Методика развития алгоритмического мышления учащихся 10-11 классов (на примере изучения тестов простоты)



Методика развития алгоритмического мышления учащихся 10-11 классов (на примере изучения тестов простоты)

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ3

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯАЛГОРИТМИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ 10-11КЛАССОВ7

§ 1. Анализ нормативной документации7

§ 2. Возрастные особенности обучающихся 10-11 классов16

§ 3. Суть и основные характеристики алгоритмического мышления

..............................................................................................................24

§ 4. Теоретические сведения об алгоритмах и их видах29

§ 5. Анализ учебной литературы для 10-11 классов35

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА

«ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ АЛГОРИТМЫ И ТЕСТЫ НАПРОСТОТУ»39

§ 1. Пояснительная записка к факультативному курсу «Теоретико-числовые алгоритмы и тесты на простоту»39

§ 2. Методические рекомендации по факультативному курсу

«Теоретико-числовые алгоритмы и тесты на ростоту»41

§ 3. Математическое содержание курса «Теоретико-числовыеалгоритмы и тесты на простоту»45

§ 4 Результаты опытной проверки67

ЗАКЛЮЧЕНИЕ78

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ80

ПРИЛОЖЕНИЯ84

ВВЕДЕНИЕ

За последние годы роль информатики и математики в современном обществе существенно возросла. В связи с этим возникает необходимость готовить квалифицированных специалистов в области информационных технологий. Для того, чтобы человек, выбирая направление высшего образования, сделал выбор в пользу одной из специальностей физико- математического направления, необходимо, чтобы он имел представления о математике как о фундаментальной науке и области знаний, а не ограничивался представлением сложного и малопонятного школьного предмета, а о информатике как о развивающейся современной науке.

Целью современной школы является развитие гармонической, всесторонне развитой личности учащегося, формирование его сознания. Этого невозможно достичь без ориентации подростков на значимые для него ценности, без нравственного и эстетического воспитания нынешних школьников.

Достичь данной цели можно не только посредством изучения основной программы школьного курса, но и вводя факультативные занятия и кружки. Такой вид деятельности, дополнительное образование, предусматривается Законом Российской Федерации «Об образовании» [1].

Факультативные курсы позволяют углублённо изучать некоторые вопросы основной программы. Такая форма дополнительного образования является общедоступной, то есть не зависит от уровня подготовки учащегося по данному вопросу.

Согласно Федеральному государственному  образовательному стандарту среднего общего образования одним из требований к результатам освоения основной образовательной программы обучающимися  10-11 классов является “владение навыками алгоритмического мышления …”[3].

Эта проблема очень актуальна, поскольку в современном мире    имеют

широкое   применение   алгоритмы   различных   видов,   начиная   от области

автоматизации процессов, и заканчивая областью защиты информации. Вопрос об обеспечении информационной безопасности сегодня рассматривается на правительственном уровне. Важную роль играют тут криптографические методы. Сегодня широко используется криптографические системы защиты информации. Для шифрования   данных и создания электронной шифровой подписи используются большие простые числа, таким образом, их генерирование и работа с ними стали одним из главных вопросов в криптографии. Причиной такого широкого использования простых чисел в криптографии является трудность их обнаружения. Однако содержание школьного курса информатики и математики не включает в себя данных темы.

Все вышесказанное позволяет утверждать, что исследование возможностей включения в школьный план обучения информатике курса по теоретико-числовым алгоритмам в целом и алгоритмам, связанным с простыми числами, в частности, является актуальной научно-методической проблемой. Разработке факультативного курса указанной тематики для учащихся 10-11 классов и посвящена настоящая работа. Даже если предложенный факультативный курс не станет первой ступенькой в будущем профессиональном образовании, то он, безусловно, будет способствовать развитию их алгоритмического мышления, расширит их кругозор, повысит уровень их   общей и математической грамотности.

Это определило актуальность данной работы.

Таким образом, в ходе исследования был разработан факультативный курс для старшеклассников, цель которого - развитие навыков алгоритмического мышления учащихся, умения понимать и писать программы на алгоритмическом языке высокого уровня [1], формирование мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки [1]. Предлагаемый  курс  учитывает  индивидуальные  особенности школьников и

стимулирует  их  самостоятельную  активность  при  обучении.  Такой подход

создает необходимые и благоприятные предпосылки для решения задачи формирования всесторонне развитой личности ученика.

Объектом исследованияявляется процесс развития алгоритмического мышления обучающихся 10-11 классов на занятиях по информатике.

Предмет исследования– процесс развития алгоритмического мышления обучающихся 10-11 классов на факультативном курсе по информатике «Теоретико-числовые алгоритмы и тесты на простоту».

Целью работыявляется разработка содержания и методики проведения факультативного курса «Теоретико-числовые алгоритмы и тесты на простоту».

Исходя из поставленной цели, были сформулированы следующиезадачи.

  1. Изучить теоретические основы формирования алгоритмического мышления обучающихся 10-11 классов.
  2. Провести анализ учебной и нормативной документации по теме исследования.
  3. Разработать содержание факультативного курса «Теоретико-числовые алгоритмы и тесты на простоту» с учётом возрастных особенностей обучающихся 10-11 классов.
  4. Разработать методику проведения факультативного курса «Теоретико- числовые алгоритмы и тесты на простоту», направленную на развитие алгоритмического мышления обучающихся 10-11 классов.
  5. Провести опытно-экспериментальную проверку полученных результатов и проанализировать ее результаты.

Гипотеза исследования состоит в том, что разработанный факультативный курс способствует развитию алгоритмического мышления обучающихся 10-11 классов.

Работа  состоит  из  введения,  двух  глав,  заключения,  приложения    и

списка литературы.

В первой главе рассмотрены теоретические основы формирования алгоритмического мышления учащихся 10-11 классов: изучены возрастные особенности старших школьников, выделены психолого-педагогические особенности формирования алгоритмического мышления, проведён анализ нормативной документации, а также анализ школьных учебников на содержание вопросов по теме факультативного курса.

Во второй главе описана разработка факультативного курса

«Теоретико-числовые алгоритмы и тесты на простоту»: представлена пояснительная записка к названному курсу, разработаны методические рекомендации и математическое содержание факультативного курса, указаны результаты и выводы по проведённой опытно-экспериментальной проверке.

Список литературы состоит из 42 источников.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯАЛГОРИТМИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ 10-11КЛАССОВ

§ 1. АНАЛИЗ НОРМАТИВНОЙ ДОКУМЕНТАЦИИ

В 1992 году в Законе Российской Федерации "Об образовании" было рассмотрено понятие "дополнительное образование", под которым в общеобразовательной школе подразумеваются внеурочные учебные занятия: кружки и факультативные занятия [1].

Дополнительное образование, а значит и наличие факультативов, позволяет создать широкий общекультурный, эмоционально значимый для ученика фон освоения различных направлений стандарта общего образования, а также предметно ориентировать подростка в базисных видах деятельности, содействуя определению жизненных планов, включая и предпрофессиональную ориентацию.

Факультативные курсы включают в себя такое содержание, которое, с одной стороны, выходит за рамки общеобразовательного государственного стандарта, а с другой тесно связано с программным стандартом (расширяет и углубляет его). По сравнению с другими формами повышенной подготовки учащихся (специальными школами и классами с углубленным изучением отдельных предметов и др.) факультативные занятия являются самой массовой формой, доступной для всех учеников вне зависимости от уровня их подготовки по данному предмету.

В то же время, факультативы можно рассматривать как своеобразные исследовательские лаборатории, где осуществляется проверка содержания и методики изложения новых разделов и тем, которые рекомендуются для введения в школьную программу по математике.

Специфика факультативов позволяет решать такие сложные проблемы, как повышение интереса к наукам, обеспечение высокого теоретического уровня знаний, ориентация учащихся в отношении выбора жизненного пути.

У большинства населения, в том числе и у учащихся, сложилось мнение, что такие науки как информатика и математика очень далеки от современного мира: математика - «сухая» наука, требующая лишь зазубривания формул, а информатика рассматривается только  как инструмент для решения каких-либо задач, и не имеет развития как науки.

В современном обществе нет такого вида человеческой деятельности, на который не оказал бы воздействие научно-технический прогресс. Уровень научных достижений и темпы их развития в настоящее время настолько велики, что для того, чтобы идти в ногу со временем, необходимо постоянно совершенствовать устаревшие формы и методы.

