МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ЛОГИКИ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССОВ



МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ КУРСА ПО ВЫБОРУ«ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ЛОГИКИ»ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССОВ

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………. 3

ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОВЕДЕНИЯ КУРСОВ ПО ВЫБОРУ 7

Исторические аспекты возникновения и развития школьных курсов по вы- бору…. 7

Обзор литературы по теме исследования 12

Психолого-педагогические особенности учащихся 9 классов 25

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ПРОВЕДЕНИЯ КУРСАПО ВЫБОРУ «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ЛОГИКИ»

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССОВ 37

Программа курса по выбору 37

Учебно-методические материалы для курса по выбору 41

Результаты опытно-экспериментальной проверки 62

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 70

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 71

ПРИЛОЖЕНИЯ 77

ВВЕДЕНИЕ

Актуальностьисследования. За последние десятилетия произошло дос-таточно много изменений в образовании, в частности, повысилась роль диффе-ренциации обучения. Одной из форм дифференцированного обучения являютсякурсы по выбору.

В Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образо-вания, в которой говорится, что наряду с базовыми профильными курсами, вы-деляются элективные курсы для учащихся 10-11 классов и курсы по выбору в 9классах в условиях предпрофильной подготовки обучающихся. В школьнуюпрактику входят курсы по выбору.

Во ФГОС ООО (2010 г.) отмечается, что при изучении предметной облас-ти «Математика» обучающимся нужно развивать логическое мышление, овла-деть математическими рассуждениями, уметь применять логические обоснова-ния [52, с.13]. В ПООП (2015 г.) сказано, что выпускник 7-9 классов долженнаучиться оперировать на базовом уровне понятиями: множество, элементмножества, подмножество, принадлежность; задавать множества перечислени-ем их элементов; оперировать понятиями: высказывание, истинность и лож-ность высказывания, отрицание высказываний, операций над высказываниями,строить рассуждения на основе использования правил логики и т. д. [38,  с.81].В документе "Фундаментальное ядро содержания общего образования" (2009г.) в пояснительной записке по предмету «Математика» указано: «Школьноематематическое образование «ум в порядок приводит», развивает воображениеи интуицию, формирует навыки логического мышления». Логика и теориямножеств, является базой для всего вышеперечисленного [55, с.26]. СогласноКонцепции развития математического образования в Российской Федерации(2013 г.) изучение математики играет системообразующую роль в образовании,развивая познавательные способности человека, в том числе к логическомумышлению, влияя на преподавание других дисциплин [23, с.5].

Но на уроках математики не хватает времени на изучение элементов тео-рии множеств и логики, а некоторые учителя не считают нужным специальноэтим заниматься.

Во многих учебниках (например, учебниках для 5-6 класса Н.Я. Виленки-на, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурда, 7-9 класс Ю.Н. Макарычев,Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова) авторы не касаются вопросов логи-ки и теории множеств. Но знания элементов логики и теории множеств и спо-собность использовать эти знания нужны учащимся для учебы и в дальнейшейдеятельности. Возможность ими овладеть предоставляют курсы по выбору, накоторых можно восполнить пробелы в знаниях и умениях по логике и теориимножеств.

С каждым годом потребности современного образования ставят перед ме-тодикой преподавания математики новые задачи. Становятся необходимыминовые, методические разработки для курсов, которые направлены на формиро-вание логической грамотности учащихся.

В создании учебных пособий для школьников по элементам логики и потеории множеств принимали участие известные специалисты в области мето-дики обучения математике: Н.Я. Виленкин, А.А. Столяр, И.Л. Никольская, атакже А.Д. Гетманова и др. Кроме этого, было разработаны факультативные иэлективные курсы отдельно по логике и отдельно - по теории множеств. Но мыне нашли курсов по выбору, посвященных и логике, и теории множеств.

Все вышесказанное определилоактуальностьтемы исследования.

Проблемасостоит в том, чтобы разработать методику проведения курсапо выбору "Элементы теории множеств и логики", которая послужила бы базойдля развития логической грамотности учащихся 9 класса.

Объектомисследования является процесс обучения математике учащих-ся 9 классов на курсах по выбору.

Предметомисследования является процесс обучения элементам теориимножеств и логики на курсе по выбору для учащихся 9 класса.

Цельюисследования является разработка методики проведения курса повыбору «Элементы теории множеств и логики» для учащихся 9 классов.

Гипотезаисследования заключается в том, что разработанная методикабудет способствовать формированию логической грамотности, созданию базыдля развития логического мышления, и также развитию интереса учащихся клогике и к математике.

Реализация поставленной цели потребовала решения конкретныхзадач:

  1. Провести анализ литературы по теме исследования и выявить психоло-го-педагогические и методические особенности преподавания математики в де-вятых классах, в частности, на курсах по выбору.
  2. Разработать программу курса по выбору "Элемента теории множеств илогики" и планирование этого курса.
  3. Разработать материалы для некоторых занятий: подобрать задачи иподготовить конспекты занятий.
  4. Провести опытно экспериментальную проверку для выявления резуль-тативности некоторых разработанных учебных материалов.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующихме-тодовисследования: анализ психолого-педагогической, математической и ме-тодической литературы, учебников и учебных пособий, работ по истории мето-дики преподавания математики, методических журналов и статей, школьныхпрограмм; анкетирование учащихся; проведение опытно-экспериментальнойпроверки результатов исследования.

Практическая значимостьисследования определяется в том, что в немразработанные учебные материалы для курса «Элементы теории множеств илогики» для учащихся девятых классов (программа курса по выбору, а такжематериалы для некоторых занятий, задачи) могут быть использованы учителя-ми для проведения курсов по выбору близкой тематики.

Структуравыпускной квалификационной работы состоит из введения,двух глав, заключения, списка литературы и 10 приложений. Основной текст -76 с. Общий объем работы - 90 с.

Во Введенииобоснована актуальность исследования, даны его основныехарактеристики.

ГлаваIпосвящена историческим и психолого-педагогическим основамкурсов по выбору для учащихся девятых классов, обзору литературы по даннойтеме. В этой главе отражено поэтапное развитие факультативных курсов докурсов по выбору. Приведены характерные психолого-педагогические особен-ности подросткового возраста.

В главеIIразработана программа, планирование курса по выбору, пред-ставлены учебно-методические материалы (задачи, конспекты для некоторыхзанятий). Приводятся результаты опытно-экспериментальной проверки.

Взаключенииприведены основные результаты исследования и сделанывыводы.

Вприложенияхпредставлены таблицы, дополняющие результаты опыт-но-экспериментальной проверки, вошедшие во вторую главу, а также материалдля одного из занятий курса по выбору.

Список литературысодержит 63 наименования.

ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОВЕДЕНИЯКУРСОВ ПО ВЫБОРУ

Исторические аспекты в возникновении и развитии школьныхкурсов по выбору

Одной из основных форм дифференцированного обучения долгое времяявлялись факультативные курсы. Концепция дифференцированного обучениябыла принята в декабре 1988 года. Дифференциация обучения – одно из при-оритетных направлений в развитии современной школы. Но факультативы поя-вились несколько раньше, после 10 ноября 1966 года, когда было опубликованоправительственное постановление «О мерах дальнейшего улучшения работысредней общеобразовательной школы». В нем отмечалось отставание уровняучебно-воспитательной работы школы от потребностей практики, и в связи сэтим была намечена система мер по ликвидации этого явления, среди которыхнашли отражения новые формы обучения для школы. Создание факультативовявилось одним из них. Факультативы создаются «для углубления знаний по фи-зико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, а также для раз-вития разносторонних интересов и способностей учащихся» [44, с.45]. Формойдифференциации обучения явились факультативные занятия, учитывающиеиндивидуальные склонности и способности учащихся.

К этому моменту отечественной школой был накоплен значительныйопыт по организации и проведению различных форм дифференцированногообучения. Факультативные занятия, являясь самой подвижной, доступной имассовой формой обучения, прекрасно дополняли названные формы, могливводиться практически в каждой школе. Опираясь на примерные программыфакультативных курсов, учитель с учениками, захотевшими посещать факуль-татив, мог создать свой собственный курс, отвечающий интересам конкретныхучеников [44, с.45].

Начиная с 1967/68 учебного года, факультативные занятия вошли в прак-тику работы школы.Первым этапомвведения факультативов по математике вшколу является именно этот период, первые курсы назывались «Специальными

курсами» и «Дополнительными главами и вопросами математики». Программы

этих курсов были опубликованы в журнале «Математика в школе». Факульта-тивные курсы в это время были ориентированы на новую программу по мате-матике и являлись местом апробации новых тем. Некоторые темы после широ-кой экспериментальной проверки на факультативных занятиях были включеныв основной курс этого предмета. Например, «Множества и операции с ними»,

«Бесконечные множества», «Производная» и др.[44, с.46].

В июне 1968 года в Москве состоялось совещание по опыту углубленногоизучения отдельных школьных предметов по выбору учащихся. На нем былрассмотрен широкий круг вопросов, связанных с организацией факультативныхзанятий в школе после первого года их внедрения, в том числе методы и формыих проведения, а также оценка знаний учащихся.

В жизнь новых программ обязательного курса математики внедрялисьновые программы факультативного курса «Дополнительные главы и вопросыматематики». Он претерпел ряд изменений, в 1973/1974 уч. г., в связи с перехо-дом 8-го класса на новые программы, а с 10-го класса – на переходные про-граммы по математике. В это время была принята усовершенствованная про-грамма факультативных курсов, которая не включила ряд тем, переведенных восновной курс.

Переход средней школы на новую программу по математике был завер-шен к 1980 году. Выполнив свои функции, факультативный курс «Дополни-тельные главы и вопросы математики» был заменен на новый курс. Началсявторой этапвведения факультативных занятий в школу. Он включил в себя триследующие раздела [44, с.46].

  1. Избранные вопросы математики (8 – 11 классы).
  2. Математика в приложениях (10 – 11 классы).
  3. Алгоритмы и программирование (9-11 классы).

Последний раздел "Алгоритмы и программирование" заменил специальныекурсы по математике. Программа данных факультативных курсов опубликова-на в журнале «Математика в школе» 1980 году. В этом же журнале было опуб-

ликовано и тематическое планирование с указанием рекомендуемых форм про-ведения занятий и списком литературы.

В новой реформе образования точкой отсчета можно считать съезд ра-ботников народного образования, который проходил в Москве в декабре 1988года. Концепция общего образования была принята именно на нем, основнымнаправлением которой была провозглашена широкая дифференциация обуче-ния. Развитие всех форм дифференциации, в том числе и факультативной, пре-дусматривается реформой, основной целью которой является возможность уг-лубленного изучения математики. Таким образом, началсятретий этапвведе-ния факультативных занятий по математике [44, с. 46].

Новая программа факультативных курсов была опубликована в 1990 году.

Факультативные занятия предусматриваются с 7-го класса. В старших классахуглубление основного курса носит систематический характер и выполняетфункции подготовки к продолжению образования и к сдаче вступительных эк-заменов в вузы [44, с. 47].

На факультативе целесообразно и определенное расширение содержанияучебного материала в основном за счет линии современных приложений мате-матики. На разных ступенях обучения характер прикладных факультативовдолжен быть различен. Если в старших классах учащиеся должны познако-миться с теоретическими основами приложений, то в 7-9 классе преимущест-венно «чистый» практикум. Факультативные курсы обзорного характера, осве-щающие роль и место математики в современном мире, необходимы в старшихклассах.

На современном этапе развития факультативной формы обучения отли-чительной чертой является то, что учителю предоставляется право работать полюбой из опубликованных программ, а также по программе, составленной са-мостоятельно. Это решение было принято из-за того, что обучение на факуль-тативных занятиях по единой программе, обязательной для всех, оказалось не-состоятельным. Учитывая специфику своего конкретного класса, интересы изапросы учащихся, учителя вели, как правило, факультативные занятия по соб-

ственной программе [44, с. 48]. В старшей школе необходимо учитывать про-фильную направленность, также особенности уровневой дифференциации обу-чения в основной школе [44, с.48].

В 2002 году была принята новая Концепция профильного обучения настаршей ступени общего образования (приказ № 2783 от 18 июля 2002 года),согласно которой, наряду с базовыми профильными курсами, выделяются элек-тивные курсы для учащихся 10-11 классов и курсы по выбору в 9 классах в ус-ловиях предпрофильной подготовки обучающихся [46, с.137]. Элективные кур-сы обязательны для всех учащихся, но какими им быть в конкретной школе - вомногом зависит от самих школьников, их интересов, запросов.

Начинаетсячетвертый этапвведения в школьную практику курсов по вы-бору [44, с. 73]. Эти курсы можно считать преемниками факультативных кур-сов. Общее между ними то, что они направлены на удовлетворение индивиду-альных особенностей, потребностей учащихся. Есть между ними и большаяразница: все учащиеся не обязаны посещать факультативные курсы. Учитель,ведущий факультативные занятия, придерживается специальной программыэтих факультативов [46, с.137]. Темы курсов по выбору выбирают учащиеся, атемы факультативов предлагает учитель. Факультативные курсы были толькопредметными [44, с. 73]. «Курсы по выбору для 9 класса трех типов:предмет-ные(расширяют знания учащихся по тому или иному предмету);ориентацион-ные(способствуют самоопределению школьников);информационные(инфор-мационная работа направлена на организацию знакомства учащихся с местны-ми образовательными учреждениями)» [44, с. 74]. Курсы по выбору для стар-шеклассников имеют уже пять типов:предметные; межпредметные; подгото-вительные; ориентационные; «внепредметные»или«напредметные»[44, с.

