединяются умения и навыки учащихся в овладении методом геометрических преобразований, образуя единую цепь, составляющую сущность этого метода, формируется представление о методе геометрических преобразований как об обобщённом методе решения геометрических задач, приобретается опыт учащихся в использовании преобразований в конкретных ситуациях. К тому же, при решении задач у учащихся вырабатываются критерии выбора нужного вида геометрического преобразования для доказательства различных зависимостей, для построения фигур и т. д. [23]

Доказать некоторое соотношение в равнобедренном треугольнике, равнобедренной трапеции, прямоугольнике, ромбе часто удаётся с помощью осевой симметрии.

При установлении зависимостей в равностороннем треугольнике, квадрате, при доказательстве перпендикулярности прямых эффективно используется поворот.

Применение параллельного переноса даёт желаемый результат при доказательстве различных соотношений в параллелограмме, трапеции, а также при построении этих фигур.

Учащиеся же не получают подобные критерии в готовом виде, а овладевают ими в процессе решения задач. [23]

Также можно выделить следующие умения, которые ученикам необходимо освоить для решения задач методом движений:

Освоение критериев и необходимых умений можно осуществить с помощью следующих примеров.

  1. Параллельный перенос

Пример 1.Даны две пересекающиеся окружности равных радиусов, расстояние между центрами которых равноm. Прямаяl, параллельная линии центров, пересекает первую окружность в точкахAиC, а вторую – в точкахBиD,лучиACиBDсонаправлены (рис. 1). Найти длину отрезкаAB.

Решение.В связи с тем, что отрезокAB, длину которого нужно  найти, и отрезокO1O2с заданной длиной, расположены на параллельных прямых, имеет смысл в первую очередь рассмотреть параллельный перенос. Вспоминая свойства движения, выясняем, что окружность радиусаrс центром в точкеOпреобразуется в окружность того же радиуса с центром в точке, совпадающей с образом центраO. Поэтому, учитывая, что начала отрезков относятся к окружностиω1, а концы – к окружностиω2, и окружности   имеют   равные   радиусы,   можно   осуществить параллельный

перенос,  переводящий  одну  окружность  в  другую.  Образом  точкиO1при

таком переносе будет являться точкаO2. Образ точкиAпринадлежит, помимо окружностиω2, прямой, параллельнойO1O2, которая высекает на этой окружности точкиBиD. Зная, что лучиACиBDсонаправлены, можем сделать вывод о том, что точкаAпереходит в точкуB, а точкаC– в точкуD. Так как при параллельном переносе точкаAпереходит в точкуB, то длина

отрезкаABбудет равна длине вектора параллельного переноса, то есть, |a|  =

= |O1O2| =m.

Рис. 1

Пример 2.Где нужно строить мост через реку с параллельными берегами, чтобы соединить пунктыAиB, расположенные по разные стороны реки, кратчайшим путём?

Решение.Условие задачи на максимум или минимум можно выразить следующим образом: требуется найти наибольшее или наименьшее значения элементаxфигурыF, однозначно определённого элементамиx,ai(i=1, 2, …). Сущность применения метода движений для решения таких задач состоит в следующем:

а) Дадим элементуxопределённое значениеx=cи решим задачу на построение фигурыF’ по заданным элементамxиai.

б) Решив эту задачу, считаем элементcпеременным. Затем, применяя те или иные преобразования, замечаем те особенности, которые возникают

при достижении элементомxмаксимального или минимального значения. Выделение указанной особенности позволяет сделать заключение о наибольшем или наименьшем значении элементаxфигурыF.

В первую очередь, во избежание ошибок в данной задаче следует заметить, что мост на реке всегда строится перпендикулярно её берегам. Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что длина моста всегда будет одинакова и при решении задачи её можно не учитывать. Чтобы продемонстрировать идею на чертеже, выполним параллельный перенос одного из берегов на вектор, перпендикулярный берегам реки и имеющий длину, равную расстоянию между берегами. В этом случае точкаAперейдёт в точкуA1, а кратчайший путь будет проходить по ломанойAMEB, гдеE– точка пересечения прямойA1Bберега реки (рис. 2).