В стратегии развития отрасли информационных технологий в Российской Федерации на 2014 - 2020 годы и на перспективу до 2025 года, утвержденную распоряжением Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2013 г. № 2036-р ставится задача развития отрасли информационных технологий, как одной из самых влиятельных на общество и национальную экономику. Однако, обращается внимание на «острый кадровый дефицит», связанный с недостаточным уровнем квалификации специалистов в области информационных технологий [2].

Поэтому одними из основных направлений реализации Стратегии являются следующие.

  1. Развитие кадрового потенциала и образования отрасли информационных технологий.

Для успешного развития отрасли необходимо поддерживать высокий уровень знаний по математике и информатике выпускников школ. Это предполагает  совершенствование  образования  по  физико-математическому

профилю подготовки. Также необходимо увеличение общего числа

заинтересованных в дальнейшем развитии карьеры в области информационных технологий выпускников.

Постоянное развитие сферы информационных технологий требует от кадров не только высокой профессиональной подготовки, но и навыков самообучения и самосовершенствования. Эти умения будут способствовать успешной деятельности специалиста в данной отрасли [2].

  1. Стимулирование работы высококвалифицированных специалистов отрасли информационных технологий в России [2].
  2. Популяризация информационных технологий как сферы деятельности.

Для выявления на школьном этапе образования тех, кто способен внести вклад в развитие отрасли, предлагается способствовать участию учащихся в олимпиадах по информатике, математике и программированию и в проектной деятельности в области информационных технологий [2].

  1. Приоритетные направления исследований и разработок в области информационных технологий.

Правительство Российской Федерации одним из прорывных для мировой индустрии направлений в части фундаментальных и поисковых исследований видит безопасность в информационном обществе. По их мнению, развитие в данной области обеспечит конкурентоспособность России на рынке информационных технологий.

В части прикладных исследований одним из направлений является разработка технологий информационной безопасности: биометрические системы, системы идентификации, новые приложения для обеспечения безопасности в компьютерных сетях и т.п. Для шифров с открытым ключом используются большие простые числа, поиском которых занимаются целые компании и волонтёрские группы. За указание самого большого простого числа на сегодняшний день обещают не малое вознаграждение.

  1. Обеспечение информационной безопасности.

«Учитывая масштабы проникновения информационных технологий в повседневную жизнь граждан, организаций и органов власти всех уровней, а также высокий уровень зависимости создаваемых в стране информационных систем от импортной продукции, особенно актуальным становится вопрос обеспечения должного уровня информационной безопасности страны в современном глобальном информационном мире» (выдержка из Стратегии) [2].

  1. Повышение грамотности населения в области информационных технологий.

На сегодняшний момент для приема на большинство предлагаемых вакансий требуется компьютерная грамотность, т.к. информационные технологии составляют важную часть в экономике и в социальной сфере страны. Поэтому перед образованием стоит задача формирования компетенций при работе со средствами информационно-коммуникационных технологий, что ведет к внесению изменений в основные образовательные программы школ.

Заинтересованность государства в развитии информационных технологий и информационной безопасности общества, создает запрос на изменение содержательной линии «Алгоритмизация и программирование», а именно углубление изучения вопросов вероятностных алгоритмов в средней школе.

Конкретизируем требования Федерального государственного образовательного стандарта к результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования [3] с учетом потребности изучения вопросов защиты информации.

Таблица 1.

информатики

Личностные результаты

Формирование мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики, основанного на диалоге культур, а также различных форм общественного сознания, осознание своего места в поликультурном мире;

1. Ориентация в современных направлениях развития информатики и математики.

Формирование основ саморазвития и самовоспитания в соответствии с общечеловеческими ценностями и идеалами гражданского общества; готовность и способность к  самостоятельной, творческой и ответственной деятельности;

1. Развитие навыков к саморазвитию и самообразованию в сфере алгоритмизации и программирования.

Готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;

  1. Формирование ответственного отношения к обучению;
  2. Понимание роли образования в современном мире.

Эстетическое отношение к миру, включая эстетику быта, научного и технического творчества, спорта, общественных отношений;

1. Понимание норм и правил научного и технического творчества в области алгоритмизации и программировании.

Бережное, ответственное и компетентное отношение к физическому  и психологическому здоровью, как

1. Понимание важности соблюдения норм поведения на уроках информатики;

собственному, так и других людей, умение оказывать первую помощь;

  1. Понимание важности составления и соблюдения распорядка дня;
  2. Умение рационального использования собственных физических ресурсов.

Осознанный выбор будущей профессии и возможностей реализации собственных жизненных планов; отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем

  1. Ориентация в специальностях, требуемых в современном обществе;
  2. Понимание своего места в обществе;
  3. Формирование представлений о будущей профессии;
  4. Развитие навыков профессиональной направленности в области алгоритмизации и программирования.

Метапредметные результаты

Умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;

  1. Умение самостоятельно планировать пути решения задач по вопросам алгоритмизации;
  2. Умение корректировать свою деятельность в решении поставленных задач;
  3. Умение соотносить свои действия с планируемыми результатами;
  4. Умение определять эффективные способы действия в рамках поставленной задачи.

Умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

  1. Умение работать в коллективе или индивидуально при решении задач и обсуждении тем алгоритмизации и программирования;
  2. Умение формулировать и аргументировано отстаивать свое

мнение.

Владение навыками познавательной, учебно- исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

  1. Развитие навыков проектной деятельности в области информатики и математики;
  2. Умение постановки целей, задач и методов решений в соответствии с поставленной проблемой.

Готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, владение навыками получения необходимой информации из  словарей разных типов, умение ориентироваться в различных источниках  информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;

  1. Развитие навыков поиска нужной информации, используя различные источники;
  2. Развитие умение отбирать нужную информацию в соответствии с поставленными вопросами;
  3. Развитие умений интерпретировать найденную информацию.

Умение использовать средства информационных и коммуникационных технологий (далее – ИКТ) в решении когнитивных,          коммуникативных и организационных задач с соблюдением требований  эргономики, техники безопасности, гигиены, ресурсосбережения, правовых и этических норм, норм информационной безопасности;

  1. Развитие умений безопасного использования средств ИКТ для решения поставленных задач;
  2. Знание мер безопасности при использовании средств ИКТ;
  3. Развитие способностей использования средств ИКТ в соответствии с поставленными задачами в области алгоритмизации и программирования.

Владение языковыми средствами - умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

  1. Развитие коммуникативных умений;
  2. Развитие умений изложения собственной точки зрения в области алгоритмизации и программирования.

Владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения.

  1. Умение самостоятельно оценить результаты собственной деятельности в области алгоритмизации и программировании;
  2. Умение сопоставления результатов деятельности и поставленных задач.

Предметные результаты

Владение навыками алгоритмического мышления и понимание необходимости формального описания алгоритмов;

  1. Развитие навыков алгоритмического мышления;
  2. Развитие понимания необходимости формализации алгоритмов.

Владение умением понимать программы, написанные на выбранном для изучения универсальном алгоритмическом языке высокого уровня; знанием основных конструкций программирования; умением анализировать алгоритмы с использованием таблиц;

  1. Развитие умений понимания программ, написанных на алгоритмическом языке высокого уровня;
  2. Развитие умений распознавания и применения основных конструкций программирования;
  3. Развитие умений анализировать алгоритмы, представленные в табличном виде.

Владение стандартными  приемами написания на алгоритмическом языке программы для решения стандартной задачи с использованием основных конструкций программирования и отладки таких программ; использование готовых прикладных    компьютерных    программ  по

  1. Развитие умений составления и написания программ на алгоритмическом языке высокого уровня в соответствии с поставленными задачами;
  2. Развитие умений применения основных конструкций

выбранной специализации;

программирования;

3. Развитие умений самостоятельного исправления ошибок в программах.

Формирование базовых навыков и умений по соблюдению требований техники безопасности, гигиены и ресурсосбережения при работе со средствами информатизации; понимания основ правовых аспектов использования компьютерных программ и работы в Интернете.

  1. Формирование навыков по безопасной работе со средствами ИКТ;
  2. Формирование знаний требований безопасности при работе с сетьюИнтернет;
  3. Формирование знаний требований безопасности при работе с прикладными программами для программирования.