74].

Термин «элективные курсы» (в 10-11 класса) заменен на «курсы по вы-бору», а термин «профильный курс» - на «углубленный курс». Они замененысогласно Федеральному государственному образовательному стандарту

(ФГОС) основного общего образования, принятого в 2011г., и ФГОСу среднего

(полного) общего образования, принятого в 2012 г. [44, с.74].

Начинается современный,пятый этапвведения школьных курсов по вы-бору. Они становятся обязательными для всех учащихся [44, с.74]. В идеалепредполагается с помощью курсов по выбору для каждого ученика построитьиндивидуальную образовательную программу [46, с.137]. Из-за того, что курсыпо выбору начинаются в 9 классе основной школы в рамках предпрофильнойподготовки, они оказывают существенное влияние на выбор направления ос-новного профильного обучения в старшей школе [44, с.74].

Истории введения элементов теории множеств в школьный курс матема-тики. Началом написания новых программ по математике стало внедрение но-вой реформы школьного математического образования конца 19 - начала 20 вв.На одном из этапов реформы, по руководством А.И. Маркушевича и А.Н. Кол-могорова была образована комиссия по определению содержания среднего ма-тематического образования, которая в 1968 г. подготовила и издала программыдля средней школы. В программах, действующих в 20 в., подходят осторожно квведению понятий и обозначений математической логики и начальных пред-ставлений теории множеств. Более широкое их употребление в школе еще оста-ется дискуссионным [37, с.5]. Внедрение понятия множества в школьной курсматематики начинается с начала 1968 г. В этом году разрабатывается новаяпрограмма курса школьной математики. Изменения в содержании школьногообучения математики происходят радикальные. Бывший курс арифметики 5-6классов предлагается заменить курсом математики, в котором учебный матери-ал начинался с изучения теории множеств. Курс алгебры предлагалось «прони-зать» идеей множества, соответствия и функции. Ряду изменений еще подверг-лись, курс планиметрии, курс алгебры и начала анализа в старших классах.

Данная программа радикально отличалась от всех предшествующих программотечественной школы [21, с.197].

В курсе арифметики и начал алгебры проводится повторение темы нату-ральные числа. С этой целью привлекают понятия «множество», «элемент

множества», «принадлежность», содержание этих понятий разъясняется наконкретных примерах. В дальнейшем учащиеся знакомятся с понятиями «объе-динение множеств», «общая часть» или «пересечение множеств», «пустое мно-жество», «часть множества» или «подмножество». Эти понятия используетсядальше при изучении вопросов делимости, рассмотрении уравнений и нера-венств, при построении простейших графиков [37, с.8]. Работа по совершенст-вованию содержания школьного обучения происходила постоянно, следующийэтап реформы 80-е годы. В этот год была принята новая программа по матема-тике, в которой был полнее учтен уровень логического мышления школьников,что выразилось в отказе от обязательного единого теоретико-множественногоподхода к строению курса и уходе от чрезмерной строгости в изложении мате-риала.

Обзор литературы по теме исследования

Обзор литературы начнем с анализа нормативных документов.

Обзор нормативных документовАнализ ФГОС ООО

Требования к результатам освоения основной образовательной программыосновного общего образования

Предметные результаты освоения основной образовательной программыосновного общего образования с учетом общих требований Стандарта и специ-фики изучаемых предметов, входящих в состав предметных областей, должныобеспечивать успешное обучение на следующем уровне общего образования.

Математика и информатика. Изучение предметной области "Математикаи информатика" должно обеспечить:

осознание значения математики и информатики в повседневной жизничеловека;

формирование представлений о социальных, культурных и историческихфакторах становления математической науки;

В результате изучения предметной области "Математика и информатика"обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают

представление о математических моделях; овладевают математическими рас-суждениями; учатся применять математические знания при решении различныхзадач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решенияучебных задач; развивают математическую интуицию; получают представлениеоб основных информационных процессах в реальных ситуациях.

Предметные результаты изучения предметной области "Математика иинформатика" должны отражать:

  1. формирование представлений о математике как о методе познания дейст-вительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления;
  2. развитие умений работать с учебным математическим текстом (анализиро-вать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать своимысли с применением математической терминологии и символики, проводитьклассификации, логические обоснования, доказательства математических ут-верждений;
  3. формирование умений формализации и структурирования информации,умения выбирать способ представления данных в соответствии с поставленнойзадачей - таблицы, схемы, графики, диаграммы, с использованием соответст-вующих программных средств обработки данных;
  4. формирование навыков и умений безопасного и целесообразного поведе-ния при работе с компьютерными программами и в Интернете, умения соблю-дать нормы информационной этики и права [52,с.12-14].

Анализ примерной основной образовательной программы (ПООП).

Рассмотревпримерную основную образовательную программу основ-ногообщего образования по предметам «Математика» и «Информатика», вы-делим материал, касающийся темы «Элементы теории множеств и математиче-ской логики», начиная с 5-6 классов:

«1.2.5.8. Математика

Выпускник научится в 5-6 классах (для использования в повседневнойжизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования набазовом уровне)

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

Выпускник получит возможность научиться в 5-6 классах (для обеспе-чения возможности успешного продолжения образования на базовом и уг-лублённом уровнях)

Элементы теории множеств и математической логики

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

Выпускник научится в 7-9 классах (для использования в повседневнойжизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования набазовом уровне)

Элементы теории множеств и математической логики

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

Выпускник получит возможность научиться в 7-9 классах для обеспече-ния возможности успешного продолжения образования на базовом и уг-лублённом уровнях

Элементы теории множеств и математической логики

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

Элементы теории множеств и математической логики

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

1.2.5.9. Информатика Выпускник научится:

Анализ документа "Фундаментальное ядро содержания общего образова-ния"

ВФундаментальном ядресодержания общего образования в поясни-тельной записке по предметам «Математика» указано : «Школьное математиче-ское образование «ум в порядок приводит», развивает воображение и интуи-цию, формирует навыки логического мышления» [55, с.26].

В числе основных целей школьного математического образования: при-обретение навыков логического и алгоритмического мышления [55, с.26].

В документе "Фундаментальное ядро содержания общего образования" осо-бое внимание уделено формированию универсальных учебных действий (УУД)обучаемых[55, с. 38-42]. Далее мы перечислим те УУД, которые формируются

в ходе изучения курса по выбору «Элементы теории множеств и логики».

Универсальные учебные действия

В блокличностныхуниверсальных учебных действий входит жизненное иличностное самоопределение; действия смыслообразования и нравственно-этического оценивания, реализуемые на основе ценностно-смысловой ориента-ции учащихся, а также ориентации в социальных ролях и межличностных от-ношениях.

В блокрегулятивныхдействий включаются действия, обеспечивающие ор-ганизацию учащимся своей учебной деятельности.

В блоке универсальных действийпознавательнойнаправленности целесо-образно различать общеучебные, включая знаково-символические и логиче-ские, действия постановки и решения проблем. Универсальные логические дей-ствия включают: анализ объектов с целью выделения признаков; синтез как со-ставление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, вос-полнение недостающих компонентов; выбор оснований и критериев для срав-нения, сериации, классификации объектов; подведение под понятия, выведениеследствий; установление причинно-следственных связей, построение логиче-ской цепи рассуждений, доказательство; выдвижение гипотез и их обоснование.

Коммуникативныедействия включают в себя: планирование учебного со-трудничества с учителем и сверстниками; постановка вопросов; разрешениеконфликтов; управление поведением партнера; владение монологической идиалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксиче-скими нормами родного языка.

Укажем, какие именно универсальные учебные действия формируются приизучении разработанного курса по выбору.

Личностные УУД :

Регулятивные УУД:

-осуществлять познавательную рефлексию в отношении действий по реше-нию поставленных задач;

Познавательные УУД:

Коммуникативные УУД:

Обзор школьных учебников по математике

В результате изучения федерального перечня учебников 2015 – 2016 года,выделим несколько учебников и рассмотрим подробно, что в них относится ктеме курса по выбору «Элементы теории множеств и логике».

  1. Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. и др. Математика. Арифме-тика. Геометрия. 6 класс [2].

Глава «Множества. Комбинаторика» содержит разделы: «Понятие мно-жества» и «Операция над множествами». Уже на первых занятиях, в разделе

«Понятие множества» вводятся: понятие множества, обозначения множества,задание множества, подмножества и представлены упражнения на использова-ние терминов и обозначения, выделение подмножеств. Во втором разделе

«Операции над множествами» рассматриваются вопросы: пересечение и объе-динение множеств, разбиение множества; представлены упражнения на выпол-нение операций над множествами и построение классификаций.

  1. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И. Алгебра.9

класс [19].

В этом учебнике глава «Множества. Логика» содержит разделы: Множе-ства. Высказывания. Теоремы. Следование и равносильность. Глава начинаетсяс небольшой исторической справки о множествах и логике.

В разделе «Множества» представлены темы:Множество и его элемен-ты. Подмножества; Разность множеств. Дополнение до множества; Числовыемножества; Пересечение и объединение множеств.

Раздел «Высказывания. Теоремы»включает темы: Высказывания; Пред-ложение с переменными; Символы общности и существования; Прямая и об-ратная теорема; *Необходимые и достаточные условия; *Противоположныетеоремы.

В раздел «Следование и равносильность»входят темы: Следование и равносильность. Равносильные уравнения и системы уравнений. Уравнения – следствия. Равносильные неравенства.

Учебник, не входящий в федеральный перечень учебников 2015 – 2016 гг:

  1. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник

– собеседник для 6 кл. общеобразоват. учреждений [58].

Одной из первых глав этого учебника является глава «Множества». Глававключает в себя разделы: Множества и их элементы. Пересечение множеств.

Объединение множеств. Учимся рассуждать при решении задач. Формула длячисла элементов объединения двух конечных множеств. Задания на повторенияк главе.

Параграф "Множества и их элементы" начинается с определения, что та-кое элементы множества и приведено несколько примеров. Далее вводится: по-нятие равенства множеств, знак принадлежности, конечное множество, беско-нечное множество, задание множеств перечислением его элементов, одноэле-ментное множество и пустое множество. В конце параграфа приведены вопро-сы и задания различного уровня сложности.

В параграфе "Пересечение множеств" вводятся понятие пересечениямножеств и обозначение пересечения. Разобраны различные примеры и иллю-страции. В конце параграфа приведены вопросы и задания различного уровнясложности. В параграфе "Объединение множеств" вводится объединение мно-жеств и обозначения объединения. Разобраны различные примеры, приведеныиллюстрации. В конце параграфа приведены вопросы и задания различногоуровня сложности.

В разделе "Учимся рассуждать при решении задач. Формула для числаэлементов объединения двух конечных множеств" уделяется внимание тому,как учащимся было проще и нагляднее понимать формулу для числа элементовдвух конечных множеств. Материал преподносится в сказочном жанре, в формеразговора двух братьев. В конце приведены правило и формула для числа эле-

ментов объединения двух конечных множеств. В конце параграфа представле-ны вопросы и задания различного уровня сложности.

  1. Особо отметим учебник, который использовался с 1950-59 гг.:Виноградов, С.Н. Логика: Учебник для сред. школы . Н. Виноградов / В обра-ботке и под ред. А. Кузьмина. - 5-е изд. - Москва : Учпедгиз, 1954 (Ленинград :тип. им.Евг. Соколовой). - 168 с.

"ЦК ВКП(б) в постановлении «О преподавании логики и психологии всредней школе» от 3 декабря 1946 года признал совершенно ненормальным,что в средних школах не изучается логика и психология, и счел необходимымввести в течение 4 лет, начиная с 1947/48 учебного года, преподавание этихпредметов во всех школах Советского Союза. В 1959 году преподавание логикив средней школе отменили" [63].

Обзор факультативных и элективных курсов

Проведем краткий анализ созданных ранее факультативных и элективныхкурсов, связанных с элементами теории множеств и логики.

  1. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7-9 классов сред.шк. / Сост. И.Л. Никольская [50].

Книга содержит статьи по всем темам программы факультатива «За стра-ницами учебников математики».

Подробно остановимся на факультативном курсе для 8 класса

Н.Я. Виленкина и И.Л. Никольской: «Элементы математической логики». Пер-вая глава «Логика высказываний» включает в себя разделы: Классическая логи-ка. Высказывания. Простые и сложные высказывания. Отрицание. Конъюнкцияи дизъюнкция высказываний. Импликация и эквиваленция высказываний. Ал-гебра логики. Логическое следование. Переключательные схемы.

Вторая глава «Высказывательные формы и операции над ними» включа-ет в себя разделы: Высказывательные формы. Операции над высказывательны-ми формами. Кванторы. Отрицание высказываний, содержащих кванторы.

Строение математической логики [50, с.192].

В каждом пункте представлена теория по данной теме, разобраны приме-ры и упражнения для самостоятельного решения учащихся.

Факультатив рассчитан на 6 часов общего времени, по 1 часу в неделю.

В факультативе дана теория, кратко и доступно для понимания учащихся.

Но не для всех обучающихся 8 класса будет легко понять и освоить данныйкурс. Этот курс заинтересует одних учеников историческими фактами, связан-ными с происхождением и развитием отдельных математических понятий, дру-гих - прикладными вопросами математики и использованием приемов решенияматематических задач.