При любом другом положении моста путь из точкиAв точкуBбудет длиннее. Пусть мост проходит через точкиXиY, отличные от точекMиE. Тогда путь будет представлять собой ломануюAXYB. Чтобы сравнить длину этой ломаной с длиной ломанойAMEB, осуществим параллельный перенос одного из берегов реки так, чтобы края берегов слились в одну прямую. При этом точкаXперейдёт в точкуY, точкаA– в точкуA1, отрезокAX– в отрезокA1Y. Длина пути из точкиAв точкуBбудет равняться сумме длин ломанойA1YBи моста. Длина ломанойA1YBбольше длины отрезкаA1B, следовательно, путь через мостXYбудет длиннее, чем через мостME.

Рис. 2

Пример 3.Доказать, что в трапеции разность длин оснований по модулю больше абсолютной величины разности длин боковых сторон.

Решение.Разность отрезков на чертеже можно показать с помощью изображения одного отрезка на другом. Учитывая, что основания трапеции параллельны, среди различных видов движения следует выбрать параллельный  перенос.Можно  рассмотреть  два  варианта,  приводящие    к

аналогичным результатам: перенос стороныABна векторBCлибо   перенос

основанияBCна векторBA. Полученный четырёхугольникABCF– параллелограмм (рис. 3). Далее, выражая длины одних сторон через длины других и используя свойство треугольника о том, что модуль разности двух сторон меньше третьей, получаем неравенство |AD| - |BC| > ||AB| - |CD||.

Рис. 3

Пример 4.На сторонахABиCDпараллелограммаABCDпостроены квадраты, первый – по ту же сторону от прямойAB, что и сам параллелограмм, а второй – вне параллелограмма (рис. 4). Доказать, что расстояние между центрами квадратов равно длине стороныAD.

Решение.В задаче ставится вопрос о нахождении расстояния между аналогичными элементами равных фигур – центрами квадратов, следовательно, наиболее очевидным будет применение одного из видов движения.      Учитывая,      что      квадраты      расположены      на   сторонах

параллелограмма, логично использовать параллельный перенос,

переводящий один квадрат в другой. Векторaпереноса будет направлен по стороне параллелограммаAD.

Чтобы доказать, что один квадрат перейдёт в другой, достаточно показать, что вершины одного квадрата перейдут в вершины другого. Так как прямыеMBиABперпендикулярны, а длина отрезкаMBравна длине  отрезка

PC, то точкаMперейдёт в точкуP. Аналогично получаем, чтоTa:NQ.

Таким образом, при параллельном переносеTaквадратABMNпереходит в квадратDCPQ. Из этого следует, что все элементы первого квадрата, включая диагонали, переходят в элементы второго квадрата, поэтому центр  первого квадратаO1переходит в центр  второго  квадратаO2

как точки пересечения этих диагоналей, значит, длины отрезковO1O2иADравны.

O1O2

=a=AD.  Поэтому

  1. Поворот

Рис. 4

Пример 5.На прямойlданы три точкиA,BиC, причём точкаBлежит междуAиC. На отрезкахABиBCпостроены равносторонние треугольникиABPиBCQтак, что вершиныPиQлежат в одной полуплоскости относительно прямойl(рис. 5). Обозначим черезMсередину отрезкаAQ, а

черезN– серединуCP. Доказать, что треугольникBMNтакже является равносторонним.

Решение.Используя рассуждения предыдущей задачи и анализируя условие, видим аналогичные элементы – середины отрезков, одна из который переходит в другую в том случае, когда существует преобразование, переводящее один отрезок в другой. В данном случае преобразование неочевидно, поэтому имеет смысл попытаться найти другие фигуры, в которых используются вершины этих отрезков. Можно рассмотреть отрезкиAPиQC, которые являются сторонами равносторонних треугольников, и, следовательно, лежат напротив углов величиной 60°. По рисунку видим, что поворот на 60° вокруг точкиBпереводит точкиAиQсоответственно в точкиPиC. Концы отрезковAQиPCпереходят друг в друга, следовательно, переходят  друг  в  друга  сами  отрезки  и  их  середины,  то  есть,  точкаM

переходит в точкуN. Из этого следует, что |BM| = |BN| иMBN= 60°, значит,

треугольникMBNравносторонний.

Рис. 5

Пример 6.Из всех треугольников с данной стороной и данным углом при вершине, не лежащей на этой стороне, найти треугольник, имеющий максимальный периметр.