Владение системой базовых знаний, отражающих вклад информатики в формирование современной научной картины мира;

  1. Понимание состояния современной научной картины мира в области информатики;
  2. Понимание значения информатики в современном мире.

Овладение понятием сложности алгоритма, знание основных алгоритмов обработки числовой и текстовой информации...;

  1. Формирование понятия сложности алгоритма;
  2. Формирование понимания о классификации алгоритмов в соответствии их сложности;
  3. Формирование знаний основных алгоритмов проверки чисел на простоту;
  4. Формирование понятия вероятностного алгоритма как способ эффективной проверки простоты числа.

§ 2. ВОЗРАСТНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧАЮЩИХСЯ10-11КЛАССОВ

Одним из критериев отбора содержания, методов и форм проведения факультативных занятий является критерий соответствия возрастным и индивидуальным особенностям развития учащихся определенной возрастной группы [13]. Таким образом, для разработки доступного по содержанию, повышающего интерес к предмету и обучению элективного курса, для выбора методов и форм обучения, необходимо изучить возрастные и индивидуальный особенности развития старшеклассников.

Анализ психолого-педагогической литературы, посвященной исследованию возрастных и индивидуальных особенностей старших школьников, показывает, что эти особенности определяются главным образом изменением социальной ситуации развития старшеклассника. Главным в их жизни становится подготовка к будущей самостоятельной взрослой жизни, подготовка к труду, выбор жизненного пути, профессии [13,20,21].

Владение универсальным языком программирования высокого уровня (по выбору), представлениями о базовых типах данных и структурах данных; умением использовать основные управляющие конструкции;

  1. Овладение универсальным языком программирования высокого уровня;
  2. Развитие умений использования основных управляющих конструкций при составлении программ на проверку простоты числа;
  3. Развитие умений использование генератора случайных чисел.

Владение навыками и опытом разработки программ в выбранной среде программирования, включая тестирование и отладку программ...[3].

  1. Формирование умений программирования в выбранной среде;
  2. Развитие умений самостоятельной отладки программы.

Старший школьный возраст – это возраст формирования собственных взглядов и отношений, становление нравственного самосознания. Благодаря опережающему развитию интеллекта, повышенной интеллектуальной активности старшеклассники становятся готовыми к пониманию и обсуждению многих проблем и вопросов, обычно волнующих взрослых [13,20]. Такая особенность возраста даёт возможность к восприятию информации сверх программы школьного курса.

Первыми привлекают к себе внимание морально-нравственные вопросы. Но проблемы, связанные с ними, волнуют старшеклассников больше в плане их собственного нравственного самоопределения. Поведение подростка еще во многом носит импульсивный характер, диктуется побуждениями и определяется требованиями взрослых, тогда как поведение детей юношеского возраста в большей степени определяется их моральными представлениями и понятиями, их взглядами на жизнь. Именно в старшем школьном возрасте формируется способность выбирать правильную линию поведения, потребность поступать в соответствии с собственными моральными установками. Идет ли речь о познании собственных качеств, усвоении новых знаний, об отношениях со старшими или со сверстниками – юноша особенно озабочен их оценкой и стремится строить свое поведение на основе сознательно выработанных или усвоенных критериев и норм [21].

Немаловажную роль в процессе становления личности играет необходимость выбора профессии. Подростковый и ранний юношеский возраст - это время профессионального самоопределения. При этом будущая профессиональная деятельность выступает для школьника этого возраста как способ создания определенного образа жизни, как путь самореализации, раскрытия своих возможностей, профессионального самоопределения. Поэтому очень важно именно в эти годы окончательно выявить и по мере возможностей развить те способности, на основе которых юноши и  девушки

могли бы разумно  и  практически осуществить  выбор  профессии.   Поэтому

очень важно вводить в учебный процесс курсы, которые бы открывали границы выбора профессии учащимся [13,20,22].

Кроме того, этот возраст характеризуется продолжающимся развитием общих и специальных особенностей детей на базе основных ведущих видов деятельности: учения, общения и труда. Следует учитывать при этом, что общие умственные способности человека к пятнадцати-шестнадцати годам, как правило, уже сформированы, и такого быстрого их роста, как в детстве, уже не наблюдается. Но они продолжают совершенствоваться. В учении, например, формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление, направленное на познание общих законов окружающего мира, законов природы и общественного развития, – это происходит за счет усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ими, рассуждать логически и абстрактно [21].

По Ж. Пиаже, юношество является «периодом рождения гипотетико – дедуктивы ого (формального) мышления, способности абстрагировать понятие от действительности, формировать и перебирать альтернативные гипотезы и делать предметом анализа собственную мысль. К концу подросткового возраста человек уже способен отделять логические операции от тех объектов, над которыми они производятся: классифицировать высказывания в зависимости от их содержания, по их  логическому типу» [12].

Дети этого возраста могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативы при решении одних и тех же задач. У них проявляется критичность мышления, склонность к широкому обобщению, интерес к учебным предметам постепенно перерастает в интерес к вопросам теории, формируется научное мировоззрение [11].

Развивающееся      мировоззрение      старшеклассников      накладывает

отпечаток  на  характер  познавательной  деятельности  юношей  и  девушек –

они проявляют интерес к вопросам истории развития науки, следят за новыми открытиями, применением результатов научных исследований в практике. Задача учителя воспитывать и поощрять у старших школьников желание познавать и объяснять окружающие явления. Учителю необходимо прикладывать усилия для того, чтобы научные знания, приобретенные школьником, становились бы его убеждениями, формировали бы его научное мировоззрение [13].

Особенно быстро в юношеском возрасте развиваются специальные способности – «способности к отдельным конкретным видам деятельности. Их можно определить как индивидуально-психологические особенности человека, отвечающие требованиям данной деятельности и являющиеся условием ее успешного выполнения». Формирование специальных способностей в огромной степени обусловлено характером и направленностью обучения.

Овладение сложными интеллектуальными операциями и обогащение понятийного аппарата делает умственную деятельность юношей и девушек более устойчивой и эффективной, приближая ее в этом отношении к деятельности взрослого.

Известный психолог Ж. Пиаже, однако, подчеркивает, что свои новые умственные качества подростки и юноши применяют выборочно к тем сферам деятельности, которые наиболее значимы и интересны, а в других случаях могут обходиться прежними навыками. Поэтому, чтобы выявить универсальный умственный потенциал личности, надо сначала выделить сферу преимущественных интересов, в которой она максимально раскрывает свои способности, и формулировать задачу с упором на эти способности [35]. Таким образом, становится особенно важно помочь старшеклассникам осознать свои  способности, интересы, общественные ценности, связанные   с

выбором профессии и своего места в обществе.

Становление личности, новая социальная позиция и особенности умственного развития старшеклассника изменяют для него и значимость учения, его задач, содержания, форм и методов. Если у младших школьников доминируют мотивы, связанные с содержанием, ходом учебной деятельности или с ситуацией, в которой она осуществляется, то у старших школьников появляются мотивы, выходящие за рамки учебной ситуации (жизненные перспективы, общественное значение учебной деятельности, общественный долг и т. д.).

Учащиеся старшей школы оценивают учебный процесс с точки зрения того, что он дает для будущего, насколько он отвечает собственным представлениям о будущей деятельности, их привлекают предметы и виды знаний, где они могут лучше узнать себя, проявить самостоятельность.

В этом возрасте устанавливается довольно прочная связь между профессиональными и учебными интересами, причем выбор профессии способствует формированию учебных интересов. Учение для старших школьников приобретает конкретный жизненный смысл, так как усвоение учебных знаний, умений и навыков становится важным условием их предстоящего полноценного участия в жизни общества [21, 25].

Юноши и девушки начинают больше интересоваться теми предметами, которые им нужны в связи с выбранной профессией, их интерес к обучению носит избирательный характер. Но часто они неоправданно исключают из своего поля зрения не менее важные для себя вопросы, считая их несущественными и не имеющими значения для познания избранной области знания. Поэтому учителю очень важно сформировать у старшеклассников правильные представления о задачах обучения, о той роли, которую играет тот или иной раздел обучения в жизни общества, основываясь на интересе учащихся к отдельным разделам предмета, развить этот интерес до интереса ко всему предмету и процессу обучения [13].