Учащиеся, с интересом относящиеся к изучению математики, всегда про-являют большую заинтересованность к задачам повышенной трудности и охот-но принимают участие в математических олимпиадах. Среди них есть и такие,которые, обладая математическими способностями, легко усваивают серьёзныевопросы математики, выходящие за рамки средней школы.

  1. Сикорский К. П. Дополнительные главы по курсу математики. Учебноепособие по факультативному курсу для учащихся 7-8 классов [41].

Книга состоит из статей, содержащих теоретический учебный материал инабор упражнений по темам факультативных курсов по математике для 7-8классов. К теме исследования относится факультативный курс Виленкина Н.Я:

«Элементы теории множеств». Курс ориентирован на то, чтобы общие понятияо множествах, элементах множества и операциями над множествами возникалииз рассмотрения конкретных примеров множеств решений уравнений, нера-венств и их систем.

Предложены темы: Понятие множества. Пустое множество. Числовыемножества. Множество точек на плоскости. Подмножества. Пересечение мно-жеств. Пересечение множеств и уравнения. Системы уравнений и неравенств.Равносильные системы уравнений. Объединение множеств. Объединение мно-жеств и уравнения. Совокупность систем уравнений. Разбиение множеств. Вы-читание множеств. Алгебра множеств. Счетные множества. Свойства счетных

множеств. Несчетные множества. Взаимно-однозначное соответствие междумножествами. Мощность множества.

Курс по выбору «Элементы теории множеств» предназначен для уча-щихся, увлекающихся математикой и желающих узнать о ней как можно боль-ше. В нем содержатся как необходимые теоретические положения, так и задачидля решения в классе и дома. Большинство задач тесно связано с решениемуравнений и неравенств, графиками простейших функций. Это будет полезнодля учащихся, чтобы научиться, как можно лучше усвоить школьную програм-му, в которой все это включено.

  1. Гетманова А. Д. Логические основы математики : метод. пособие кэлективному курсу А. Д. Гетмановой «Логические основы математики» [7].Вэтом методическом пособии для учителя представлен элективный курс «Логи-ческие основы математики», предназначенный для обучающихся 10-11 классовобщеобразовательных учреждений.

В пособии приводятся методические рекомендации по изучению материала,примерное тематическое планирование, конспекты занятий по основным темамкурса, контрольные работы, планы-конспекты уроков, различные формы заче-тов и теоретические и общепедагогические аспекты преподавания логическихоснов математики. Курс рассчитан на 100 часов: 68 часов в 10 классе и 32  часав 11 классе.

Содержание курса:

Тема 1. «Предмет и значение логики» (6 ч.)Тема 2. «Понятие» (18 ч.)

Понятие как форма мышления. Основы логические приемы формирова-ния понятий: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение. Объем исодержание понятий. Отношения между понятиями.

Определение понятия. Правила определения понятий. Деление понятий.

Использование операции деления понятий и классификации в математике.Обобщение и ограничение понятий.

Тема 3. «Суждение» (12 ч.)

Виды простых суждений. Сложное суждение и его виды. Составлениеформул для сложных суждений.

Тема 4. «Законы (принципы) правильного мышления»(8 ч.)

Закон тождества. Закон непротиворечия. Закон исключенного третьего.

Закон достаточного основания.

Тема 5. «Дедуктивные умозаключения» (15 ч.)

Структура умозаключения: посылки, заключения, логическая связь междупосылками и умозаключениями (вывод). Виды умозаключений: дедуктивные,индуктивные, по аналогии. Условные умозаключения. Разделительные умозак-лючения. Дилеммы. Трилеммы. Полилеммы.

Тема 6. «Математическая (символическая) логика. Современная дедуктивнаялогика» (20 ч.)

Операции с классами понятий: объединение, пересечение, вычитание.

Исчисление высказываний. Отрицание сложных высказываний. Выражение ло-гических связок в естественном языке. Логическое следствие. Доказательствоэквивалентности двух выражений. Приложение логики высказываний к анализуи синтезу контактных и электронных схем. Элементы логики предикатов. Пра-вила отрицания кванторов. Многозначные логики.

Тема 7. «Индуктивные умозаключения» (3 ч.)

Понятие индуктивного умозаключения и его виды. Полная индукция и ееиспользование в математике. Математическая индукция. Неполная индукция иее виды: индукция через простое перечисление (популярная); индукция черезанализ и отбор фактов; научная индукция. Условия повышения достоверностииндуктивного рассуждения.

Тема 8. «Умозаключения по аналогии» (4 ч)

Аналогия и ее структура. Виды умозаключения по аналогии: аналогиясвойств и аналогия отношений. Нестрогая и строгая аналогия. Ложная анало-гия. Условия повышения вероятности заключений в выводах нестрогой анало-гии. Достоверность заключений в выводах строгой аналогии.

Тема 9. «Искусство доказательства и опровержения» (10 ч.)

Структура и виды доказательств. Структура доказательства: тезис, аргу-менты, демонстрация. Прямое и косвенное доказательство. Понятие о логиче-ских парадоксах. Математические софизмы. Опровержение.

Тема 10. «Гипотеза»(4 ч.)

Виды гипотез: общие, частные и единичные. Прямой и косвенный спосо-бы доказательства гипотез. Способы опровержения гипотез [8, 3 с.].

Вывод:Данный курс рассматривает некоторые общие законы и формыправильного мышления, так как логика лежит в основе различных наук, а такжев основе любого учебного предмета, изучаемого в начальной и средней школе.Логические знания позволяют более четко мыслить, аргументировано прово-дить доказательства. В этом курсе основные законы и приемы логики проиллю-стрированы примерами, в основном относящимися к математике.

Считаем, что курс построен довольно понятно и четко, теоретического мате-риала, разобранных примеров, наглядных иллюстраций и упражнений для са-мостоятельного разбора учащихся вполне достаточно.

Психолого-педагогические особенности учащихся 9 классовРассмотрим психологические особенности возраста учащихся, выбранных на-ми для организации и проведения курса по выбору, опираясь на учебник В.С.Мухиной «Возрастная психология» [29]. Учащиеся 9 класса относятся к отро-честву, подростковому возрасту – период человека от детства до юности в тра-диционной классификации (от 11-12 до 14-15 лет). Подросток проходит в этотсамый короткий по астрономическому времени период великий путь в своемразвитии: через внешние срывы и восхождения, через внутренние конфликты ссамим собой и с другими он может обрести чувство личности [29, с.345].

Начнем с изменений в подростковом возрасте, которые выделил И.С. Кон:

  1. чувство зрелости;
  2. развитие самосознания, формирование идеала личности;
  3. склонность к рефлексии;
  4. интерес к противоположному полу, половое созревание;
  5. повышенная возбудимость, частая смена настроения;

  1. особое развитие волевых качеств;
  2. потребность в самоутверждении и самосовершенствовании в деятель-ности, имеющей личный смысл;
  3. самоопределение [57, с.201].

Рассмотрим поведение подростка в школе, его учебную деятельность и об-щение с взрослыми и сверстниками.

Подросток в школе.Меняется внутренняя позиция подростка по отношениюк школе и учению, теперь подростка занимают в большей мере взаимоотноше-ния со сверстниками. Так как большую часть времени подросток проводит вшколе, то правильно считать, что в стенах школы создаются условия для разви-тия его личности. Такие условия могут формировать взрослые: взрослый другили кумир. Взрослые выступают для подростков в качестве некоего значимогочеловека, который становится предметом группового обожания и подражания.Достаточно важно, кто именно из взрослых займет этот пьедестал [29, с.355].

Учебная деятельность.Большое место в жизни подростка занимает учеба вшколе или в училище. Интерес к учебному предмету во многом связан с каче-ством преподавания. Подача материала учителем имеет большое значение,умение увлекательно и доходчиво объяснить материал, что активизирует инте-рес к учению.

В этом возрасте возникают новые мотивы учения, связанные с осознани-ем жизненной перспективы, своего места в будущем.

Для развития личности подростка знания приобретают особую значи-мость. Именно в подростковом возрасте прикладываются специальные усилиядля расширения житейских, художественных и научных знаний [29, с.356].

Рассмотрим особенности общения подростков со сверстниками и взрос-лыми.

Общение подростка с взрослыминачинает складываться под влиянием воз-никающего чувства взрослости в отрочестве общение с родителями, учителямии другими взрослыми. Активнее начинается отстаивание своего права на само-

стоятельность, сопротивление по отношению к ранее выполняемым требовани-ям взрослых.

Подросток испытывает потребность в поддержке, несмотря на внешниепротиводействия, проявляемые по отношению к взрослым. Самая благоприят-ная ситуация, когда взрослый выступает в качестве друга. Для взрослого оченьважно найти формы налаживания и поддерживания контакта с подростков, об-ращая внимание на его ранимость [29, с.362]. «В случаях, когда взрослые отно-сятся к подросткам как к маленьким детям, они выражают протесты в различ-ных формах, проявляют неподчинение с целью изменить сложившиеся ранееотношения» [29, с.363].

Общение подростка во многом обуславливается изменчивостью его на-строения. Оно может меняться на протяжении небольшого промежутка време-ни на прямо противоположное. Это ведет к неадекватности реакции подростка.

Подросток болезненно воспринимает недостаток внимания, заботы и ру-ководства взрослых. Это является источником обременяющих хлопот или отрокчувствует себя лишним. Но также чрезмерная опека и контроль, необходимый,по мнению взрослых, нередко приносит негативные последствия [29, с.366].

Общение со сверстниками. Как нам известно, исключительную значи-мость приобретает общение со сверстниками. Взаимодействуя друг с другом,подростки учатся рефлексии на себя и сверстника. Самоценными становитсяпостижения окружающего мира и друг друга. Общение оказывается настолькопритягательным, что дети забывают об уроках и домашних обязанностях. Под-росток теперь менее зависит от родителей, чем в детстве. Свои планы, дела итайны он уже доверяет не родителям, а обретенному другу. Если взрослый пы-тается обсуждать личность друга в любой форме, даже в форме похвалы, этовоспринимается как покушение на его право выбора, свободу.

Более всего ценится в подростковом возрасте успехи в среде сверстников,формируются свои кодексы чести. Высоко ценится верность, честность и кара-ются предательство, измена, нарушение данного слова, жадность, эгоизм и т.п.

В максималистских формах осуществляется контроль над тем, как фор-мируется нормативность в подростковых группах. Если подросток подвел, пре-дал, бросил, он может быть избит, ему могут объявить бойкот и оставить в оди-ночестве.

Перечисленные в общении подростковые ориентации, в целом совпадаютс ориентациями взрослых, но оценка идет более максималистично и эмоцио-нально, чем у взрослых [29, с.369].

Перейдем к развитию высших психических функций подростка.

Начинают в подростковом возрасте развиваться такие познавательные про-цессы, как ощущения, восприятия, представления, память, воображение, мыш-ление и речь.

Развитие мышления. Ссылаясь на исследование У. Найссера «Когнитивнаяпсихология», рассмотрим особенности развития мышления в подростковомвозрасте:

  1. в процессе обучения подросток осваивает на логическом уровне всемыслительные операции;
  2. постепенно отдельные умственные операции, которые совершает под-росток, превращаются в единую целостную структуру.
  3. анализ абстрактных идей, поиск ошибки и логического противоречия вабстрактных суждениях [по 5, с.5].

Таким образом, мышление подростка характеризуется стремлением к широ-ким обобщениям. Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать пред-положительно, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативыпри решении одних и тех же задач. Интересы подростка выходят за пределышколы и приобретают форму познавательной самодеятельности. Способныедать интеллектуальное удовлетворение, подростки находят занятия и книги, со-ответствующие их интересам. Характерная особенность и подросткового, ираннего юношеского возраста – стремление к самообразованию [30, с.144].

Развитие внимания, памяти, воображения.В подростковом возрасте внима-ние, память и воображение, уже приобрели самостоятельность – подросток на-

столько овладел этими функциями, что теперь в состоянии управлять ими посвоей воле.

Рассмотрим подробно особенности развития познавательных процессов уподростка.

Внимание.Подросток может хорошо концентрировать внимание в значи-мой для него деятельности: в трудовой деятельности, где он зачастую можетпроявлять чудо в умение сосредоточиться и выполнить тонкую работу, в спор-те, где он может добиться высоких результатов, в общении, где его наблюдае-мость может соревноваться с наблюдательностью взрослого, у которых она яв-ляется профессиональным качеством. Внимание подростка становится хорошоуправляемым, контролируемым процессом.

Подростковый возраст, по проявлению внимания – период парадоксов вдостижениях возможностях и потерях [29, с.392].

Память.Отрок способен управлять своим произвольным запоминанием.

С 13 до 15-16 лет наблюдается более быстрый рост памяти. В подростковомвозрасте память перестраивается, переходя от доминирования механическогозапоминания к смысловому. Перестраивается смысловая память – она приобре-тает опосредованный, логический характер, обязательно включается мышле-ние. Память работает на опосредованиях уже присвоенных знаковых систем,прежде всего речи [29, с.393].

Воображение.Воображение в подростковом возрасте может превратить-ся в самостоятельную внутреннюю деятельность. Подросток может проигры-вать мыслительные задачи с математическими знаками, может оперироватьзначениями и смыслами языка, соединяя две высшие психические функции: во-ображение и мышление. Он может строить свой воображаемый мир особых от-ношений с людьми, мир, в котором он проигрывает одни и те же сюжеты и пе-реживает одни и те же чувства до тех пор, пока не изживет свои внутренниепроблемы.