Решение.В решении задачи используется утверждение о том, что множество все точек плоскости, из которых отрезок виден под одним углом, представляет собой две дуги окружностей, симметричных относительно дугиAB.

Так как одна из сторон треугольника дана, то величина периметра зависит от длин двух сторон треугольника,AC1иBC1, лежащих на сторонах угла (рис. 6). Аналогично примеру 2 для упрощения ситуации можно попытаться расположить необходимые компоненты на одной прямой, для этого «выпрямим» ломануюAC1Bс помощью поворота на угол величиной (180° -α) относительно точкиC1(рис. 6). Таким образом, точкаBпереходит в точкуM, лежащую на прямойAC, и исходная задача сводится к максимизации длины отрезкаAM.Это достигается движением точкиMпо окружности, из точек которой отрезокABвиден под одним и тем же углом, мера которого равнаα/2, так как треугольникC1MB– равнобедренный, а его внешний угол равенα. Данные сторона и угол при таком движении остаются неизменными.

ОтрезокAMдостигает наибольшей длины тогда, когда он пересекает центр окружности, т.е. занимает положениеAM. ТочкаC1при этом перемещается на позицию точкиC, лежащей на дугеAC1B, с которой отрезокABвиден под угломα.

Также  в  этом  примере  можно  доказать,  что  найденный треугольник

ABCявляется  равнобедренным.  ТреугольникBCM–  равнобедренный  по

построению,BCM= 180° -α, следовательно,CMB=CBM=α/2. Так какACB=α, аABM= 90° по построению, тоABC= 90° -α/2 =CAB,

из чего следует, что треугольникABC– равнобедренный.

  1. Осевая симметрия

Рис. 6

Пример 7.Дан треугольникABC,CL– биссектриса его внешнего  угла,

M– произвольная точка лучаCL(рис. 7). Доказать, что |MA| + |MB| > |CA| +

|CB|.

Решение.Биссектриса угла является для него осью  симметрии, поэтому можно с помощью осевой симметрии попробовать расположить нужные для доказательства элементы либо их образы на одной прямой. При симметрии относительно осиCLвсе точки прямойCBперейдут в точки прямойAC, следовательно, точкаBперейдёт в точкуB. Из этого следует, что

|AB| + |BM| = |AM| + |MB| и |CA| + |CB| = |CA| + |CB| = |AB|. Далее следует вспомнить, что одна сторона треугольника меньше суммы двух других, следовательно, в треугольникеAMB|AM| + |MB| > |AB|.Таким образом,

|AM| + |MB| > |CA| + |CB|. Утверждение доказано.

Рис. 7

Пример 8.На плане местности отмечены пунктыAиB, которые расположены между двумя прямолинейными дорогамиmиl(рис. 8). Найдите точкиMиL, такие, чтобы суммаAM+ML+LBбыла наименьшей, еслиMлежит на дорогеm, аL– на дорогеl.

Решение.Задача похожа на пример 2, но здесь нет параллельных прямых или заданных углов, на величину которых можно было бы совершить поворот, поэтому имеет смысл рассмотреть симметрию  относительно прямыхmиl. Из свойств симметрии следует, что длина  ломанойAMNBбудет равна длине ломанойA1MNB1, а её минимальная величина будет достигаться в том случае, если точкиA1,M,NиB1будут лежать на одной прямой.

Аналогично решается задача для трёх пунктов с заходом на две прямолинейные дороги, между которыми эти пункты расположены.

Рис. 8

Пример 9.Доказать, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна длине высоты, опущенной из вершины основания на боковую сторону.

Решение.Аналогично предыдущей задаче, здесь нет параллельных прямых или заметных на первый взгляд точек поворота на какой-либо угол, поэтому попробуем изобразить сумму длин высот, проведённых из точкиMк боковым сторонам (рис. 9), на одной прямой с помощью осевой симметрии. Единственный вариант оси симметрии для такого преобразования – прямаяAC. ТочкаBпри осуществлении симметрии относительно прямойACпереходит в точкуB, точкаP– в точкуP. Далее нужно проверить, действительно  ли  отрезкиPMиMQлежат  на  одной  прямой. Из свойств

осевой симметрии следует, чтоPMA=AMP. Поэтому, учитывая равенство угловPMAиQMC(следует из равенства угловBACиBCAпри основании треугольника), имеем:AMP=QMC, из чего вытекает, что

точкиP,MиQлежат на одной прямой.