Следующей характерной особенностью учебной деятельности учащегося старших классов является ее активизация и до определенной степени самостоятельность и творчество. Юношеский возраст, сталкивая личность школьника с множеством новых, противоречивых жизненных ситуаций, стимулирует и актуализирует ее творческий потенциал. Действительно, старшеклассник способен ориентироваться в  новой ситуации, он сам видит вопрос, задачу и стремится самостоятельно найти подход к ее решению; его привлекает сам ход анализа, способы доказательства не меньше, чем конкретные сведения [27]. Появляется стремление к самообразованию - характерная особенность и  подросткового, и раннего юношеского возраста. В то время как подросток хочет знать, что собой представляет то или иное явление, старшие школьники стремятся разобраться в разных точках зрения на этот вопрос и составить собственное мнение [10].

В юношеском возрасте меняется соотношение педагогического руководства и самостоятельности учащихся в процессе учебной деятельности. Например, по сравнению с учащимися средних классов старшеклассники проявляют больше самостоятельности:

Важно, однако, иметь в виду, что общие возрастные характеристики являются усредненными. В педагогической работе необходимо, наряду с возрастными особенностями детей, учитывать также и индивидуальные особенности, которые могут существенно различаться у детей одной возрастной группы [22, 31].

Обучаемые отличаются друг от друга не только разным уровнем подготовленности к усвоению знаний. Каждый из них обладает более устойчивыми индивидуальными особенностями, которые не могут (и не должны) быть ликвидированы при всем старании преподавателя. В то же время эти индивидуальные особенности налагают свои требования на организацию учебного процесса.

Прежде всего, люди рождаются на свет с разными типами нервной системы, которые дают разные типы темпераментов: сангвиник, холерик, флегматик, меланхолик. Причем каждый из этих типов имеет определенные особенности. Так, например, сангвиники отличаются быстротой реакции, а флегматики характеризуются медлительностью, им трудно переключаться с одного дела на другое, в то время как сангвиники делают это  легко. Холерики способны к длительной активной работе, но им трудно тормозить себя, сдерживать. Меланхолики отличаются быстрой утомляемостью, хотя, в свою очередь, обладают рядом других положительных качеств. Уже эти характеристики показывают, что людям с разными темпераментами нужен разный темп и разный режим работы [27].

Однако темперамент сам по себе не определяет ни способностей, ни характера человека. Физиологические, простейшие, наследственно передаваемые функции могут оказать влияние на некоторые стороны процесса психического развития, но их значение не является решающим. Основное содержание и механизмы процесса развития определяются совокупностью многих условий. Среди них ведущими являются условия обучения и воспитания детей [22, 28].

Индивидуальные различия касаются и познавательной сферы людей: одни имеют зрительный тип памяти, другие – слуховой, третьи – зрительно- двигательный и т.д. У одних более выражено наглядно-образное мышление, а у других – абстрактно-логическое. Это означает, что одним легче воспринимать материал с помощью зрения, другим - на слух; одним требуется конкретное представление материала, а другим  схематическое и т.д. Пренебрежение индивидуальными особенностями учащихся при обучении ведет к возникновению у них различного рода трудностей, осложняет путь достижения поставленных целей [21, 27].

Задачей учителя, таким образом, является выявление и развитие индивидуальных интересов старшеклассников, воспитание желания познавать и объяснять окружающие явления, помощь в формировании научного мировоззрения учащегося, оценке математики как науки и нахождении ее места в общей системе знаний и интересов ученика.

При обычных способах организации учебного процесса индивидуализация учебной работы весьма затруднена.

К решению этих вопросов можно привлечь занятия на кружках, факультативы, индивидуальные занятиях. Так как,  например, факультативные занятия предусматривают небольшое количество учащихся, а значит больше условий для индивидуального подхода к каждому учащемуся,   и   к   тому  же   факультативы   организовываются   по желанию

учащихся, что не мало важно.

§ 3. СУТЬ И ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ

Одной из задач образовательного учреждения является интеллектуальное развитие учащегося, важной составляющей которого является алгоритмическое мышление. Но прежде чем говорить о развитии алгоритмического мышления, необходимо уточнить это понятие и выделить его составляющие [30].

Для начала рассмотрим понятие мышления с точки зрения протекания мыслительного процесса, процесса познавательной деятельности индивида, т.е. с позиций психологии и педагогики.

С точки зрения педагогики, мышление – это процесс познавательной деятельности человека, характеризующийся обобщенным и опосредованным отражением предметов и явлений действительности в их существенных свойствах, связях и отношениях. В психологии мышление определяется как процесс, благодаря которому человек мыслительно проникает за пределы того, что ему дано в ощущениях и восприятии [41].

Существует много различных классификаций видов мышления [40].

  1. По форме выделяют 3 вида мышления:
    • наглядно-действенное мышление — вид мышления, опирающийся на непосредственное восприятие предметов, реальное преобразование ситуации в процессе действий предметами;
    • наглядно-образное мышление — вид мышления, характеризующийся опорой на представления и образы; функции образного мышления связаны с представлением ситуации изменений в них, которые человек хочет получить в результате своей деятельности, преобразующей ситуацию;
    • словесно-логическое мышление — вид мышления, осуществляемый при помощи логических операций с понятиями.Различают

теоретическое и практическое, интуитивное и аналитическое, реалистическое и артистическое, продуктивное и репродуктивное мышление.

  1. По характеру решаемых задач бывают:
    • теоретическое — это мышление на основе рассуждения умозаключений;
    • практическое — это мышление на основе преобразования материальных предметов.
      1. По степени развернутости выделяют два вида:
        • дискурсивное — это опосредованное полное логическое рассуждение (более развитое мышление);
        • интуитивное — на основе непосредственных восприятий предметов и явлений окружающего мира (менее развитое мышление).
          1. По степени новизны и оригинальности выделяются два вида: репродуктивное (воспроизведение) и продуктивное (творческое) мышления.

Основные формы мышления:

В мышлении выделяют такие компоненты как содержательные и операционные. К содержательным относятся образ, представление,  понятие; к операционным – систему мыслительных операций (анализ, сравнение, абстрагирование, синтез, конкретизация, обобщение, классификация и категоризация).

Итак, определим, что мы будем понимать под алгоритмическим мышлением. Д. Н. Богоявленский и П. Я. Гальперина в своих работах [5, 9] говорят о понятиях близких к алгоритмическому мышлению – «логическое мышление» и «логико-алгоритмическое мышление». Они говорят о том, что логико-алгоритмическое мышление проявляется в умении:

Психологическое содержание понятия «логическое мышление» таково: это поэтапно развернутый, последовательный, осознанный, обоснованный процесс, который характеризуется следующим:

А. П. Ершовым введено понятие «операционный стиль  мышления» [14]. Умения и навыки, составляющие понятие операционного стиля мышления детально описаны в работе «Школьная информатика» и в Энциклопедии учителя информатики.Мы же приведём только некоторые их них.

Само  же  понятие  «алгоритмическое  мышление»  шире,  чем  понятия

«логическое»  и  «операционное  мышление». Алгоритмическое  мышление

имеет свои общие и специфические свойства. В число общих свойств входят целостность и результативность, помогающие увидеть поставленную проблему в целом виде и предполагают создание предварительного образа результата решения поставленной проблемы. К специфическим свойствам относятся дискретность, абстрактность и осознанная закреплённость в языковых формах. Эти свойства представляют собой  пошаговость исполнения алгоритма, дают возможность абстрагироваться от конкретных исходных данных, перейти к решению задачи в общем виде и представить алгоритм при помощи некоторого формализованного языка. Компонентами алгоритмического мышления являются умение формализовать задачу и разбивать её на отдельные составные логические блоки [36].

Перечень структурных компонентов, определяющих алгоритмическое мышление:

Различные способы формирования алгоритмического мышления описаны в методической литературе по информатике:

подхода (А.Г. Гейн, В.Н. Исаков, В.В. Исакова, В.Ф. Шолохович);

В работах Л.Г. Лучко и И.Н. Слинкиной [34] были определены три основных уровня развития алгоритмического мышления.