Воображение подростков может оказывать влияние на познавательнуюдеятельность, эмоционально-волевую сферу и саму личность. Также оно может

обогатить внутреннюю жизнь подростка, соединяясь с рациональными знания-ми, преобразоваться и стать подлинной творческой силой, но может и прийти вупадок, лишить подростка полета фантазии и творчества [29, с.393].

Итак, познавательные процессы в подростковом возрасте достигают вы-сокого уровня. Закономерности развития мышления определяют в значитель-ной мере особенности функционирования и развития других психических про-цессов. Некоторые авторы полагают, что именно в этот период развития лично-сти, интеллектуальные способности достигают своего максимума. Так, отечест-венный психолог Я.А. Пономарев, рассматривающий творческий процесс какрезультат взаимодействия разных уровней интеллектуальной деятельности че-ловека, считает, что пик интеллектуального развития достигается уже в 12 лет[5, с.82].

После подробного рассмотрения общих психологических особенностейподростка, перейдем к рассмотрениюпсихолого-педагогических особенностей вобучение математике. Мы будем их учитывать при создании и проведениянашего курса по выбору.

Усиленный интерес учителя математики в настоящее время стали прояв-лять к психолого-педагогическим проблемам, к психологическим знаниям. Этообуславливается тем, что учителя математики сталкиваются с такими пробле-мами, которые можно разрешить только лишь на основе психолого-педагогических знаний, а также при условии глубоко психологического осмыс-ления сущности этих проблем [54, с.4].

«Начнем со знаменитых слов М.В. Ломоносова: "Математику уже затемучить следует, что она ум в порядок приводит"» [цитируем по 12, с.6].

Сначала определимцели обучения математики в школе, которые былипредставлены в работах А.И. Маркушевича [27]:

  1. «Формирование умения вычленять сущность вопросов, отвлекаясь от не-существенных деталей, переходить от конкретной постановки вопросов к схеме(умение схематизировать).

  1. Развитие навыков дедуктивного мышления, то есть умения выводить ло-гические следствия из данных предпосылок, воспитывать умение анализиро-вать объект, вычленять из него частные случаи, причем важно различать, когдаэти частные случаи в совокупности охватывают и исчерпывают собой все воз-можности, а когда они являются только примерами и всевозможных случаев неисчерпывают.
  2. Формирование умения применять выводы, полученные из теоретическихрассуждений, к конкретным вопросам, сопоставлять выводы или результатыэтого применения с тем, что мы предвидели или теоретически предполагали,оценивать влияние условий на результаты, обобщать полученные выводы, ста-вить новые вопросы.
  3. Выработка у учащихся таких качеств, как точность, сжатость и ясностьсловесного выражения мысли, произвольное управление своим вниманием,способность сосредоточиться, настойчивость в достижении поставленной целии привычка работать упорядоченно» [12, с.32].

Фридман Л.М. в своей книге «Психолого-педагогические основы обуче-ния математике в школе» [54] рассматривает проблемы формирования культу-ры математического мышления. В процессе обучения математике формируетсяу учащихся математическое мышление, оно является составной частью общейкультуры мышления, воспитание которой есть важнейшая задача общего обра-зования.

«Мышление человека только тогда можно считать культурным, когда оносовершается в полном соответствии с законами логики. Эти законы устанавли-вают нормы рассуждений, умозаключений, обеспечивающие получение с ихпомощью из истинных посылок верных заключений. Логические формы – этосистемы связей между понятиями, в которых отражена объективная действи-тельность» [54, с.44]. Перейдем конкретно к математическому мышлению уча-щегося. Этой теме уделяет большое внимание Гусев В.А. в своей книге «Пси-холого-педагогические основы обучения математике» [12].

Математическое мышление имеет несколько характеристик:

  1. Четкость формулировки проблемы, задачи, задания.

Учитель математики на своем уроке обязан четко формулировать зада-ние, данное им ученику. Поиск ответа на вопрос представляет собой мышление.Правильно поставленный вопрос есть вопрос уже наполовину решенный.

Очень ответственный момент – постановка вопроса в процессе обученияматематике. Тем самым наш курс по выбору должен быть продуман до мело-чей, каждый заданный вопрос учителем, каждое задание должно быть четко ипонятно сформулировано для учащихся. Содержание вопроса должно бытьчетко ясно и понятно. Необходимо спрашивать учащихся, после прочтения за-дачи: «Вы поняли условие задачи?». Также можно задавать наводящие вопро-сы: «Что дано в условие задачи? Что требуется найти? С чего следует начинатьрешение?». Все заданные вопросы учителем должны подсказывать ученику, вкаком направление следует искать ответ, что нужно найти. Учителю необхо-димо научиться ставить такие вопросы и давать подсказки ученику в решениизадачи. Все вопросы учителя должны направлять ученика, а не принуждать егоделать только так [12, с.54-55].

  1. Понимание математического материала, предлагаемого учащимся.

Изучая математику, ученики часто не понимают преподносимого им ма-териала. Как с этим справиться учителю? Во-первых, учитель должен всегдапомнить, что любое математическое понятие не должно изучаться изолирован-но от других, во-вторых, необходимо научить обучающихся выводить следст-вия из того факта, который изучается [12, с.57].

3.Проблемы уровня строгости изложения материала.

Если рассматривать эту проблему с математической точки зрения, то не-обходима логическая строгость изложения материала. С другой стороны это за-висит от уровня математического мышления учащихся. М.В. Потоцкий утвер-ждает: «Строгость должна разъяснять смысл и помогать усвоению, а не затем-нять его». Итак, главной задачей учителя является воспитание у учащегося по-требности в строгости, в обоснованности выводов и умозаключений [12, с.58].

Одним из основных мышлений в математике, является логическое мыш-ление. Фридман Л. М. пишет: « Логика мышления не дана человеку от рожде-ния, ею он овладевает в процессе жизни, в обучении». В математике наиболеевыпукло и зримо демонстрируется почти все законы элементарной логики [54,с.44]. Когда курс «Логика» изучался в советской школе в период 1947-1956 гг. в10 классах, то этот кратковременный курс не дал заметных результатов. ТогдаИ.Л. Никольская, изучавшая эту проблему, экспериментально установила, чтоэффекта можно достичь, если обучение логическим понятиям проводить в те-чение продолжительного периода времени, когда элементы логики органическивплетены в курс математики [по 54, с.45].

В своем курсе по выбору на тему: «Элементы теории множеств и логи-ки», следует развивать логическое мышление. Для этого и были выбраны уча-щиеся 9 класса, потому что именно в этом возрасте у них развивается формаль-но-логическое мышление, их можно заинтересовать, привить интерес к тому,что для них ранее было, не так широко известно. Показать, как много интерес-ных вещей скрывает «Царица наук – математика».

Кратко рассмотримосновные компоненты математического мышления:

Последнее, на чем мы остановимся в нашем анализе психолого-педагогических основ обучения математике, будет рассмотренароль учителя иученика в процессе обучения математике.

Есть две стороны в процессе обучения математике, одна сторона – учи-тель, другая сторона – ученик. Их роли представляются собой достаточно яс-ными: учитель направляет и организует процесс обучения математике, а ученикучиться и выполняет требования учителя.

В книге Константинова Н.А и др. «Основные вопросы педагогики» [22]процесс обучения определяется таким образом: «Обучением называется дву-сторонний процесс, состоящий из деятельности учителя, когда он ученикамобъясняет, рассказывает, показывает, заставляет их выполнять упражнения, ис-правляет их ошибки и т.д., и из деятельности учеников, которые под руково-дством учителя усваивают знания и соответствующие умения и навыки» [54,с.59].

По мнению Л.М. Фридмана, процесс обучения математике намного про-тиворечивее, чем это отражено в приведенном определении.

В обязанности учителя входит давать материал учащимся на отработкуизученного материала, давать задания решить задачи, повторить пройденныйматериал, справляться с практическими работами. Учитель все это дает, но всели ученики выполняют данные задания? Нет, не все, есть ученики, которые во-все не выполняют, есть ученики, которые небрежно выполняют и допускаютмножество самых невероятных ошибок, а другие хотели бы выполнить, но незнают, как это сделать.

Конечно, учитель может призвать ученика выполнять задания различны-ми способами, но к чему это приведет. Во многих случаях ученики списываютготовые задания или заучивают уроки. Такое выполнение не только не полезно,но и вредно, так как это не приводит к успешному усвоению материала.

Значит, учитель математики должен привить ученикам интерес, вызвать уних желание изучать, постигать свой предмет, только тогда процесс обучениядаст какую-то пользу. Основная работа учителя состоит ввоспитании учащих-ся в целом и каждого ученика в отдельности.В процессе воспитания можно:объяснять учебный материал, давать задания по решению задач, по проведениюразличных работ, чтобы удовлетворить потребность учащихся в активной твор-ческой деятельности. Только тогда эти знания будут восприниматься с желани-ем и интересом.

Из этого Л.М. Фридман делает вывод:основная роль учителя математи- ки (каждого учителя) в современных условиях – это воспитание личности учащихся, формирование их потребностно-мотивационной сферы, воспитание их способностей, нравственных идеалов и убеждений[54, с.61].

Рассматривая роль ученика в учебном процессе, отметим, что ученик яв-ляется объектом этого процесса. Потому что весь процесс обучения проводитсяи организован для него и ради него. Вся деятельность учителя направлена наформирование личности ученика и на его образование. Ученик является глав-ным объектом учебно-воспитательного процесса.

«Современный ученик – не глина, не пассивный объект активных учи-тельских воздействий. Он растущая, развивающаяся и самобытная личность. Иначиная с некоторого возраста, он хочет – и это его естественная потребность –и в силу этого имеет право быть субъектом своей деятельности, своего учения,воспитания, своей жизни» [54, с.63].

Выводы по главе 1

В главе 1 изложены пять этапов развития такой формы обучения как курсыпо выбору с 1967 г. по настоящее время. Проведен обзор литературы по темеисследования: нормативных документов, школьных учебников по   математике,

факультативов по содержанию, связанному с теорией множеств и логикой.Анализ нормативных документов позволяет сделать вывод, что элементы логи-ки снова вернулись в школьный курс математики. Рассмотрев созданные ранеефакультативные и элективные курсы, скажем, что они охватывают некоторыеобщие законы и формы правильного мышления, так как логика лежит в основеразличных наук, а также в основе любого учебного предмета, изучаемого в об-щеобразовательной школе. Логические знания позволяют более четко мыслить,аргументировано проводить доказательства. В этих курсах освещены основныезаконы и приемы логики, а также затронута теория множеств. В этих курсахдостаточно полно подобран теоретический и практический материал, присутст-вуют исторические сведения для расширения кругозора учащихся. Отрицатель-ной  чертой  выступает  сложность  данного  материала  курс  А. Д. Гетмановой

«Логические основы математики» содержит слишком много материала, т.е. со-держание сильно перегружено. Создаваемый новый курс «Элементы теориимножеств и логики» даст возможность учащимся 9 класса окунуться в прекрас-ный и необъятный мир логики и теории множеств. Он будет построен увлека-тельно и достаточно понятно и просто, включит в себя различные логическиеигры и исторические сведения, поможет учащимся лучше понять предстоящиетемы математики и информатики.

Представлены психолого-педагогические основы обучения учащихся подро-сткового возраста, отмечены особенности обучения математике и развития ло-гического мышления при обучении математике. Изучение особенностей разви-тия мышления подростков подтверждает, что этот возраст наиболее подходитдля логического развития учащихся.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ПРОВЕДЕНИЯ КУРСАПО ВЫБОРУ «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ЛОГИКИ»ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССОВ

Программа курса по выбору «Элементы теории множеств и логики»Пояснительная записка

Элементы логики и теории множеств не достаточно в школьных курсахматематики и информатики. Умение логически грамотно рассуждать, четкоформулировать свои мысли требуется при изучении всех предметах школьногокурса, а также и в жизни. Данный курс предлагается для учащихся 9 класса, по-тому что именно в этом возрасте наиболее активно развивается логическоемышление. Логическое мышление обеспечивает ясность и четкость мысли. Ононе является врожденным, поэтому его можно и нужно развивать, соблюдая по-следовательность, систематичность, сочетая изучение теоретического материа-ла с решением задач.

Теория множеств, несколько лет назад почти ушла из школьного курсаматематики. От неё остались только числовые множества и операции с проме-жутками числовой прямой. В школьном курсе математики последнее времястало уделяться некоторое, но недостаточное внимание множествам и элемен-там логики. Улучшить эту ситуацию позволит курс по выбору, в котором дос-таточно серьезно изучаются элементы теории множеств и логики. Этот курсдаст возможность учащимся 9 класса приобщиться к очень важным и интерес-ным областям науки - к логике и теории множеств.

Учащиеся будут решать задачи по логике и теории множеств, узнаютмного интересного о возникновении и развитии истории логики и теории мно-жеств. Также курс поможет в изучении предмета «Информатика», потому чтобез использования основ логики невозможно понять компьютерную идеологию.

Курс рассчитан на 16 часов, по одному часу в неделю. Итоговый кон-троль запланирован на заключительном занятии курса в виде контрольной ра-боты.

Изучение курса осуществляется посредством вовлечения учащихся в раз-личные виды и формы учебной деятельности:

Учебные: формирование начальных знаний в области теории множеств илогики и умения применять эти знания.

Воспитательные: воспитание математической речевой культуры, трудо-любия, уважения к труду товарищей и учителя, чувство коллективизма и уме-ния сочетать индивидуальную работу с коллективной; воспитание способностиабстрагировать, обобщать, специализировать, определять понятия, составлятьсуждения, находить пути решения поставленной задачи.