Дале видим, что отрезокPQ– общий перпендикуляр параллельных прямыхABиBC, поэтому его длинаhравна высоте треугольника, опущенной на боковую сторону. Но |PM| = |PM|, следовательно, |PM| +   |MQ|

= |PQ| =h. Утверждение доказано.

Рис. 9

§3. Разработка плана проведения занятий

При освоении курса ставятся следующие цели и задачи:

Цели курса:повышение интереса у учащихся к геометрии, расширение и систематизация знаний о геометрических преобразованиях, формирование пространственного воображения путём применения движений к различного вида фигурам.

Задачи курса:

Кружок по теме «Решение планиметрических задач  методом движений» предназначен для учащихся 9-х классов и представлен в 8 занятиях.

Итоговый контроль осуществляется при помощи контрольной работы, составленной из трёх заданий – по одному на каждый вид движения.

В результате изучения содержания кружка по теме «Решение планиметрических задач методом движений» учащиеся должны:

знать:определения движения, параллельного переноса, поворота и симметрии, их свойства;

уметь:распознавать вид движения, необходимый для решения задачи, правильно выполнять построение отображения различных фигур на чертеже.

Время проведения кружка: 9 класс, 3 четверть.

Тема занятия

Вид занятия

Кол-во часов

1

Введение. Параллельный перенос

Лекционно- практическое занятие

1

2

Параллельный перенос

Практическое занятие

1

3

Параллельный перенос

Практическое занятие

1

4

Поворот. Центральная симметрия

Лекционно- практическое занятие

1

5

Поворот. Центральная симметрия

Практическое занятие

1

6

Осевая симметрия

Лекционно- практическое занятие

1

7

Осевая симметрия

Практическое занятие

1

8

Итоговое занятие

Проверочная работа

1

На вводном занятии необходимо сформировать мотивацию учащихся к изучению курса с помощью демонстрации практической значимости и полезности метода движений, изложить цели и задачи курса, формы проведения занятий и итогового контроля, объявить темы последующих занятий и конечный результат освоения курса.

Практические занятия направлены на повышение интереса у учащихся к планиметрии, расширение личного «арсенала» методов решения планиметрических задач, формирование пространственного воображения путём применения движений к разного вида фигурам. Во время занятий предполагается в основном групповая форма работы обучающихся. Учитель излагает необходимую теорию, контролирует выполнение заданий учащимися, а также при необходимости помогает им правильно выполнить чертеж или распознать вид движения, с помощью которого решается данное задание.

На последнем занятии подводятся итоги изучения курса и проводится контрольная работа с целью проверки знаний учащихся.

Список задач для самостоятельного решения и решения в классе представлен в Приложении.

§4. Пример проведения занятия № 4

Учитель напоминает ученикам определения поворота и центральной симметрии, демонстрирует, что центральная симметрия является поворотом вокруг точки на 180°. Затем идёт разбор вместе с учащимися примера 5 из параграфа 2 – одного из наиболее удачных примеров оптимальности применения метода движений к задачам.

Далее предполагается решить следующие задачи:

Задача 1.На плоскости даны две параллельные прямыеdиd. Сколько существует поворотов, при которыхdd? Чему равен угол поворота? Как расположены центры этих поворотов?

Решение.Рассмотрим для начала произвольный поворот, переводящий выбранную точкуMна прямойdв точкуMна прямойd. По определению, центром такого поворота будет точкаO, расположенная на одинаковом расстоянии от точекMиM. В том случае, когда точкаOлежит на отрезкеMM(и, следовательно, является серединой этого отрезка), угол поворота будет равняться 180°, т.е. имеет место центральная симметрия. По определению центральной симметрии, каждой точкеNпрямойdбудет соответствовать образNна прямойd, расположенный таким образом, чтоNO=ON. Можно сделать вывод о том, что центром любого поворота при данных условиях будет являться точка, лежащая на прямой, расположенной на одинаковом расстоянии от прямыхdиd, число поворотов равно числу точек, лежащих на этой прямой, а угол поворота будет равняться 180°.

Перейдём к случаю, когда точкаOне лежит на отрезкеMM. Угол поворота в таком случае не будет равняться 180°, и точкаN прямойd, расположенная таким образом, чтоON^d, перейдёт в точкуN, не лежащую на прямойdтак как длины расстояний от точкиOдо прямыхdиdразличны. Следовательно, такой поворот не будет переводитьdвd.