  1. Операционный – учащийся владеет некоторыми разрозненными операциями, но не может сочетать их, не владеет структурой  их вложенности.
  2. Системный – учащийся знает некоторые способы сочетания операций конструкций создания этих сочетаний, умеет решать стандартные задачи на применение алгоритмического мышления.
  3. Методологический – учащийся умеет использовать уже имеющиеся мыслительные схемы решения некоторых алгоритмических проблем, может преобразовать их в изменяющихся условиях или трансформировать имеющиеся.

В соответствии этим уровням выделяются умения, характеризующие каждый этап алгоритмического мышления:

  1. решать задачи алгоритмического характера;
  2. производить анализ задачи;
  3. составлять алгоритм;
  4. записывать алгоритм;
  5. производить синтаксический анализ составленного или предложенного алгоритма;
  6. выполнять алгоритмы;
  7. проводить оптимизацию алгоритма;
  8. производить мыслительные операции.

Так же на основе этих уровней выделяют требования к развитию алгоритмического мышления.

  1. "Алгоритм - это всякая система вычислений, выполняемых по строго определенным правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи" [19].(Колмогоров)
  2. "Алгоритм - это точное предписание, определяющее вычислительный процесс, идущий от варьируемых исходных данных к искомому результату".(Марков)

Первое определение отличает наличие в нем свойств, его автор настаивает на том, что алгоритмом является лишь та последовательность действий, в которой выполняются перечисленные свойства. В современной трактовке они звучат немного иначе, но это не освобождает от их выполнения.

Свойства алгоритма.

  1. Результативность (Конечность), т.е. если исходные данные определены верно, то алгоритм будет выполнен за конечное число шагов  – мы либо получим ответ, либо установим, что его нет.
  2. Детерминированность (Определенность (точность и понятность)). Каждая команда в последовательности имеет одно и только одно значение.Команда входит в список допустимых команд исполнителя.
  3. Понятность и дискретность (Ввод и вывод). Алгоритм получает исходные данные и сообщает о результатах работы, а каждый последующий шаг алгоритма определяется предыдущим шагом.
  4. Эффективность алгоритма определяется по количеству действий, совершаемых исполнителем алгоритма для решения задачи и объемом памяти, который ему для этих действий требуется [39].

Рассматривая алгоритмы, как правило, указывают и еще одно  свойство

В чем же основная проблема, мешающая точно однозначно и точно определить "алгоритм"? Основной проблемой в приведенных определениях является их неформальность, неоднозначность, опора на естественный язык и опыт. Эти определения не дают возможности изучать алгоритмы в целом, как математическую абстракцию. А раз нет возможности изучить их - нельзя и быть уверенным, что набор действий действительно "решает" задачу - нет способа доказать или опровергнуть решение.

На рубеже прошлого столетия математики стали обсуждать вопрос возможности создания общего метода, определяющего разрешима произвольно составленная задача или нет? С формальной точки зрения, речь шла о том - можно ли путем строгих, однозначных преобразований  выяснить

Алан Тьюринг в 1936 году, решая проблему разрешимости, предложил строгое математическое определение алгоритма, используя которое доказал невозможность создания универсального метода определения истинности или ложности произвольного высказывания в формальной  системе аксиом [8].

Его определение алгоритма, строгая формальная конструкция преобразования символов, и называется машиной Тьюринга.

Оценка количества действий в алгоритмах – основа для классификации алгоритмов по сложности. Сложность алгоритма – это примерная оценка количества ресурсов (шагов исполнения и/или памяти), которые необходимо затратить на решение задачи с помощью этого алгоритма. Сложность алгоритмов теории чисел обычно принято измерять количеством арифметических операций (сложений, вычитаний, умножений и делений с остатком)  или  количеством  времени,  необходимых  для  выполнения    всех

действий, предписанных алгоритмом. Для краткой сложности алгоритма в математике используют символ0()– «О-большое».

Для  функцийƒ(n)иℎ(n)положительного  целочисленного  аргументаn,   принимающих   комплексные   значения,   будем   говорить,   чтоƒ(n) = 0(ℎ(n))(или   простоƒ = 0(ℎ)),   если   существует   такая   положительная действительная  константаCи  такое  натуральное  числоnO,  что  для  любого

nnOимеет место неравенство|ƒ(n)|≤C ·|ℎ(n)|.

Равенствоƒ(n) = 0(ℎ(n))следует   понимать   как   неравенство,   а символ  О-большое  –  как  некоторую  мультипликативную  константу;  так, соотношениеƒ(n) = 0(nd)показывает,  чтоƒрастёт  приблизительно  как  -я степень  аргумента;  записьƒ(n) = 0(1)означает,  что  функцияƒограничена некоторой  константой;  еслиƒ(n)–  многочлен  степениdс  положительным старшим коэффициентом, тоƒ(n) = 0(nd).

Еслиƒ(n)обозначает числоkразрядов записи натурального числаnвсистеме счисления с основаниемg, тоƒ(n) = 0(logn). Это соотношение имеет место для произвольного фиксированного основанияg[8].

Современные ЭВМ оперируют числами, записанными в двоичной системе счисления или системах счисления с основаниями, равными степени двойки; эти же системы счисления используются в криптографии. Поэтому, когда мы будем говорить о трудоёмкости алгоритмических операций, мы будем говорить о записи чисел в двоичной системе счисления.

Время, которое компьютер расходует на решение задачи, пропорционально выполненному при этом числу двоичных операций. Поэтому, когда мы говорим об оценке времениTime(z), затрачиваемого на работу при решении задачи, речь идет об оценке числа двоичных операций, необходимых для её выполнения.

При таком подходе мы пренебрегаем временем, расходуемым на второстепенные    действия,    к    которым    относятся,    например,      запись

информации, логические шаги, отличные от двоичных операций, умножение и деление на степень основания системы и т. д.

По скорости реализации, выделяют полиномиальные,экспоненциальные и субэкспоненциальные по времени алгоритмы.Принадлежность к тому или иному классу определяется поведениемфункцииƒсложности алгоритма [37].

Полиномиальными мы называем алгоритмы, для которых сложность – функция от длины входящих чисел (это и естьlogn), а если решение задачи зависит не только от длины, но и от значения чисел, то приn → 0сложность становится экспоненциальной, например, при вычислении факториала.

В теории алгоритмов полиномиальные алгоритмы относят к классуP(от англ.polynomial). Поскольку для таких алгоритмов время их работы не превосходит многочлена от размера входных данных, а, значит, не слишком сильно зависит от этого размера, то алгоритмы, принадлежащие классуP, считаются быстрыми.

В зависимости от действий, содержащихся в алгоритме, они подразделяются следующим образом.

Разветвляющийся алгоритм — алгоритм, содержащий хотя бы одно условие, в результате проверки которого ЭВМ обеспечивает переход на один из двух возможных шагов.

Циклический алгоритм — алгоритм, предусматривающий многократное повторение одного и того же действия (одних и тех же операций) Над новыми исходными данными. К циклическим алгоритмам сводится большинство методов вычислений, перебора вариантов. Цикл программы — последовательность команд (серия, тело цикла),  которая может выполняться многократно (для новых исходных данных) до удовлетворения некоторому условию.

Вспомогательный (подчиненный) алгоритм (процедура) — алгоритм, ранее разработанный и целиком используемый при алгоритмизации конкретной задачи. В некоторых случаях при наличии одинаковых последовательностей указаний (команд) для различных данных с целью сокращения записи также выделяют вспомогательный алгоритм.

Линейный алгоритм — набор команд (указаний), выполняемых последовательно друг за другом.

Существует так же ещё один способ классификации алгоритмов. Он базируется на подразделении алгоритмов на детерминированные и вероятностные.

Алгоритм называется детерминированным, если после фиксированного числа шагов результат его работы всегда является решением поставленной задачи.

Алгоритм называется вероятностным, если выполняется одно из следующих утверждений: результат работы алгоритма является решением поставленной задачи с некоторой вероятностью; алгоритм оканчивает свою работу с некоторой вероятностью; оценка числа шагов алгоритма является случайной величиной [29].

Все виды этих алгоритмов можно задать несколькими способами:

Поговорим подробнее о вероятностных алгоритмах.

Как уже говорилось выше, алгоритм, работа которого определяется не только  конкретными  и  строго  предписанными  исходными  данными,  но  и

значениями, полученными из генератора случайных чисел, называют вероятностным (стохастическими) алгоритмом. Вероятностные алгоритмы при решении некоторых сложных математико-кибернетических задач зачастую бывают эффективнее детерминированных (т. е. тех, которые описываются заранее известными величинами или событиями).