Развивающие: развитие логического мышления учащихся; развитие уме-ния логически рассуждать и ясно излагать свои мысли; развитие математиче-ской интуиции, умения самостоятельно и творчески работать с учебной и науч-но-популярной литературой.

Задачи курса по выбору:

В результате изучения курса по выбору обучающиеся развиваютлогиче-ское мышление; умения логически рассуждать и ясно излагать свои мысли; ма-тематическую интуицию, умения самостоятельно и творчески работать с учеб-ной и научно-популярной литературой.

Предметные результаты изучения курса по выбору должны отражать:

  1. знания: способов задания множеств; понятия пустого множества, под-множества, определения операций над множествами; свойства операций надмножествами; связь между логическими операциями и операциями над множе-ствами;
  2. знания: понятия высказывания и высказывательной формы; определе-ния логических операций над высказываниями; свойства операций над выска-зываниями (законы логики); связь между логическими операциями и операция-ми над множествами;
  3. умения: приводить примеры множеств; задавать множества разнымиспособами; находить объединение, пересечение и разность данных множеств;пользоваться кругами Эйлера для иллюстрации отношений между множества-ми и операций над множествами; применять эти умения на уроках математики;
  4. умения: определять истинностное значение сложного высказывания;строить таблицы истинности для данных формул; отличать высказывания и вы-сказывательные формы; применять кванторы общности и существования (кван-торные слова) к предложениям

Содержание основных разделов курса по выбору

  1. Элементы теории множеств

История создания теории множеств. Понятие множества. Элемент множества.Способы задания множеств.Подмножество. Пустое множество. Числовые множества. Круги Эйлера. Пересечение множеств.Объединение множеств.

Разность множеств. Свойства операций над множествами. Универсальное мно-жество. Множества в школьном курсе математики. Конечные и бесконечныемножества. Занимательные задачи о бесконечных множествах.

  1. Элементы логики.

Что изучает логика. История возникновения логики. Высказывания. Логическиесвязки: «и» и «или»;  «Если…, то»; «Неверно, что …». Логические операции

над высказываниями. Конъюнкция. Дизъюнкция. Импликация. Отрицание.Формулы логики высказываний. Таблицы истинности. Высказывательные фор-

мы. Кванторы.Кванторные слова.Законы логики. Связь между логическимиоперациями и операциями над множествами.

Тематическое планирование курса по выбору

Тематическое планирование отражает темы, изучаемые в курсе, и часы наих изучение.

Таблица 1 - Тематическое планирование курса по выбору

№ п/п

Тема

Кол-во часов

I

Элементы теории множеств

8

1

История создания теории множеств. Понятия множества. Эле-мент множества. Способы задания множеств.Подмножество. Пустое множество.

1

2

Числовые множества. Круги Эйлера. Пересечение множеств.Объединение множеств. Разность множеств

2

3

Универсальное множество. Свойства операций над множест-вами. Множества в школьном курсе математики

2

4

Конечные и бесконечные множества.

1

5

Занимательные задачи о бесконечных множествах

1

6

Проверочная работа по разделу "Элементы теории множеств"

1

II

Элементы логики

8

7

Что изучает логика. История возникновения логики

1

8

Высказывания. Логическая связка: «и» и «или». Логическиеоперации над высказываниями. Конъюнкция. Дизъюнкция

1

9

Логическая связка: «Если…, то».Импликация

1

10

Логическая связка: «Неверно, что …». Отрицание.

1

11

Формулы логики высказываний. Таблицы истинности.

1

12

Законы логики. Связь между логическими операциями и опе-рациями над множествами

1

13

Кванторы. Кванторные слова.

1

14

Проверочная работа по разделу "Элементы логики".

1

Итого:

16

Учебно-методические материалы для курса по выбору

  1. Учебно-методические материалы для занятий по разделу «Элементытеории множеств»

Для отбора материала для занятий по разделу «Элементы теории мно-жеств» были использованы пособия Н.Я. Виленкина [3] и Н.Н. Харин [56].

Материал по теме«История создания теории множеств»

Цель занятия:кратко ознакомить с историей создания теории множеств;обозначить роль множеств в школьном курсе математики.

История создания теории множеств. Прежде чем начать изучать элементытеории множеств, кратко ознакомимся с историей создания теории множеств.До второй половины 19 века понятие «множество» не рассматривалось вкачестве математического. Но положение изменилось, когда немецкий матема-тик Георг Кантор разработал свое учение о множествах, в рамках которого лю-

бой математический объект должен был оказаться тем или иным множеством.Понятие «множество» Кантор рассматривал в качестве центрального для мате-матики. Однако Кантор не давал точного определения множества, он говорил:

«Множество есть многое, мыслимое как единое целое». Георг Кантор являетсяобщепризнанным создателем теории множеств.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 4 марта 1845 года вСанкт-Петербурге, где посещал начальную школу. Уже с ранних лет он про-явил страстное желание изучать математику. Кантор окончил гимназию и по-лучил степень доктора философии за работу по теории чисел. Всю свою карье-ру он проведет в Галльском университете Мартина Лютера, более сорока лет.Главным его преимуществом его лекций была строгость и четкость в определе-нии понятий. Георг завершает свои математические публикации в 1897 году, нопродолжает преподавательскую деятельность. Тогда и начинается все возрас-тающее признание математическим миром его труда по созданию теории мно-жеств.6 января 1918 года Кантор умирает в города Галле.В честь математикаНемецкое общество учредило Медаль Кантора [60].

Материал для занятий по теме:Понятие множества. Пустое множе-ство. Круги Эйлера. Объединение и пересечение множеств.

Цели занятия:Введение понятий множества, подмножества и пустогомножества; круги Эйлера; определения операций над множествами: пересече-ния и объединения множеств, рассмотрение примеров.

Вводное слово: «Теория множеств – раздел математики, в котором изу-чают общие свойства множеств» [47, с. 29].

Множества. Способы задания множеств.Не во всех школьных учеб-никах по математике рассматриваются множества. Слышали вы о множествахраньше в курсе математики?

Множество– одно из основных понятий современной математики. Этопонятие является исходным, оно не сводится к другим понятиям и не определя-ется.[17, с.5].

Создатель теории множеств Георг Кантор говорил: «Множество естьмногое, мыслимое как единое целое».

Приведем несколько примеров множеств:

-множество всех квадратов на плоскости;

Далее предлагается учащимся самим привести несколько примеров мно-жеств.

Объекты, составляющие множество, называют егоэлементами.

Множества будем обозначать заглавными латинскими буквами:A,B, С, ...

X,Y,…,а их элементы – прописными буквами:a,b, с,...,x,y,…При этом элемен-ты множеств принято заключать в фигурные скобки [48, с.7].

Пример.X= {1, 2, 3, 5, 7}.

Если объектаявляется элементом множестваА, то говорят также, что а

принадлежит А, и пишутaA. Еслиане является элементом множестваА, то

говорят также, чтоа не принадлежит А, и пишутaÏA. СимволÎназывают символомпринадлежности[48, с.8].

Пример. Запись 3Xозначает, что число 3 принадлежит множествуX. Запись

4ÏХозначает, что число 4 не принадлежит множествуX.

Однако, чтобы задать множество, не обязательно перечислять его элемен-ты. Можно указать свойство, на основе которого элементы объединены вомножество. Если множество состоит из тех и только тех элементов, которыеобладают данным свойством, то это свойство называютхарактеристическимсвойствомэлементов этого множества.

Обозначим черезP(x) произвольное условие – предложение с переменнойx, которой можно придавать значения из некоторого множестваM. Множество,состоящее из тех и только тех элементов, для которых верноP(x), обозначаюттак: {x|P(x)} или {xÎM|P(x)} [48, с.12].

Пример:1. Множество всех натуральных чисел, меньших 7. Характери-стическое свойство: "быть натуральным числом, меньшим 7". Обозначение:

{xÎN|x<7}.

2. Множество всех четных натуральных чисел. Характеристическое свой-ство: "быть четным натуральным числом". Обозначение: {xÎN|x- чётно}

ПустьАиВ– произвольные множества.

МножестваАиВназываютравными, и пишутА=В, если они состоят изодних и тех же элементов.

Примеры. 1. {1; 2; 3}= {3; 2; 1}.

2. Множество четных чисел равно множеству чисел, делящихся на 2.

Подмножество.МножествоAназываютпод-множествоммножестваB, если всякий элемент множе-стваAявляется элементов множестваB.

Обозначается:AÍB(см. рис.1).

Примерымножеств и их подмножеств:

  1. ПустьA– множество всех букв русского алфавита,B– множествогласных букв русского алфавита, тогдаBÍA.
  2. ПустьA– множество всех линий на плоскости,B– множество прямыхна плоскости, тогдаBÍA.
  3. Множество всех лис является подмножеством в множестве всех хищ-ных зверей, множество хищных зверей – подмножеством в множестве всехмлекопитающих [3, с.20].

Далее предлагается учащимся привести самостоятельно несколько при-меров подмножеств.

Пустое множество.Может ли множество не содержать ни одного элемента?В математике рассматривается множество, вовсе не содержащее элемен-

тов. Такое множество называетсяпустым[3, с.17].

Примеры задания пустого множества: множество лошадей, пасущихся наЛуне; множество кроликов, живущих на Солнце; множество собак, играющих втеннис; множество кошек с копытами; множество нечетных чисел, делящихсяна 2, и т.п. [3, с.18].

Круги Эйлера (Диаграмма Эйлера-Венна). Леонард Эйлер (1707 – 1783) –швейцарский, немецкий и российский математик, внесший значительный вкладв развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда приклад-ных наук. Джон Венн (1834 – 1923) – английский логик и философ. Они из-вестны тем, что ввели диаграммы для изображения множеств. Сейчас их назы-вают диаграммами Эйлера – Венна [25, с.11-26].

Эйлер изображал множества с помощью кругов (овалов), в его честь ихназвали «кругами Эйлера». Рассмотрим их применение для иллюстрации поня-тий подмножества, пересечения и объединения множеств.

Пересечение множеств.Пусть даны два множестваAиB.Пересечениеммно-жествAиBназывают множество, состоящее из тех и только тех элементов, ко-торые принадлежат как множествуA, так и множествуB. Обозначают пересе-

чение множествAиBтак:AÇB.

Графически удобно пересечение двух множеств изображать в виде общейчасти двух кругов Эйлера (см. рис. 2).

Рис.2 – Пересечение множеств

Аналогично можно определить пересечение трех или более множеств.

Например, пусть ученики школы участвуют в четырех спортивных секциях:по футболу, боксу, волейболу, плаванию. Пересечением множеств участниковкаждой секции состоит из учащихся, посещающих все четыре секции [3, с.28].

Объединение множеств.ОбъединениеммножествAиBназывают множе-ство, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множест-вуAили множествуB

Обозначают объединение множествAиBтак:AÈB(см. рис.3).

Замечания:

Рис.3 – Объединение множеств

  1. Пересечение множеств может быть пустым множеством. Если пересе-чение множеств не пусто, то в их объединении повторяющиеся элементы счи-таются по одному разу.
  2. Для конечных множеств число элементов объединения может оказатьсяменьше, чем сумма чисел элементов объединяемых множеств [3, с.32].

Примеры.

1. ПустьA={1; 2; 3; 4},B={3; 4; 5; 6; 7}.

ТогдаAÈB={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7};AÇB={3; 4};

2. ПустьA={0; -1; -2; -3; -4; -5},B={0; 3; -4; -5; 6; 7}.

ТогдаAÈB={0; -1; -2; -3; -4; -5; 3; 6; 7};AÇB={0; -4; -5}.

Упражнения(для выполнения учащимся у доски). 1. Найти объединениеи пересечение следующих множеств.

Пусть первое множество состоит из различных букв русского алфавита,входящих в первую строку «Евгения Онегина. Второе множество состоит изразличных букв, входящих во вторую строку поэмы.

«Мой дядя самых честных правил,Когда не в шутку занемог»

Множество букв 1-й строки (18 букв):

{м, о, й, д, я, с, а, ы, х, ч, е, т, н, п, р, в, и, л}.

Множество букв 2-й строки (13 букв): {к, о, г, д, а, н, е, в, ш, у, т, з, м}.Объединение этих двух множеств:

{м, о, й, д, я, с, а, ы, х, ч, е, т, н, п, р, в, и, л, к, г, ш, у, з}.

Буквы о, д, а, н, е, в, т, м, входящих в пересечение этих множеств, вошлив сумму только один раз, поэтому получаем только 23 буквы, а не 31.

  1. Найти объединение и пересечение множеств:а)A = {1; 2; 3; 4; 6; 12},B = {1; 2; 3; 6; 9; 18};

б) A = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2},  B = {4; 3; 2; 1; 0; -1; -2}.

  1. Придумайте множества, отношения между которыми удовлетворяли быприведенной круговой схеме (см. рис.4).

Рис.4 – Круговая схема

Домашнее задание:

  1. Подготовить доклад на тему «Георг Кантор - создатель теории мно-жеств».
  2. Найти объединение и пересечение множеств:

а)A= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9},B= {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 17; 18};

б)A= {100; 101; 111; 666; 789}B= {102; 103; 105; 111; 777; 987}.

  1. Привести пример двух множеств; найти их объединение и пересечение.4*. Известно, что множестваA,BиCтакие, чтоAÇB= {2; 3},AÈB= {1;

2; 3; 5; 7; 8},AÇC= {1},CÈB= {1; 2; 3; 5; 6; 7; 8}. Приведите примеры мно-жествA,BиC, для которых выполняются указанные условия.