Задача 2.На плоскости даны две непараллельные прямыеdиd. Сколько существует поворотов, при которыхdd? Как расположены центры этих поворотов?

Решение.Проводим рассуждения, аналогичные присутствующим в задаче 1, и получаем, что центры искомых поворотов расположены на прямой, находящейся на одинаковом расстоянии от данных прямыхdиd, а любая другая точка центром такого поворота являться не будет.

Задача 3.Даны два равных непараллельных отрезкаABиAB. Всегда ли существует поворот, при котором точкиAиBявляются образами точекAиB?

Решение.Чтобы решить задачу, нужно либо построить поворот в произвольном случае, либо привести пример такого взаимного расположения отрезков, при котором поворота, переводящего один отрезок в другой, не существует. Попробуем понять, как для данного случая строится поворот.

Зная, что центр поворота лежит на одинаковом расстоянии от точки и её образа, можем сделать вывод, что множество всех центров поворотов для данных точек составляет серединный перпендикуляр к отрезку, концами которого эти точки являются. Следовательно, пересечение серединных перпендикуляров к отрезкамAAиBBбудет являться центром поворота, одновременно переводящего точкуAв точкуAи точкуBв точкуB.

В случае, когда данные отрезки лежат на параллельных прямых, серединные перпендикуляры к отрезкамAAиBBпересекаться не будут. В этом случае поворота, при котором точкиAиBявляются образами точекAиB, не существует.

Если рассматривать вопрос, всегда ли существует поворот, переводящий один отрезок в другой, равный ему, то для случая, когда отрезки лежат на параллельных прямых, можно рассмотреть точкуBкак образ точкиA, а точкуAкак образ для точкиB. ЧетырёхугольникABBAявляется параллелограммом в силу равенства и параллельности сторонAB иAB, отрезкиABиAB– его диагонали, которые точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, серединные перпендикуляры для этих отрезков пересекаются в этой же точке, и можно сделать вывод о том, что поворот существует для любого расположения исходных отрезков.

Задача 4.Доказать, что при повороте плоскости вокруг точкиOна угол 180° любая прямая, проходящая через точкуO, переходит в себя, а любая прямая, не проходящая через точкуO, переходит в параллельную ей прямую.Решение.Так как точкаOявляется серединой отрезка, образованного заданной точкой на данной прямой и её образом при повороте на 180°, и точкаOлежит на этой прямой, то, по определению симметрии относительно точки,  образ  заданной  точки  также  ей  принадлежит.  Следовательно,     по

определению, прямая при повороте на 180° с центром, лежащим на этой прямой, переходит в себя.

Если прямая не проходит через центр симметрии, то проводим рассуждения, аналогичные приведённым в задаче 1, и получаем, что образ прямой будет параллелен ей самой.

Домашнее задание:

Задача.На сторонах равностороннего треугольника вне его построены квадраты (рис. 10). Доказать, что центры этих квадратов являются вершинами равностороннего треугольника.

Решение.Используя рассуждения, приведённые в примере 5 и ранее, можем заметить, что при переходе вершинA1,B1иC1друг  в друга образуются равные отрезки, которые будут составлять равносторонний треугольник. В связи с тем, что эти вершины не расположены на параллельных прямых и не имеют общей оси симметрии, следует использовать поворот. Рассмотрим поворот вокруг точкиOна 120°. Так    как

треугольникABCравносторонний, тоAOB=BOC=COAиAB,B

C,CA,ABBC,BCCA,CAAB.Стороны квадратов переходят

друг в друга, значит, квадраты и их центры также перейдут друг в друга, а из этого следует, чтоA1B1=B1C1=C1A1, и треугольник, образованный центрами квадратов, равносторонний.

Рис. 10

Во время педагогической практики в период с 24 февраля по 22 марта в ГБОУ «Школа № 2107» в 9в классе было проведено полуторачасовое занятие по материалам кружка на тему «Поворот». На занятии был рассмотрен теоретический материал, необходимый для решения задач, разобраны примеры 5 и 6 из § 2, решены задачи из примера проведения занятия № 4.

В конце урока была проведена самостоятельная работа, состоящая из одной задачи на применение поворота.