Стохастические алгоритмы дают с высокой вероятностью либо правильный, либо неправильный результат и едва ли могут  быть инструкцией для выполнения простых задач

Стохастический алгоритм даст с некоторой заранее известной вероятностью неправильный результат.

Различают два типа стохастических алгоритмов.

§ 5. АНАЛИЗ УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ДЛЯ10-11КЛАССОВ

Для того, чтобы эффективно подобрать материал курса по выбору, следует   проанализировать   содержание   учебников   информатики   по теме

«Алгоритмы».

Для анализа учебной литературы основной школы курса

«Информатика» были выбраны следующие учебники из федерального перечня учебников:

  1. Гейн А.Г., Ливчак А.Б., Сенокосов А.И. и др.«Информатика» 10- 11 класс, базовый уровень [15, 16];
  2. Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Шеина Т. Ю. «Информатика» 10-11 класс, базовый уровень [32, 33];
  3. Калинин И.А., Самылкина Н.Н. «Информатика» 10-11 класс, углублённый уровень [17, 18].

Анализ учебников будет проводится по следующим критериям:

Таблица  2.  Сравнительная  таблица  учебников  по  содержаниютемы

«Алгоритмы».

Учебно- методическ ие комплексы

Гейн А.Г., Ливчак А.Б., Сенокосов А.И. и др.

«Информатика» 10-11

класс, базовый уровень [15, 16].

Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Шеина Т.Ю.

«Информатика» 10-

11 класс, базовый уровень [32, 33].

Калинин И.А.,

Самылкина Н.Н.

«Информатика» 10-11 класс, углублённый уровень [17, 18]

Класс

10

10

10

Название главы/параг

Алгоритмы и их Свойства

Алгоритмы и величины.

Глава 4. Алгоритмы и программы

рафа

Структура алгоритмов.

Определени е алгоритма

Алгоритмом  называется последовательность действий, допустимых для некоторого  исполнителя, которая приводит к определенному

результату.

Алгоритм – это последовательность команд управления каким-либо исполнителем.

Алгоритм  –   конечный набор правил, который определяет последовательность операций для решения конкретного множества задач и  обладает свойствами: конечность, определённость, ввод, вывод, эффективность.

Свойства алгоритма

  • дискретность;
  • детерминированнос ть;
  • результативность;
  • конечность;
  • понятность;
  • массовость.

Не указано.

  • результативность (конечность);
  • детерминированн ость (определённость);
  • понятность и дискретность (ввод и вывод);
  • эффективность;
  • массовость.

Способы записи алгоритма

  • формальный;
  • схема алгоритма (блок-схема).
  • блок-схема;
  • aлгоритмиче ский язык.
  • cловесно- математически;
  • блок-схема;
  • описание формальном языке.

на

Виды алгоритмов

Способы организации действий в алгоритме:

  • линейный;
  • ветвление (2 вида);
  • цикл (2 вида).

Базовые алгоритмические структуры:

  • следование;
  • ветвление;
  • цикл.

Классификация алгоритмов сложности.

по

Сложность

Нет

Нет

Да

алгоритмов

Примеры алгоритмов

Вычисление чисел.

НОД

двух

Алгоритм нахождения корней квадратного уравнения.

Явных примеров нет.

Изучив вышеперечисленные учебники на содержание темы

«Алгоритмы», можно сделать следующие выводы: в основном авторы учебников рассматривают алгоритмы как пропедевтику к теме программирование. Из таблицы видно, что во всех трёх рассмотренных учебниках даются различные определения понятия «алгоритм», что еще раз подтверждает отсутствие строгого понятия данного термина. Не все авторы повторяют свойства алгоритмов, например, в учебнике Семакина И.Г. о них упоминаний нет. Если говорить о других видах алгоритмов и их сложности, то такому критерию соответствует только учебник профильного уровня Калинина И.А. и Самылкиной Н.Н., хотя в данном учебном  комплекте, также, как и в других, нет упоминаний о вероятностных алгоритмах, хотя данный вид алгоритмов очень важен в современном мире.

Все изученный учебно-методические комплексы соответствуют Федеральному государственному стандарту среднего общего образования и способствуют развитию алгоритмического мышления обучающихся 10-11 классов на уроках информатики. Однако, они не содержат материалов по выбранной теме факультативного курса. Таким образом, можно сказать, что разработанный факультативный курс будет способствовать не только развитию алгоритмического мышления обучающихся, а так же расширению кругозора и интересов в области информатики и математики, что является неотъемлемой частью формирования всесторонне развитой личности обучающегося.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА

«ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ АЛГОРИТМЫ И ТЕСТЫ НА ПРОСТОТУ»

§ 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К ФАКУЛЬТАТИВНОМУ КУРСУ

«ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ АЛГОРИТМЫ И ТЕСТЫ НА ПРОСТОТУ»

Программа факультативного курса предлагается учащимся 10 – 11 классов общеобразовательных школ. В зависимости от учебной  нагрузки курс может быть рассчитан на 14-16 часов.

Ниже приведен примерный учебно-тематический план курса.Таблица 3. Тематическое планирование.

№ урока

Тема

Часы

1

Введение.

1

2

Алгоритмы и их свойства

2

3

Простые числа. Критерии простоты.

1

4

Решето Эратосфена.

1

5

Теория сравнений.

1

6

Теорема Вильсона

1

7

Критерий Поклингтона

1

8

Тест Ферма.

1

9

Псевдопростые числа

2

10

Тест Миллера-Рябина

1

11

Тест Соловья-Штрассена*

2

12

Итоговое занятие

2

Всего:

16

Организация учебной деятельности по освоению материала предполагает линейную структуру построения курса, что объясняется последовательным усложнением рассматриваемых вопросов и опорой на знания, умения и навыки, сформированные в предшествующих курсах.   Хотя

педагог и не имеет возможности изменить последовательность предлагаемых тем, подобная логика изложения дает возможность увеличивать или уменьшать число практикумов информатико-математического содержания и отдельных составляющих в зависимости от учебной нагрузки. При этом имеется возможность расширения программы за счет привлечения дополнительных сведений и знакомства с разными методами и способами написания компьютерных программ.

Существенную роль играет новизна рассматриваемого материала, овладение основами научных знаний с опорой на сформированные знания и умения, их развитие во взаимосвязи. В целом программа дополняет и обогащает постоянно сужаемые рамки школьных дисциплин информатики и алгебры.

Учебный материал определяет формы организации занятий:

- консультации.

Основным видом деятельности учащихся на факультативных занятиях является написание программ на алгоритмическом языке высокого уровня. В нашем случае все программы написаны на языке программирования Си++. Для работы на занятиях можно выбрать любое программное обеспечение, имеющее свободный доступ. Таковыми могут быть.

  1. C++Builder 6.0Enterprise: Самая полная версия популярной финальной системы визуального программирования подWindows для разработки приложений и СУБД. Поддержка интерфейсаWin2000/Me/Office2000, технологийClient-Server,Web-приложений, возможность разработки программ дляLinux.Поддерживает почти все

операционные системы.

  1. VisualC++ 6.0 +SP5 + Русификатор: Это самое эффективное и высокопродуктивное средство разработки на языкеC++ дляWindows иWeb.VisualC++ 6.0 выводитC++ на новый уровень производительности без потери гибкости, быстродействия и контроля. Дополнительно можно использоватьSP5 для значительного расширения возможностей среды. Можно использовать русификатор для установки Русского языка.
  2. Dev-C++ 4.9: Полнофункциональный редактор и компилятор для написания программ наC++. Содержит все необходимые инструменты для написания, компилирования, проверки и выполнения программ, написанных на С++. Есть также инструмент для создания пакетов установки для ваших программ.
  3. C++Compiler 5.5: Быстрый и надежный 32-битный  компилятор отBorland.Включает самую последнюю ANSI/ISO поддержку языка C++, STL (Standard Template Library) Framework и Borland C/C++ Runtime Library (RTL).Прилагается компоновщик исполненияBorland и компилятор ресурсов.C++Compiler можно использовать как самостоятельно, так и с визуальной средой разработки (VisualStudio илиBorlandC++BuilderX).
  4. TurboC++ 3.0: Популярнейший в прошлом компилятор  языкаC++ дляDOS. Свою популярность приобрел благодаря удобной среде разработки и общенациональной любви кBorland. К данной версии компилятора написано множество библиотек и приложений. До сих пор используется во многих образовательных учреждениях (не требователен к ресурсам и прост в обучение) [42].
  5. §  2.  МЕТОДИЧЕСКИЕ  РЕКОМЕНДАЦИИ  ПО  ФАКУЛЬТАТИВНОМУ  КУРСУ

    «ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ АЛГОРИТМЫ И ТЕСТЫ НА РОСТОТУ»

    В этом параграфе мы приводим программу курса, каждый раздел которой сопровождается методическими рекомендациями по его изучению.