Материал для занятия по теме:Разность множеств. Дополнениемножества. Числовые множества. Свойства операций над множествами.

Тема занятия: Разность множеств. Числовые множества. Свойстваопераций над множествами.

Цели занятия:разность множеств, дать определение числового множест-ва; конечные и бесконечные множества.

Разность множеств.РазностьюмножествAиBназывается множество,состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествуAине принадлежат множествуB[48 ,с.10].

Обозначают разность множествAиBтак:A\B(см. рис.5).

Рис.5 – Разность множествПерейдем к понятию«универсальное множество».

Редко встречающийся случай, когда в одном и том же множестве, можетидти речь о действительных числах и множестве всех китов в океане. Обычновсе множества, с которыми имеют дело в том или ином рассуждении, являются

подмножества некоторого фиксированного множестваU. В этом случае будемназывать множествоU универсальныммножеством [3, с.26].

ДополнениеммножестваA(до множестваU-универсальногомножества)называют множество всех таких элементов множестваU, которые не принад-лежат множествуA. Обозначают дополнение к множествуАтак:A(см. рис.6).

Примеры:

Рис.6 – Дополнение к множествуA

  1. Дополнением множества всех четных целых чисел до множества всехцелых чисел является множество всех нечетных целых чисел.
  2. Дополнением множества всех квадратов до множества всех прямо-угольников на плоскости является множество всех прямоугольников с нерав-ными сторонами [3, с.39].

Числовые множества.Как уже выяснили, элементами множества могут бытьобъекты различной природы (числа, слова, геометрические фигуры, животныеи т.д.).

Но для математики играют особую роль множества, составленные из ма-тематических объектов. Чаще всех встречаютсячисловые множества, т.е.множества, элементами которых являются числа [17, с.21].

Какие числовые множества, вы знаете? Приведите примеры.

Примеры(см. рис.7):

N– множество всех натуральных чисел;

Z– множество всех целых чисел;

Q– множество всех рациональных чисел;

I– множество всех иррациональных чисел;

R– множество всех действительных чисел.

Рис.7 - Числовые множества

Особое место занимают множества, называемые числовыми промежутка-ми: отрезок [a;b], (a;b) интервалы (a; + ∞), (-∞;b), полуинтервалы [a;b), (a;b],[a; + ∞), (-∞;b] [17, с.21].

Пустьaиb- действительные числа, причемa<b.

Числовыми промежутками называются подмножества всех действитель-ных чисел, имеющих следующий вид:

[a;b]= {xÎR|a£x£b}-отрезок; (a;b)= {xÎR|a<x<b}-интервал;

[a;b)= {xÎR|a£x<b}-полуинтервал;(a;b]= {xÎR|a<x£b}- полуинтервал.

Числовые множества используются при решении уравнений и неравенств.

Вспомним алгебру и выполним два упражнения [17, с. 22].

Упражнения:

  1. Найти множество допустимых значений переменной для уравнения.

+=2.

ïì9-x2³0,ì|x|£3,

í

í

ïîx2- 4³ 0,

î|x|³2,

Ответ: [-3;-2]È[2;3]

  1. Совпадают ли множества корней уравнений.

(x-2)

x2-2x-3=0

и

(x-2)(x2-2x-3)=0?

Рассмотрим первое уравнение

(x-2)

x2-2x-3=0

Область допустимых значений переменной (ОДЗ):

(;-1]È[3;)

Решим первое уравнение:

éx-2=0,

ê

éx= -1,

êx=2,

2ÏОДЗ,

ëêx2-2x-3=0,ê

ë

Множество корней первого уравнения: {-1;3}.Множество корней второго уравнения {-1; 2; 3}.Поэтому множества корней данных уравнений различны.Свойства операций над множествами

ПустьA,B,C- произвольные множества.

  1. переместительные законы пересечения и объединения множеств

(коммутативность):AÇB=BÇA,AÈB=BÈA.

  1. сочетательные законы пересечения и объединения (ассоциативность):

(AÇB)ÇC=AÇ(BÇC), (AÈB)ÈC=AÈ(BÈC)

  1. распределительные законы (дистрибутивность):

AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC) - дистрибутивность пересечения относительнообъединения,

AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC) - дистрибутивность объединения относительнопересечения.

Эти законы проиллюстрированы на (см. рис. 8).

4)Законы де Моргана:

АÇВ=AÈB;

АÈВ=AÇB

Доказательство. Вместо слов «тогда и только тогда», будем использовать

символÛ.

  1. xÎ

АÈВÛ

xÏAÈBÛ

xÏA

и  xÏBÛ

xÎА

иxÎBÛ

ÛxÎ

AÇB.

Следовательно,

АÈВ=AÇB.

  1. xÎАÇВÛ

xÏAÇBÛ

xÏA

или xÏBÛ

xÎА

илиxÎBÛ

ÛxÎAÈB.

Следовательно,

АÇВ=AÈB.

5) AÇA=A, AÈA=A

6) AÇÆ=Æ, AÈÆ=A

Рис.8 – Закон де Моргана

Множества в школьном курсе математики.В школьном курсе математики,мы встречаемся с множествами на каждом шагу. Приведем несколько приме-ров: разные числовые множества, элементами которых являются числа той илииной природы (натуральные, целые, дробные, рациональные и т.д.).Примеры числовых множеств, рассматриваемых в курсе школьной математики:

  1. С числовыми множествами приходится иметь дело при решении урав-нений и неравенств. С каждым уравнением связаны два числовых множества.Первое из них – область определения уравнения. Это множество состоит извсех значенийx, для которых имеют смысл обе части уравнения.Второе мно- жество – это множество всех решений уравнения.

  1. Неравенства видаa£x£b,a<x<b,a£x<b,a<x£bзадают числовые про-межутки, которые являются числовыми множествами.
  2. Более сложную структуру, чем числовые промежутки, имеют множест-ваQиI, состоящие соответственно из рациональных и иррациональных чисел.
  3. Ряд числовых множеств можно получить, объединяя и пересекая опи-санные выше множества. В школьной математике чаще всего имеют дело с пе-ресечением и объединением лишь конечных совокупностей промежутков. Но втригонометрии при решении неравенств встречаемся и с объединениями беско-нечных совокупностей промежутков.
  4. Различные подмножества можно указать в множествеCкомплексныхчисел. Поскольку комплексные числа изображаются точками на плоскости, толюбая плоская геометрическая фигура задает некоторое множество комплекс-ных чисел [61].

Операции над множествами связаны с решением совокупности уравненийи систем уравнений: решение системы уравнений представляет собой пересе-чение решений составляющих уравнений. Решение совокупности уравнений -это объединение решений каждого уравнения. Аналогично с решением систе-мы или совокупности неравенств.[62].

В Приложении №1 представлен материал для занятия по теме: Конечные и бес-конечные множества.

  1. Учебно-методические материалы по разделу «Элементы логики»

Для отбора материала для занятий по разделу «Элементы логики» былииспользованы пособия И.Л.Никольской [31, 32], И.Л. Тимофеева [48,49].

Материалы для занятия по теме:«Что изучает логика. История возник-новения логики».

Цель занятия:Ознакомить учащихся с предметом изучения логики и ис-торическими аспектами развития логики.

Мы познакомились с одним из разделов математики «теория   множеств».

Сегодня начнем знакомиться с логикой.

Знаете ли Вы, что такое «Логика»? Что она изучает?

Что изучает логика.Слово «логика» вы наверняка встречали на страни-цах книг и журналов или слышали в разговорной речи. Что же означает этослово? В толковом словаре С.И. Ожегова написано: «Логика - ход рассужде-ний» [31, с.3].

Слово «логика» происходит от греческогоlogos, что с одной стороны оз-начает «слово», а с другой – «мысль, рассуждение». Так что же изучает логика?Логика имеет непосредственное отношение к языку, речи, она соприкаса-

ется с грамматикой и, еще более широко, с лингвистикой (наука о языках). Нашестественный язык с помощью логических средств уточняется, приобретаетчеткость и определенность. Как замечает польский логик А. Татарский, - «ло-гика создает возможность, лучшего взаимопонимания между теми, кто к этомустремится» [31, с.3].

Как вы считаете, нужна логика в математике? И для чего?

В математике без логики, нельзя сделать ни шагу: ни теорему доказать,ни формулу вывести, ни задачу решить. Вспомним фразу: «Нематематики счи-тают, что математики считают». Она намекает на то, что основное занятие ма-тематиков – вовсе не счет, а логические рассуждения – выводы, доказательства.С помощью логики математики выводят уже из имеющихся в их распоряженииматематических фактов новые факты [31, с.4].

В этом и есть основное назначение логики: с ее помощью, имея некото-рый запас достоверных знаний, можно получать новые знания, не прибегая кнаблюдению, а лишь размышляя и рассуждая по определенным правилам [31,с.4].

Логика в большей или меньшей степени используется в любой науке. Онанеобходима и повседневной жизни. С ее помощью обеспечивается полноценноеобщение в мире людей и компьютеров. Логика должна присутствовать в любомспоре, судебном разбирательстве, расследовании преступления [31, с.5].

Как вы думаете, почему логика – столь универсальный инструмент? Онаполезна и необходима в любой интеллектуальной деятельности.Чем объясня- ется ее общеприменимость? Сначала рассмотрим три рассуждения.

  1. Все насекомые – шестиногие. У паука – не шесть ног.Следовательно, паук не насекомое.
  2. Все числа, кратные 10, оканчиваются нулем. Числоn не оканчиваетсянулем.Следовательно, число n не кратно 10.
  3. Все отличники у Максима в классе занимаются спортом. Максим незанимается спортом. Следовательно, Максим не отличник.

Все эти короткие рассуждения имеют одну и ту жеформу: ВсеА– этоВ,неВ. Следовательно, неА. «Рассуждения такой формы всегда приводят к вер-ному выводу, если исходное утверждение истинно.Формырассуждений, обла-дающие свойством «перерабатывать» любые истины в новые истины, называ-ются правильными» [31, с.5].

Логика дает свод правильных форм основных, простейших рассуждений,правила построения из них сколь угодно длинных дедуктивных рассуждений,они применимы в любой области знаний. Этим и объясняется универсальностьлогики, ни с чем не сравнимое многообразие сфер ее применения [31, с.5].

После того, как мы разобрались, что изучает логика, узнаем, как она воз-никла и развивалась.

История возникновения логики.Как наука логика сформировалась очень давно – в 4 веке до н.э. Ее основателем был древнегреческий ученый Аристо-

тель. В течение многих веков логика существенно не развивалась. Это свиде-тельствует о гениальности Аристотеля, которому удалось создать настолькополную научную систему, что казалось, «не прибавить, не убавить». В силу та-кой неизменности логика приобрела славу мертвой, застывшей науки и вызы-вала у многих скептическое к себе отношение. И лишь в 17 в. великий немец-кий ученый Лейбниц решил создать новую логику, которая стала бы «искусст-вом исчисления». В такой логике, по мысли Лейбница, каждому понятию соот-ветствовал бы символ, а рассуждения имели бы вид вычислений. Эта идеяЛейбница, не встретила понимания и не получила в то время распространения[31, с.6].

Только в середине 19 века ирландский математик и логик Джордж Бульчастично воплотил в жизнь идеюЛейбница.Он создал алгебру логики, в кото-рой действуют законы, схожие с законами обычной алгебры, но буквами обо-значаются не числа, а предложения [31, с.5].

Его алгебра логики явилась зародышем новой науки – математическойлогики. В названии «математическая логика» отражены две характерные чертыэтой науки – это логика, использующая язык и методы математики, а во- вто-рых, математическая логика была вызвана к жизни потребностями математики[31, с.6].

В конце 19 века у математиков появляется надежда навести порядок всвоей науке, которая так разрослась, что представители различных ее областейстали зачастую плохо понимать друг друга [31, с.6].

Математическая логика становится областью математики. Сегодня онаиспользуется в биологии, медицине, педагогике, психологии, экономике, тех-нике. Великая роль математической логики в развитии вычислительной техни-ки: она используется в конструировании компьютеров и при разработке искус-ственных языков для общения с ними [31, с.7].

Самостоятельная подготовка докладовна темы: «Аристотель - основа-тель логики»; «Джордж Буль и его вклад в логику».

Материал для занятий по теме:«Высказывания. Логические операциинад высказываниями».

Представим материал для трех занятий.

Напервом занятиипланируется изучить следующие вопросы: Высказы-вания. Логические операции над высказываниями. Конъюнкция. Дизъюнкция.

Навтором занятиипланируется изучить следующие вопросы: Логиче-ские операции над высказываниями. Импликация.

Натретьем занятиипланируется изучить следующие вопросы: Логиче-ские операции над высказываниями. Отрицание.

Цель занятий:Ознакомить учащихся с высказываниями, логическимиоперациями над высказываниями: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, от-рицание.

Высказывания. Логические операции над высказываниями

Знакомство с каким-либо математическим миром начинается с выяснениятого, что представляют собой «обитатели» этого мира, каковы их свойства. За-тем рассматриваются операции над ними и отношения между ними [31, с.8].

«Коренное население» страны Математическая логика составляютвыска-зывания[31, с.8].

«Высказывание– это предложение, которое либо истинно, либо ложно». Примеры высказываний:

  1. «Москва – столица России». Оно истинно или ложно?(истинно);
  2. «Волга впадает в Черное море» - ложно;3.77=47 – ложно.

Приведите самостоятельно примеры высказываний.