Задача.Дан квадратABCDи точкиA1,B1,C1,D1, лежащие соответственно на лучахDA,AB,BC,CD, причём отрезкиAB1,BC1,CD1,DA1равны. Доказать, чтоA1B1C1D1– квадрат.

С работой справились 61% учеников (14 из 23), из чего можно сделать вывод о том, что материал доступен для освоения учащимися 9 класса.

Выводы к главе 2

В § 1 проанализированы учебники по геометрии, в результате чего было установлено, что к девятому классу у учащихся есть необходимые знания для освоения материала кружка «Решение планиметрических задач методом движений», изложена теоретическая база и общие рекомендации к решению задач методом движений.

В § 2 описаны частные методики анализа задач и выявления вида движения, необходимого для их решения, описаны критерии выбора вида движения для работы с определёнными фигурами.

В § 3 выполнено тематическое планирование курса, поставлены его цели и задачи, а также знания и умения, которые должны быть освоены учащимися при изучении курса, описана структура курса и содержание занятий.

В § 4 изложен пример проведения занятия кружка, в котором продемонстрированы преимущества метода движений, рассмотрено применение поворота в различных ситуациях для лучшего освоения критериев выбора конкретного вида движения в решении геометрических задач.

Заключение

В процессе исследования в соответствии с его целью и задачами получены следующие основные выводы и результаты:

  1. В ходе изучения психолого-педагогической и методической литературы было выявлено, что различные формы проведения внеклассной работы служат неотъемлемой частью полноценного образования и всестороннего развития личности. Важным элементом разработки кружка является определение ожидаемых результатов его изучения.
  2. На основе анализа психолого-педагогической, учебной и методической литературы, было определено содержание кружка по теме

«Решение планиметрических задач методом движения» для учащихся девятых классов, изучение которого способствует повышению интереса к математике, расширению и углублению знаний учащихся о движениях и их свойствах.

  1. Проведённое занятие показало, что материал кружка по теме

«Решение планиметрических задач методом движений» доступен для понимания учащихся и вызывает у них интерес.

Таким образом, цель работы, а именно разработка методики проведения кружка по теме «Решение планиметрических задач методом движений» для учащихся девятых классов, достигнута. Сформулированная гипотеза о том, что разработанный курс по выбору будет способствовать расширению и углублению знаний, полученных ими в ходе изучения курса геометрии, доказана.

Список литературы

  1. Атанасян Л.С. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – М: Просвещение, 2007. – 384 с.
  2. Атанасян С.Л Геометрия 1 : учебное пособие для вузов / С.Л. Атанасян, В.Г. Покровский ; под ред.С.Л. Атанасяна. – М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. – 331с
  3. Атанасян С.Л., Глизбург В.И. Сборник задач по геометрии.Часть 1. – М: БИНОМ, 2006. – 292 с.
  4. Бабанский Ю.К. Избранные педагогические труды/ Сост. М.Ю. Бабанский. – М.: Педагогика, 1989. – 560 с.
  5. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1971. – 462 с.
  6. Бизяева Л.Н. Внеклассная работа по математике: методическая разработка – Новосибирск: Изд-во НИПКиПРО, 2015 – 52 с.
  7. Будаева Л.Н. История развития факультативных и элективных курсов. –URL:http://nsportal.ru/shkola/materialy-metodicheskikh-obedinenii/library/istoriya-razvitiya-elektivnyh-kursov
  8. Возрастная и педагогическая психология: Учебник для студентов пед. ин- тов/[В.В. Давыдов и др.]; Под ред. А.В. Петровского. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Просвещение, 1979. – 288 с.
  9. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс. Часть 1. – Изд. 2-е, перераб./ Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – М.: Издательство «Ювента», 2011. – 176 с.: ил.
  10. Егупова, М.В. Практико-ориентированное обучение математике в школе.Учебное пособие для студентов педвузов. – М.: МПГУ, 2014. – 208 с.
  11. Зимняя, И.А. Педагогическая психология: учебник для вузов. – 2-е изд., доп., испр. и перераб. – М.: Университетская книга; Логос, 2009 – 384 с.
  12. Кадыров, И. Взаимосвязь внеклассных и факультативных занятий по математике: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1983. — 64с.