    Введение (1 ч.)

Постановка целей и задач курса. Мотивация учащихся к углубленному изучению данного раздела информатики и математики. Проведение тестовой работы, для выявления уровня алгоритмического мышления обучающихся 10-11 классов.

В качестве домашнего задания рекомендуется предложить учащимся подготовить рефераты или небольшие сообщения по истории тематики факультативного курса.

Занятие 1. Алгоритмы и их свойства.(2 ч.)

Повторение определения понятия алгоритма. Свойства алгоритмов. Основные виды алгоритмических конструкций. Способы представления алгоритмов. Выполнение заданий на примере алгоритма нахождения корней квадратного уравнения. Создаётся компьютерная программа, вычисляющая корни квадратного уравнения (см.Приложение 1).На данном занятии используются уже знакомые учащимся термины. Заслушиваются доклады по истории тематики курса.

Занятие 2. Алгоритм Евклида. Сложность алгоритмов. (1 ч.)Повторение определения наибольшего общего делителя (НОД).

Алгоритм Евклида. Нахождение НОД через алгоритм Евклида.Введение определения сложности алгоритма.Введение понятия вероятностного алгоритма. Создаётся компьютерная программа, вычисляющая НОД двух чисел (см.Приложение 2).На данном занятие учащиеся знакомятся с новыми понятиями. Важной задачей данного занятия является понимание учащимися разницы между применением вероятностных и детерминированных алгоритмов.

Занятие 3. Простые числа. Критерии простоты.(1 ч.)

Введение понятий простого и составного чисел. Основная теорема арифметики. Формирование алгоритмов для проверки числа на делимость. Важной     задачей     данного     занятия     является     понимание  учащимися

трудоёмкости  на   проверку  исследуемых   чисел.   Создаётся  компьютерная

программа, проверяющая простоту числа методом пробных делений (см.Приложение 3).

Занятие 4. Решето Эратосфена. (1 ч.)

Рассматривается метод решета Эратосфена для поиска простых чисел, производится демонстрация этого метода поиска простых. При использовании этого метода на произвольном интервале развивается конструктивное мышление у учащихся, повышаются их аналитические навыки. Важной задачей данного занятия является понимание учащимися временных затрат на проверку исследуемых чисел.

Занятие 5. Теория сравнений. (1 ч.)

Впервые вводится понятие сравнения по модулю натурального числа, а также некоторые свойства сравнений. Цель изучения сравнений – их дальнейшее широкое использование в прикладных задачах. На данном этапе необходимо тщательно следить за усвоением материала данного занятия, без которого дальнейшее изложение невозможно в том виде, в каком оно представлено. Создается компьютерная программа, позволяющая для заданных сравнений устанавливать истинность или ложность.

Занятие 6. Теорема Вильсона. (1 ч.)

Даётся формулировка теоремы Вильсона. Формулировка теоремы Вильсона на языке теории сравнений. Создаётся компьютерная программа, проверяющая число на простоту тестом, основанным на теореме Вильсона (см.Приложение 4).Важной задачей данного занятия является понимание учащимися сложности вычисления факториала, и временных затрат на проверку исследуемых чисел.

Занятие 7. Критерий Поклингтона. (1 ч.)

Формулируется критерий Поклингтона. Выполняется практическая проверка простоты числа по данному критерию. Создаётся компьютерная программа, проверяющая число на простоту по критерию Поклингтона.

Занятие 8. Тест Ферма. (1 ч.)

Формулировка малой теоремы Ферма. Вводится тест Ферма, основанный на малой теореме Ферма.Объяснение работы вероятностных алгоритмов.Создаётся компьютерная программа, проверяющая число на простоту тестом Ферма (см.Приложение 5).Даётся домашнее задание в виде подготовки докладов для изучения следующей темы «Псевдопростые числа».

Занятие 9. Псевдопростые числа (2 ч.)

Вводится понятие псевдопростого числа по модулю некоторого числа и числа Пуле и Кармайкла как частные случаи псевдопростоты натуральных чисел. Заслушиваются доклады на тему занятия.

Занятие 10. Тест Миллера-Рябина. (1 ч.)

Даётся тест Миллера-Рябина. Создаётся компьютерная программа, реализующая тест Миллера-Рябина (см. Приложение 6).

Занятие 11. Тест Соловья-Штрассена*. (2 ч.)

Вводится определение символа Якоби. Приводятся свойства символа Якоби и примеры вычисления.Даётся формулировка теста Соловья- Штрассена. Приводятся примеры выполнения теста.Создаётся компьютерная программа, проверяющая число на простоту тестом Соловья- Штрассена (см.Приложение 7).

Данное занятие не является обязательным к рассмотрению, и  вводится в программу курса при наличии достаточного количества часов.

Занятие 12. Итоговое занятие. (2 ч.)

Учащимся предлагается выполнить исследовательскую работу по эффективности работы детерминированных и вероятностных  тестов проверки простоты числа (см.Приложение 8).Важной задачей данного занятия является то, что бы учащиеся на практике убедились в рациональности использования вероятностных алгоритмов.

Очевидно, что проводить курс в полном соответствии с    предлагаемой

программой и методическими рекомендациями не всегда возможно. Для каждой  группы  учащихся  отыскивается  оптимальная  скорость   изложения

нового материала, время на обсуждения и самостоятельные исследования. В целом курс построен так, чтобы соблюдать преемственность знаний и навыков, поэтому не рекомендуется проводящему курс учителю существенно менять порядок следования материала.

Поскольку занятия имеют характер факультативных, то особое внимание следует уделить зрелищности и доступности новых знаний для восприятия учащимися. Подобный прием обучения поможет избежать возможных ошибок в процессе изложения, внесет красоту и четкость в процесс обучения.

Немаловажная роль отводится также самостоятельным поискам и исследованиям учащихся. Такая деятельность должна быть организована как во время самих занятий, так и в свободное время: самостоятельные поиски знаний, поиск закономерностей, анализ и оптимизация алгоритмов проверки простоты и т.д.

§    3.    МАТЕМАТИЧЕСКОЕ     СОДЕРЖАНИЕ     КУРСА«ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ

АЛГОРИТМЫ И ТЕСТЫ НА ПРОСТОТУ»

ЗАНЯТИЕ1. АЛГОРИТМЫ И ИХ  СВОЙСТВА.

В курсе основной школе большое время уделяется на изучение классических или детерминированных алгоритмов. Дадим одно из определений алгоритма:

Алгоритм - это всякая система вычислений, выполняемых по строго определенным правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи [19].

Каждый такой алгоритм должен удовлетворять ряду свойств.

  1. Результативность (Конечность), т.е. если исходные данные определены верно, то алгоритм будет выполнен за конечное число шагов – мы либо получим ответ, либо установим, что его нет.

  1. Детерминированность (Определенность (точность и понятность)). Каждая команда в последовательности имеет одно и только одно значение.Команда входит в список допустимых команд исполнителя (компьютера).
  2. Понятность и дискретность (Ввод и вывод). Алгоритм получает исходные данные и сообщает о результатах работы, а каждый последующий шаг алгоритма определяется предыдущим шагом.
  3. Эффективность алгоритма определяется по количеству действий, совершаемых исполнителем алгоритма для решения задачи и объемом памяти, который ему для этих действий требуется [39].

Если последовательность выполняемых действий не удовлетворяет данным свойствам, то мы не можем назвать её алгоритмом.

При всем многообразии алгоритмов в них можно выделить три основных вида:

Все алгоритмы принято представлять в формализованном виде. Это можно сделать следующими способами записи алгоритмов:

Упражнение 1.Запишите алгоритм нахождения корней квадратного уравнения табличным и графическим способами.