Не каждое предложение является высказыванием. Так, к высказываниямне относятся вопросительные и восклицательные предложения, потому что го-ворить об их ложности или истинности нет смысла. Также не являются выска-зываниями и такие предложения: «Каша – вкусное блюдо», «Математика – ин-тересный предмет», нет единого мнения о том, что истинны или ложны этипредложения [31, с.8].

В примереa2=4 букваaможет не обозначать конкретного числа, а бытьпеременной, т.е. буквой, вместо которой можно подставлять элементы некото-рого числового множества, называемыезначениями переменной[31, с.9].

Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становитсявысказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений, назы-ваютвысказывательной формой.

Рассмотрим предложение «Число делится на 5». Оно не содержат пере-менных в явном виде, но все равно является высказывательной формой. Онастанет высказыванием, если вместо слова «число» подставлять целочисленныезначения.

Упражнение. Установите, какие из следующих предложений являютсявысказываниями; высказывательными формами; ни тем, ни другим:

А) 3+2 = 5;  Б) 3 < 2; В) 3x< 2; Г)y2≥ 0;

Д) «Число слов в этом предложении равно семи»;Е) «Осень – лучшая пора!»;

Ж) «Знаете ли вы украинскую ночь?»;

З) «В четырехугольнике противоположные стороны равны»;

И) «Во всяком четырехугольнике противоположные стороны равны»;

К) «В некоторых четырехугольниках противоположные стороны равны»;Л) «Существует числоxтакое, чтоx2<0»;

М) «Для всякого числаxверно |x|≥0»;

Н) «В городеNболее 100 000 жителей»;

О) «Существует наибольшее натуральное число».

Ответ: Высказывания: а, б, д, и, к, м, н, л. Высказывательные формы: в,г,з.Ни то, ни другое: е, ж.

Конъюнкция. Дизъюнкция.Логическими связкаминазывают слова:   «и»,

«или», «если, то», «неверно, что» (или "не"). Образование составного высказы-вания с помощью логической связки называютлогическими операциями.

КонъюнкциейвысказыванийAиBназывают высказывание «AиB», и обозна-чаютA&B.КонъюнкцияA&B истинна тогда и только тогда, когда оба выска-зыванияAиB истинны[31, с.13].

Буквы «И» и «Л» в логике называются истинностными значениями вы-сказываний.

Таблица 2 – Таблица истинности для конъюнкции

А

В

A&B

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

Л

ДизъюнкциейвысказыванийAиBназывают высказывание «AилиB», и обо- значаютAB.Дизъюнкция двух высказываний АВ ложна тогда и только то- гда, когда оба высказыванияAиB ложны[31, с.13].

Таблица 3 – Таблица истинности для дизъюнкции

А

В

АВ

И

И

И

И

Л

И

Л

И

И

Л

Л

Л

Упражнение.Найдите значения истинности высказыванийA,B,C,D, если

  1. A&(2*2=4) – истинное высказывание;
  2. B& (2*2=4) – ложное высказывание;
  3. C(2*2=5) – истинное высказывание;
  4. D(2*2=5) – ложное высказывание.

Ответ:A- истинно,B- ложно,C- истинно,D– ложно.

Импликация. Отрицание.ОтрицаниемвысказыванияAназывают вы-сказывание «Неверно, чтоA(неA)», и обозначают ¬A[31, с.15].

Таблица 4 – Таблица истинности для отрицания

A

¬A

И

Л

Л

И

Высказывание и его отрицание не могут быть ни одновременно истинны-ми, ни одновременно ложными.

Примеры.«3 равно 2» (A); «3 не равно 2» (¬A).

Упражнение.Сформулируйте отрицания следующих высказываний, ука-жите значения истинности данных высказываний и их отрицаний:

А) «Луна — спутник Марса»; Б) 5>2; В) 3£5; Г) «Все простые числа не-четны».

Ответ: А) «Луна — не спутник Марса» или «Неверно, что Луна — спут-ник Марса»; Б) 5£2; Г) «Существует простое четное число».

Импликация.Логическая операция, соответствующая союзу «если...то...», называетсяимпликацией. Будем обозначать эту операцию символом «®».ИмпликациейвысказыванийAиBназывают высказывание «ЕслиA, то

B», и обозначаютA®B. ИмпликацияA®Bявляется ложной тогда и толькотогда, когдаAистинно, аBложно [31, с.16].

Таблица 5 – Таблица истинности для импликации

A

B

A®B

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

И

Л

Л

И

Принятое  определение  импликации  соответствует  употреблению союза

«если… то...» не только в математике, но и в обычной, повседневной речи. На-пример, обещание приятеля «Если будет хорошая погода, то я приду к тебе вгости» расценивают как ложное в том и только в том случае, когда погода бу-дет хорошая, а приятель не придет [31, 17].

Упражнение.  Определите  значения  истинности  следующих  высказыва-

ний:

А) «Если 12 делится на 6, то 12 делится на 3»;

Б) «Если 11 делится на 6, то 11 делится на 3»;

В) «Если 15 делится на 6, то 15 делится на 3»;

Г) «Если 15 делится на 3, то 15 делится на 6»;

Ответ: А) Истина; Б) Истина; В) Истина; Г) Ложь.

Домашнее задание.Выясните, найдется ли такой день недели, когда:

А) утверждение «Если сегодня понедельник, то завтра пятница» истинно;Б) утверждение «Если сегодня понедельник, то завтра вторник» ложно?

Ответ:А) Да (все, кроме понедельника); Б) Нет.

Материалы для занятия по теме:Формулы логики высказываний. Таб-лицы истинности.

Цель занятия:научиться составлять таблицы истинности для формул.

Формулы логики высказываний. Сначала узнаем, что такое формулы ло-гики высказываний.

Например,высказывание «Если 100 делится на 2 и на 5, то 100 делится на

10», имеет форму (X&Y)®Z[31, с.20].

Буква, вместо которой можно подставлять элементы некоторого множе-ства, называютпеременной.

Переменные, вместо которых можно подставлять любые высказывания(или их значения истинности), будем называтьвысказывательными перемен-ными.

В качестве высказывательных переменных будем использовать симво-лыX,Y,Z,Xi,Yi,Zi(гдеi – произвольное натуральное число).

Определение формулы логики высказываний.

  1. Всякая высказывательная переменная – формула.
  2. Символы И, Л – формулы.
  3. ЕслиF– формула, то ¬F– формула.
  4. ЕслиF1иF2– формулы, то (F1&F2), (F1F2), (F1®F2) – формулы. Никаких других формул в логике высказываний нет [31, с.20].

Упражнение.Определите, какие из следующих выражений являютсяформулами логики высказываний, и выпишите эти формулы:X;x;X5;F;Xi;F1;И;a; (X˅Л); (Y˅Y); (¬X); (¬X˅¬Y); (X˅И); (X&И).

Ответ: Не формулы:x;F;F1;a.

Таблицы истинности.«ПустьF– некоторая формула логики высказываний.Если каждой переменной, входящей в эту формулу, приписать одно из значе-ний истинности (И либо Л), то, пользуясь определениями логических операций,можно найти значение формулыFпри данном наборе значений ее перемен-ных» [31, с.25]

Составим таблицу (Таблица 6) для формулы (¬X˅Y)®¬Y. Она будет со-держать две переменныеXиY. В двух первых строках выписываем всевозмож-ные пары значений переменных, таких пар – четыре. В следующие столбцы за-пишем значения формул ¬X, ¬X˅Y, ¬Y, (¬X˅Y)®¬Y.

Таблица 6 – Таблица истинности для формулы  (¬X˅Y)®¬Y

X

Y

¬X

¬X ˅ Y

¬Y

(¬X ˅ Y)®¬Y

И

И

Л

И

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

И

Л

И

И

И

Л

Л

Л

Л

И

И

И

И

Первые два столбца и последний столбец выражают соответствие междувсевозможными наборами значений переменных и значениями формулы приэтих значениях переменных. Эти столбцы составляют таблицу истинности дан-ной формулы [31, с.26].

Упражнение.Составьте таблицу истинности для формул: А) (¬X®Y) ˅ ¬(X&Y);

Б) (X&Y)®(X˅Y);

В) ((X®Y)&(Y®Z))®(X®Z).

Результаты опытно-экспериментальной проверки

Опытно-экспериментальная проверка результатов, разработанных мате-риалов проводилась в общеобразовательных школах г. Москвы (ГБОУ СОШ

№1948 «Лингвист-М» и ГБОУ СОШ №2009) вIII четверти 2017 г. в 9 классах.

Опытно экспериментальная проверка проходила в четыре этапа:

  1. Констатирующий.
  2. Поисковый.
  3. Обучающий и контролирующий.Целью первого этапабыло изучение:

а) уровня подготовки учащихся по предмету «математика»;

б) посещение занятий и знакомство с учащимся 9 класса;

На данном этапе применялись следующие методы исследования: наблю-дение за проведением занятий по математике с учащимися 9 класса и их анализ;беседа с учащимися и учителями. С помощью бесед с учащимися и учителямиудалось выяснить мнения учащихся и учителей по организации курса по выбо-ру.

На втором, поисковом, этапе опытно экспериментальной проверки реша-лись следующие задачи:

  1. Разработка программы курса по выбору «Элементы теории множеств и логи-ки».
  2. Разработка тематического планирования курса.
  3. Написание конспектов некоторых занятий .
  4. Подбор задач для занятий.

Цели третьего этапа, обучающего и контролирующего:

  1. Проверка доступности отобранного материала и качества его усвоения.
  2. Проверка эффективности методики проведения занятий курса по выбору.Третий этап состоял из двух частей и проходил в двух разных школах.

Сначала опишем первую часть обучающего и контролирующего этапа.

Для достижения цели третьего этапа было проведено 3 занятия для уча-щихся 9 класса, на которых были использованы материалы, разработанные для

курса по выбору для раздела «Элементы теории множеств». Также было прове-дено анкетирование и проверочная работа.

Занятия были проведены в ГБОУ СОШ №1948 «Лингвист-М» г. Москвы,на которых присутствовали 12 учащихся 9 «А» класса.

Содержание проведенных занятий.

  1. занятие:История создания теории множеств. Введение понятий множества,элемент множества. Подмножество. Пустое множество. Круги Эйлера. Пересе-чение множеств. Объединение множеств. Примеры (объединения, пересече-ния). Упражнения.Домашнее задание.
  2. занятие:Разность множеств. Числовые множества.Свойства операций над множествами.
  3. занятие:Конечные и бесконечные множества. Занимательные задачи на свой-ства бесконечных множеств.Проверочная работа.

Конспекты этих занятий приведены в разделе 2.2. Главы 2.

После проведенных занятий учащимся была проведеноанкетированиеуча-щихся.

Цель анкетирования №1, которое проводилось после проведения всех за-нятий перед проверочной работой №1: узнать мнение учащихся о проведенныхзанятиях: нравится ли учащиеся предмет «математика», какие вопросы по тео-рии множеств из числа изученных их больше заинтересовали. Анкета№1 при-ведена в Приложении 2 .

Анализ результатов анкетирования (Приложение №3)показал, что большеполовины (58,3%) учащихся 9 класса положительно относятся к школьномупредмету «математика» и их заинтересовал изученный материал по элементамтеории множеств. Почти все (83,3%) оценили положительно, как были прове-дены занятия. Наибольший интерес (33,3% и  50%) вызвали темы «Операциинад множествами» и «Круги Эйлера». Поэтому можно сделать вывод, что уча-щимся проще и увлекательнее воспринимать наглядно представленный матери-ал.

После проведенных занятий была проведенапроверочная работа№1,целью которой было проверка, как учащиеся усвоили материал, изученный припроведении занятий по элементам теории множеств.

Цель проверочной работы:выяснить, как учащиеся усвоили изученныйматериал. Проверочная работа №1 состоит из 10 заданий, которые приведены вПриложении №4.

Результаты проверочной работы представлены в таблицах 9, 10,11 и наРис.9, Рис.10.

Для оценивания результатов проверочной работы №1 были использованыкритерии оценки, приведенные в Приложении №5. Результаты проверочной ра-боты №1 для каждого ученика приведены в Приложении №4  (Таблица 9).

Таблица 10 - Результаты проверочной работы №1 по каждому заданию

№ за- дания

Количество учащихся вер- но выполнивших задание

В процентах

1

12

100%

2

9

75%

3

2

16,67%

9

75%

8

66,67%

5

0

0%

6

3

25%

7

8

66,67%

8

11

91,67%

9

11

91,67%

10

10

83,33%

Таблица 11 –Результаты проверочной работы №1 по пятибалльной системе

Оценка

Количество учащихся, получивших эту оценку

В процентах

«отлично»

2

16,67%

«хорошо»

4

33,33%

«удовлетворительно»

4

33,33%

«неудовлетворительно»

2

16,67%

Представим эти результаты на Рис.9, Рис.10.

На Рис.9 представлены результаты проверочной работы №1 по каждойзадаче (количество учащихся, выполнивших задачу в %) с оцениванием по де-сятибалльной шкале.

Рис.9 - Результаты проверочной работы №1 по каждой задачеРезультаты проверочной работы по пятибалльной системе представлены наРис.10.

Рис.10 - Результаты проверочной работы №1 по пятибалльной системеАнализ результатов проверочной работы показал, что 50% учащихся на-

писали работу на оценки 4 и 5. Неудовлетворительно написали 17%. Учащиесяиз предложенных им десяти заданий не справились с двумя. Учащиеся не ус-воили, что такое подмножество и не смогли привести пример и дать определе-ние (Задача № 3). Также учащиеся не смогли в задание №5 найти объединение,пересечение и разность множеств, являющихся числовыми интервалами. Этобыло связано с тем, что на занятиях не успели разобрать примеры заданий та-

кого типа.