  1. Кондаурова И.К. Избранные главы теории и методики обучения математике: дополнительное математическое образование школьников: учебно-методическое пособие / И.К. Кондаурова. – Саратов: ИЦ «Наука», 2010. – 192 с.
  2. Леонтьев А.Н. Опыт экспериментального исследования мышления. Доклады на совещании по вопросам психологии. – М: Просвещение, 1954.
  3. Мардахаева Е.Л. Математический кружок в системе дополнительного математического образования учащихся 5-7-х классов основной школы: диссертация … кандидата педагогических наук : 13.00.02.242 с.
  4. Меньщикова, А.Л. Возрастные стадии психического развития личности: конспект лекций. – СПБ.: Издательский дом СПбМАПО, 2007. – 224 с.
  5. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие / [Ю.М. Колягин и д.р.] – Чебоксары: Изд-во Чуваш.Ун-та, 2009. – 732 с.
  6. Мишин В.И. Методика преподавания математики в средней школе: частная методика – М.: Просвещение, 1987. – 416 с.
  7. Немов, Р.С. Психология: учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений: В 3 кн. – 4-е изд. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2002. – Кн. 2: Психология образования. – 608 с.
  8. Об утверждении концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования: [Электронный ресурс] приказ Минобразования РФ от 18 июля 2002 года №2783. – Режим доступа:http://www.consultant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc;base=EXP;n=308747;dst=100001/#0
  9. Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования: [Электронный ресурс] приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 г. № 413. – Режим доступа:http://nmc-kem.ucoz.ru/Obrazovatelniy/FGOS/FGOS-SO/prikaz_1645_ot_29.12.2014_fgos_soo_s_izmenenijami.pdf

  1. Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. организаций / А.В. Погорелов. – 2-е изд. – М: Просвещение, 2014. – 240 с.
  2. Саранцев Г.И. Методика изучения отображений в курсе геометрии восьмилетней школы. – М: Просвещение, 1979. – 80с.
  3. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. – М: Просвещение, 1995. – 240 с.
  4. Сластенин В.А. Педагогика: Учебное пособие – М.: Издательский центр

«Академия», 2013 – 227 с.

  1. Смирнова И.М. Критерии отбора содержания математических курсов по выбору [Электронный ресурс] / И. М. Смирнова // Наука и школа.-2014.-

№ 3 . – Электронные текстовые данные (14Mb) . – С. 7-13

  1. Смирнова, И. М. Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 4-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 376 с.
  2. Смирнова, И.М. Выпускная квалификационная работа (методика обучения математике): учебное пособие. – М.: МПГУ «Прометей», 2015.

– 168 с.

  1. Сосновский, Б.А. Психология: Учебник для педагогических вузов. – М.: Высшее образование, 2008. – 660 с.
  2. Фарков А.В. Внеклассная работа по математике. 5-11 классы. М.: Айрис- пресс, 2009. – 288 с.
  3. Фарков А.В. Математические олимпиады: методика подготовки. 5-8 классы. – М.: ВАКО, 2014. – 176 с. – (Мастерская учителя математики).
  4. Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе.5-11. – М.: Айрис- пресс, 2002. – 176 с.
  5. Фарков, А.В. Математические олимпиады.  Учебно-методическое пособие. – М.: Владос, 2004. – 154 с.
  6. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. —URL:http://минобрнауки.рф/документы/938

  1. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (10-11 кл.). —URL:http://минобрнауки.рф/документы/2365
  2. Фридман, Л.М. Психолого-педагогические основы обучения  математике в школе: Учителю математики о пед. психологии. – М.: Просвещение, 1983. – 160 с.

Приложения Задачи для самостоятельного решения и решения в классе.

Параллельный перенос

  1. Даны две параллельные прямыеcиc. Сколько существует параллельных переносов, при которых прямаяcпереходит в прямуюc?
  2. Даны два сонаправленных лучаABиCD. Сколько существует параллельных переносов, при которых лучABпереходит в лучCD?
  3. Даны два отрезкаABиCD. В каком случае существует параллельный перенос, при котором точкиAиBпереходят соответственно в точкиCиD?
  4. На плоскости даны две пары параллельных прямых –dиd,mиm, причём прямыеdиmне параллельны. Построить образ данного квадратаABCDпри параллельном переносе, при которомdd,mm.
  5. Найти координаты образа точкиM(2, 6) при параллельном переносе, при котором точкаA(1, -1) переходит в точкуA(5, -4).
  6. Найти площадь ромба, зная длинуdего большей диагонали и величинуα острого угла при вершине.
  7. Докажите, что в трапеции разность длин оснований по модулю больше абсолютной величины разности длин боковых сторон.
  8. Определить площадь треугольникаABC, еслиAB= 13,BC= 15, а медиана

BM= 6.