Решение.

Табличный способ.

Вычислить значение дискриминанта квадратного уравнения: таковымдля него называется выражениеD =b2− 4ac.

Таблица 4.

Условие

D  > 0

D  = 0

D  < 0

Число действительных корней.

два корня

Корень один (два равных или совпадающих корня).

Корней на

множестве действительных чисел нет.

Формула

− b ±  √b2− 4ac

x1,2= 2a

b x1= x2= − 2a

x = ⌀

Графический способ.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма вычисления корней квадратного

уравнения

ЗАНЯТИЕ2. АЛГОРИТМЕВКЛИДА. СЛОЖНОСТЬ  АЛГОРИТМОВ.

Упражнение 2.Составить блок-схему нахожденияНОД(a,b),

используя алгоритм Евклида. Найти:a)НОД(88,32);

b)НОД(26,130);

c)НОД(733,1998).

Решение.

Наибольший общий делитель (НОД) – это число, которое делит без остатка два числа и делится само без остатка на любой другой делитель данных двух чисел. Проще говоря, это самое большое число, на которое можно без остатка разделить два числа, для которых ищется НОД [29].

Алгоритм Евклида.

Для целых чиселaиbможно составить алгоритм:

a = b ∗q1+ r10 ≤ r1< b

b = r1∗q2+ r20 ≤ r2< r1

r1= r2∗q3+ r30 ≤ r3< r2

⋯  ⋯ ⋯ ⋯  ⋯ ⋯

rn–1= rn∗qn+ 1rn+ 1= 0

Последний, отличный от нуля, остаток в алгоритме Евклида для пары чисел есть их наибольший общий делитель [26].

Описание алгоритма нахождения НОД.

  1. Большее число делим на меньшее;
  2. Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла.
  3. Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.
  4. Переходим к пункту 1.

Составим блок-схему алгоритма нахождения НОД (Рис. 2):

a)НОД(88,32):

b)НОД(26,130):

Рис. 2

88/32=2(остаток24), 32/24=1(остаток8), 24/8=3(остаток0), НОД(88,32)=8.

130/26=5(остаток0), НОД(26,130)=26.

d)НОД(733,1998):

1998/733=2(остаток532), 733/532=1(остаток201), 532/201=2(остаток130), 201/130=1(остаток71), 130/71=1(остаток59), 71/59=1(остаток12), 59/12=4(остаток11),

Задания.

12/11 = 1(остаток1), 11/1 = 11(остаток0) , НОД (733,1998) = 1.

  1. На    компьютере    составьте    программу    нахождения    корней квадратного уравнения для любыхa,bиc.
  2. С помощью программы вычислите корни для следующих уравнений:

a)150x2+  75x +  16 = 0;

b)3x2−  56x −  59 = 0;

c)− 87x2−  163x +  250 = 0.

  1. На компьютере составьте программу нахождения наибольшего общего делителя для двух чиселa иb.
  2. С помощью программы вычислите:a)НОД(156,1688);

b)НОД(782,25985);

c)НОД(259,9856).

Из упражнения 2 заметим, что чем больше становятся числа, тем большее количество операций приходится вычислять. Конечно, с данными вычислениями легко справится компьютер, но чем больше будут числа, тем дольше наша программа будет вычислять результат. Количество затраченного времени на выполнение алгоритма, так же, как и количество памяти, требуемое компьютеру для его вычисления,  являются критериями для оценки сложности и соответствующей классификации алгоритмов.

Сложность алгоритма – это примерная оценка количества ресурсов (шагов исполнения и/или памяти), которые необходимо затратить на решение задачи с помощью этого алгоритма.

Сложность алгоритмов обычно принято измерять количеством арифметических операций (сложений, вычитаний, умножений и делений с остатком) или количеством времени, необходимых для выполнения всех действий, предписанных алгоритмом [8].

Существует так же ещё один способ классификации алгоритмов. Он базируется на подразделении алгоритмов на детерминированные и вероятностные.

Алгоритм называется детерминированным, если после фиксированного числа шагов результат его работы всегда является решением поставленной задачи.

Алгоритм называется вероятностным (стохастическим), если выполняется одно из следующих утверждений: результат работы алгоритма является решением поставленной задачи с некоторой  вероятностью; алгоритм оканчивает свою работу с некоторой вероятностью; оценка числа шагов алгоритма является случайной величиной [29].

Стохастические алгоритмы дают с высокой вероятностью либо правильный, либо неправильный результат и едва ли могут  быть инструкцией для выполнения простых задач.

Вероятностный алгоритм с очень маленькой ошибкой лучше, чем классический, детерминированный, алгоритм, работающий в тысячи раз дольше.

Что же такое алгоритм с вероятностью ошибки 0,0001? Это такой алгоритм, запуская который 10000 раз, мы получим правильный результат 9999 раз и ошибку всего 1 раз.

Рассмотрим эффективность применения вероятностных алгоритмов на примере тестов для определения простоты числа, что на сегодняшней день является очень важной проблемой в области криптографии.

ЗАНЯТИЕ3. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. КРИТЕРИИ ПРОСТОТЫ.

Как известно, произведение двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Следовательно, существуют натуральные числа, представляющие собой произведения двух натуральных чисел, больших единицы. Но существуют также натуральные числа, большие единицы, которые не являются произведениями двух натуральных чисел, больших единицы, например, числа 2, 3, 5 или 13. Именно такие числа мы называем простыми.

Итак, простым числом мы называем каждое натуральное число, большее единицы, которое не является произведением двух натуральных чисел, больших единицы, то есть имеет ровно два натуральных делителя.

Множество простых чисел обозначается символомP. Таким образом, Р = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, …}.

Натуральное число, имеющее более двух натуральных делителей, называется составным.

Множество составных чисел обозначается символомS. Таким образом,S = {4,6,8,9,10,12,14,15,16, 18, …}.

Можно заметить, что всё множество натуральных чиселсостоит из объединения множества простых чиселP, составных чиселS и единицы. Принято считать, что единица не является ни простым ни составным числом [6].

Напомним, основная теорема арифметики гласит, что любое натуральное числоn, больше единицы, может быть разложено с точность до порядка простых сомножителей [6].

Возникает вопрос, можем ли мы для любого натурального числа проверить, является ли оно простым? Для того, чтобы дать на него ответ, рассмотрим несколько простых алгоритмов, которые помогут нам это сделать.

Метод пробных делений.

Еслиn - составное то,n =ab, где1 <ab, причемa ≤  √n. Поэтому дляd = 2,3,…  ,[√n]мы  проверяем,  делится  лиnнаd?  Если  делитель  числаnне  будет  найден,  тоn-  простое.  В  противном  случае  будет  найден минимальный  простой  делитель  числаn,  т.е.  мы  даже  разложимnна  два множителя [4].

Пример.

Проверим, является ли число 37 простым?

[√37]= 6.

Таким образом,d=2,3,5.

37/2=18(остаток1), 37/3=12(остаток1), 37/5=7(остаток2).

Ни один остаток от деления наdне равен нулю, следовательно, 37 – простое число.

Упражнение 3.Проверьте, являются ли числа 29, 56, 153, 1897 простыми, пользуясь методом пробных делений.

Решение.

Таким образом,d=2,3,5.

[√29]= 5.




Похожие работы, которые могут быть Вам интерестны.

1. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЙ КРУЖКА НА ТЕМУ «ШИФРЫ И ШИФРОВАНИЕ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ

2. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ЛОГИКИ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССОВ

3. Описание педагогического эксперимента по формированию вокальных навыков у учащихся младших классов ДМШ на примере учащихся класса сольного пения ДМШ п. Удельная за период с 2011 по 2014 гг

4. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ В ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ

5. Нестандартные задачи по математике как средство развития логического мышления учащихся

6. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ ПО ГЕОМЕТРИИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

7. Руководство исследовательской деятельностью учащихся в лицее (на примере изучения истории Краснополянской хлопкопрядильной фабрики)

8. Повышение уровня финансовой грамотности учащихся 10-11 классов при изучении математики на углубленном уровне (на примере компонента инвестирование)

9. Развитие мышления младших школьников в процессе изучения определений математических понятий

10. Исследование навыка письма учащихся младших классов