  1. Доказать, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований.
  2. Даны пересекающиеся окружности равных радиусов (O1,r), (O2,r). Секущая, параллельная прямойO1O2пересекает первую окружность в точкахAиB, а вторую окружность в точкахCиD(лучиABиCDсонаправлены). Расстояние между точкамиO1иO2равноm. Найти расстояние  между точкамиAиC.

11.* На сторонеABпрямоугольникаABCDпостроен треугольникABM. Доказать, что  перпендикуляры, проведённые через точкуDк прямойBMи

через точкуCк прямойAM, пересекаются на прямой, содержащей высоту

MM1треугольникаABM.

  1. Дан треугольникАВС. ТочкиF,DиE- соответственно середины сторонАВ,BCиАС. ПустьO1,O2иO3- центры окружностей, описанных вокруг треугольниковAFE,FBD, иЕDС, аQ1,Q2иQ3- центры окружностей, вписанных в эти треугольники.Докажите, что треугольникO1O2O3равен треугольникуQ1Q2Q3.

Поворот

  1. На плоскости даны две параллельные прямыеdиd. Сколько существует поворотов, при которыхdd? Чему равен угол поворота?  Как расположены центры всех этих поворотов?
  2. На плоскости даны две непараллельные прямыеdиd. Сколько существует поворотов, при которыхdd?Как расположены центры всех этих поворотов?
  3. Даны два равных непараллельных отрезкаABиAB. Всегда ли существует поворот, при котором точкиAиBявляются образами точекAиB?
  4. Доказать, что при повороте плоскости вокруг точкиOна угол 180° любая прямая, проходящая через точкуO, переходит в себя, а любая прямая, не проходящая через точкуO, переходит в параллельную ей прямую.
  5. ТочкаB лежит между точкамиAиC. На отрезкахABиBCпо одну сторону от прямойABпостроены равносторонние треугольникиABDиBCE. ТочкаM– серединаDC, точкаP– серединаAE. Доказать, что треугольникBMPравносторонний.
  6. На сторонах равностороннего треугольника вне его построены квадраты.Доказать, что центры этих квадратов являются вершинами равностороннего треугольника.
  7. Дан квадратABCDи точкиA1,B1,C1,D1, лежащие соответственно на лучахDA,AB,BC,CD, причём отрезкиAB1,BC1,CD1,DA1равны.Доказать, чтоA1B1C1D1– квадрат.

  1. На сторонахBCиCDквадратаABCDвзяты точкиMиKтак, что периметр треугольникаCMKравен удвоенной стороне квадрата.Найти величину углаMAK.

Осевая симметрия

  1. Доказать, что при осевой симметрии любая прямая, перпендикулярная оси симметрии, переходит сама в себя.
  2. Доказать, что при осевой симметрии любая прямая, параллельная оси симметрии, переходит в параллельную ей прямую.
  3. Доказать, что при осевой симметрии любая прямаяa, не параллельная и не перпендикулярная оси симметрииd, переходит в такую прямуюa, что прямаяdсодержит биссектрису угла между прямымиaиa.
  4. Доказать, что если прямая, соединяющая середины оснований трапеции, перпендикулярна основаниям, то трапеция равнобедренная.
  5. Доказать, что две трапеции равны, если равны их соответственные стороны.
  6. На биссектрисе внешнего углаCтреугольникаABCвзята точкаM. Доказать, чтоAC+CBAM+MB.




Похожие работы, которые могут быть Вам интерестны.

1. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ В ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ

2. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

3. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЙ КРУЖКА НА ТЕМУ «ШИФРЫ И ШИФРОВАНИЕ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ

4. Решение уравнений методом итерации

5. Решение линейного уравнения численным методом

6. Решение задач оптимизации в среде Mat Lab

7. РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ СХЕМОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

8. Решение алгебраических задач геометрическим способом

9. Постановка и решение задач системы нелинейных уравнений

10. СРЕДЫ С ПЛОСКО–ПАРАЛЕЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ РАЗДЕЛА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