Выводы.

Проверка усвоения учащимися изученного материала проводилась с по-мощью проверочной работы. Результаты этой работы показали, что изученныйматериал в целом доступен учащимся, поскольку половина учащихся справи-лась с заданиями на "хорошо" и "отлично".

Однако были и проблемы. За три занятия нужно было кратко изложитьдовольно большой материал. Поэтому изложение некоторых вопросов по тео-рии множеств, предусмотренных программой, пришлось сократить, а некото-рые совсем не рассматривать. Поэтому учащимися не выполнили два задания,содержание которых не было закреплено достаточным количеством примеров иупражнений.

В целом занятия были интересны учащимся, о чем этом можно судить порезультатам анкетирования. Учащимся понравился представленный материал,они с большим интересом вели дискуссии, задавали интересующие их вопросы,связанные с изучаемым материалом.

Вторая частьобучающего и контролирующего этапа эксперименталь-ной проверки проводилась в общеобразовательной школе ГБОУ СОШ №2009 г.Москвы со 2 марта по 23 марта в 9 классе. Было проведено 2 занятия для уча-щихся 9 класса, на которых были использованы материалы, разработанные длякурса по выбору для раздела «Элементы логики». Также было проведено анке-тирование и проверочная работа.

Занятия были проведены в ГБОУ СОШ №2009 г. Москвы, на которыхприсутствовали 18 учащихся 9 «Д» класса.

Темы проведенных занятий.

1 занятие:Высказывания. Логические операции над высказываниями (конъ-

юнкция, дизъюнкция, импликация, отрицание, эквиваленция).2 занятие:Таблицы истинности. Проверочная работа.

Конспекты этих занятий приведены в Главе 2 в разделе 2.2.

После проведенных занятий учащимся была проведено второеанкетирование

учащихся.

Целью анкетирования №2, которое проводилось после проведения всех занятийпо логике перед проверочной работой, было узнать мнение учащихся о прове-денных занятиях, о том, какому предмету отдают предпочтение учащиеся «ин-форматике» или «математике», и изучали ли они ранее элементы логики.

Анкетированием было охвачено 15 учащихся (Анкета №2 приведена в Прило-жении№6).

Результаты анкетирования представлены в Приложении №7  в Таблице 12.

Анализ анкетирования показал, что больше половины (73,7%) группыизучали элементы логики ранее, также более чем половине учащихся (53,3%)понравились проведенные занятия, и 46,7% учащихся хотели бы продолжитьих. Из этого можно сделать вывод, что учащихся есть познавательный интереск логике. Отвечая на вопрос в анкете, 26,7% учащихся написали, что ранее онине были знакомы с элементами логики. Учитель, проводивший уроки информа-тики у данного класса был удивлен такими ответами учащихся, так как онапроводила уроки по логике и всех знакомила с ней. Видимо учащиеся не уде-лили должного внимания столь важной теме, забыли, что ее изучали и в анкетедали такой ответ.

После проведенных занятий была проведенапроверочная работа, цельюкоторой было выяснение, как учащиеся усвоили материал, изученный при про-ведении занятий по «Элементам логики».

Целью проверочной работы №2:выяснить, как учащиеся усвоили изу-ченный материал.

Проверочная работа включает в себя 6 заданий, которые приведены вПриложении№8. Результаты проверочной работы представлены в таблицах

№ 14, 15, 16 и в Рис.11, Рис.12. Для оценивания результатов проверочной рабо-ты были использованы критерии оценки, приведенные в Приложении №9(Таблица 13).

Результаты проверочной работы для каждого ученика приведены в При-ложении №10 в Таблице 14

Таблица 15 - Результаты проверочной работы №2 по каждому заданию

№ за- дания

Количество учащихся верно выполнив- ших данное задание

В процентах

1

13

86,7%

2

6

40%

3

1

6,7%

4

12

80%

5

9

60%

6

8

53,3%

Таблица 16 - Результаты проверочной работы №2 по пятибалльной системе

Оценка

Количество учащихся, по- лучивших данную оценку

В процентах

«отлично»

7

46,7%

«хорошо»

5

33,3%

«удовлетворительно»

1

6,7%

«неудовлетворительно»

2

13,3%

Представим эти результаты на Рис.11, Рис.12.

На Рис.11 представлены результаты проверочной работы по каждой изшести задач (количество верно выполнивших задачу в %)

Рис.11- Результаты проверочной работы по каждой из шести задач

Результаты проверочной работы №2 по пятибалльной системе представлены наРис.12.

Рис.12 - Результаты проверочной работы №2 по пятибалльной системе

Анализ результатов проверочной работы показал, что 50% учащихся на-писали работу на оценки 4 и 5. Удовлетворительно написали 7%, и двое уча-щихся написали неудовлетворительно. Почти все учащиеся из предложенныхзаданий не справились с заданием № 3. Только один человек, полностью верновыполнил это задание. Это задание было выполнено плохо, потому что припроведение занятий не было разобрано подобных заданий. Со всеми остальны-ми заданиями справились успешно больше половины учащихся.

Выводы по второй части опытной проверки.

Проверка усвоения учащимися изученного материала проводилась с по-мощью проверочной работы. Результаты этой работы показали, что изученныйматериал в целом доступен учащимся, большинство учащихся (80%) справи-лась с заданиями на "хорошо" и "отлично". Это объясняется тем, что в школе,где проведены занятия, организовано углубленное изучение информатики, ивсе учащиеся, начиная с сентября, знакомились с элементами логики в этомкурсе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проведения исследования получены следующие результаты.

  1. Проведен анализ литературы по теме исследования, в ходе котороговыявлено следующее: элементы теории множеств и логики, должны присутст-вовать в изучении предметной области «Математика», но не во все учебникивключен этот материал; выявлены психолого-педагогические основы обученияучащихся подросткового возраста, особенности обучения математике и разви-тия логического мышления при обучении математике.
  2. Разработаны программа и тематическое планирование курса по выбору

«Элементы теории множеств и логики».

  1. Разработаны материалы для некоторых занятий: подобраны задачи, со-ставлены конспекты занятий и проверочные работы.
  2. Проведена опытно-экспериментальная проверка результативности не-которых разработанных материалов.Экспериментальная проверка показала, что материал доступен и интересен учащимся.

Все это дает основание считать, что задачи, поставленные в исследовании,полностью решены и его цель достигнута.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Башмаков, М. И. Математика в кармане «Кенгуру». Международныеолимпиады школьников / М.И. Башмаков. – М.: Дрофа, 2011. – 297 с.
  2. Бунимович, Е.А. Математика. Арифметика. Геометрия. 6 класс: учеб.для общеобразоват. организаций. 5-е изд./ Е. А. Бунимович [и др.] - М.: Про-свещение, 2016.-240 с.
  3. Виленкин, Н.Я. Рассказы о множествах/ Н.Я. Виленкин. - 3-е издание. –

М.: МЦНМО, 2005. – 150 с.

  1. Виленкин, Н.Я. Индукция. Комбинаторика: пособие для учителей / Н. Я.Виленкин. - М.: Просвещение,1976. – 47 с.
  2. Волков, Б. С. Психология ранней юности / Б. С. Волков. – М.: ТЦ Сфера,2001. – 96 с.
  3. Воронина, Г. А. Элективные курсы: алгоритмы создания, приме-ры программ/ Г.А. Воронина//Айрис-пресс. -2006. - 3.Дендебер СТР.
  4. Гетманова, А. Д. Логические основы математики: метод. пособие к элек-тивному курсу А.Д. Гетмановой «Логические основы математики» / А.Д. Гет-манова. – М.: Просвещение, 2005. – 176 с.
  5. Гетманова, А.Д. Рабочая программа курса «Логические основы матема-тики»: методическое пособие к элективному курсу А.Д. Гетмановой « Логиче-ские основы математики»/ А.Д. Гетманова. – М.: Дрофа, 2005. – 30 с.
  6. Гжегорчик, А. Популярная логика/А. Гжегорчик.–М.: Найка, 1972.– 112с.
    1. . Глейзер, Г.И. История математики в школе:IX-X кл. пособие для учите-лей/ Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение, 1983. – 351 с.
    2. . Груденов, Я. И. Совершенствование методики работы учителя математи-ки/ Я. И. Груденов. – М.: Просвещение, 1990. – 224 с.
    3. . Гусев, В.А. Психолого – педагогические основы обучения математике/В.А. Гусев. – М.: Вербум – М, 2003.-432 с.

  1. . Данкова, И.Н. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по мате-матике: Общие положения, структура портфолио, программа курсов, сценарийзанятий/ И.Н. Данкова [и др.] - М.: «5 за знания», 2006. – 128 с.
  2. . Златопольский, Д.М. Информатика/ Д. М. Златопольский // Первое сен-тября. – 2014.№ 195(02) . – С. 32-36.
  3. . Калужнин, Л.А.Что такое математическая логика? / Л.А. Калужнин. – М.:Наука, 1964. – 152 с.
  4. . Калужнин, Л.А. Элементы теории множеств и математической логики вшкольном курсе математики/ Л.А. Калужнин. – М.: Просвещение, 1978. – 89 с.
  5. . Киреенко, С.Г.Элементы теории множеств: учебное пособие / С.Г. Кире-енко, Гриншпон И.Э. – Томск, 2003. – 42 с.
  6. . Колмогоров, А.Н. Математика в школе / А.Н. Колмогоров //СССР. – 1968.

- №2 (4-5). – С. 21-23.

  1. . Колягин, Ю.М.Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразовательных органи-заций. 3-е изд. / Ю.М. Колягин [и др.] - М.: Просвещение, 2016.- 335 с.
  2. . Колягин, Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе.Общая методика: учебное пособие для студентов физ.- мат. фак. пед. институ-тов / Ю.М. Колягин [и д.р.] - М.: Просвещение, 1975.-460 с.
  3. . Колягин, Ю.М. Русская школа и математическое образование. - М.: Про-свещение, 2001. – 318 с.
  4. . Константинов, Н.А.Основные вопросы педагогики / Н.А. Константинов

[и др.] – М., 1957. – 90 с.

  1. . Концепция развития математического образования в Российской Федера-ции [Электронный ресурс] // Официальный сайт Министерства образования инауки Российской Федерации. –URL:http://минобрнауки.рф/документы/3894,свободный (дата обращения: 22.10.2016).
  2. . Круги Эйлера [Электронный ресурс] – Режим доступа:http://eileracrugi.narod.ru/index/0-2, свободный.(Дата обращения: 20.10.2016)
  3. . Кузичев, А.С. Диаграммы Венна: история и применение / А.С. Кузичев –

М.: Наука, 1968. – 253 с.

  1. . Кузнецова, Л.В. Математика. Рабочие программы. Предметная линияучебников «Сферы». 5-6 классы; пособие для учителей общеобразовательныхучреждений/ Л.В. Кузнецова [и др.] – М.: Просвещение, 2013. – 25 с.
  2. . Маркушевич, А.И. Об очередных задачах преподавания математики вшколе // В Кн: На путях обновления школьного курса математики / А.И. Мар-кушевич. – М.: Просвещение, 1978. – 429 с.
  3. . Мельников, Г.П. Азбука математической логики / Г. П. Мельникова. – М.:Знание, 1967. – 103 с.
  4. . Мухина, В. С. Возрастная психология: феноменология развития, детство,отрочество/ В. С. Мухина. – М.: Академия, 1999. – 456 с.
  5. . Немов, Р.С. Психология: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений/ Р.С.Немов. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.-608 с.
  6. . Никольская, И. Л. Знакомство с математической логикой / И.Л. Николь-ская. – М.: Московский психолого- социальный институт: Флинта, 1988. – 128 с.
  7. . Никольская И. Л.Учимся рассуждать и доказывать: кн. для учащихся 6 –10 кл. сред. шк./И.Л. Никольская, Е.Е.Семенов – М.: Просвещение, 1989.– 192 с.
  8. . О внесении изменений в федеральный перечень учебников, рекомендо-ванных к использованию при реализации имеющих государственную аккреди-тацию образовательных программ начального общего, основного общего, сред-него общего образования, утвержденный приказом Министерства образованияи науки Российской Федерации от 31.03.2014 г. № 253: приказ МинобрнаукиРоссии от 26.01.2016 г. № 38 [Электронный ресурс] // Официальный сайт Ми-нистерства образования и науки Российской Федерации. –URL:http://минобрнауки.рф/документы/7789,свободный (дата обращения19.10.2016).
  9. . Об утверждении федерального перечня учебников, рекомендуемых к ис-пользованию при реализации имеющих государственную аккредитацию обра-зовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего

образования: приказ от 31.03.2014 г. № 253 [Электронный ресурс] // Официаль-ный сайт Министерства образования и науки Российской Федерации. –URL:http://минобрнауки.рф/новости/4136, свободный.(Дата обращения: 22.10.2016).

  1. . Полякова, М.А. Рабочая программа факультативного курса « За страни-цами учебников математики» для 8 класса / М. А. Полякова – М.: Дрофа, 2013.

– 10 с.

  1. . Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра. 7-9 классы / со-ставитель Т.А. Бурмистрова /М.: « Просвещение», 2010г.Указаны планируемые результаты обучения.
  2. . Программа по математике для средней школы.Математика в школе

/СССР. – 1968. - №2(4-5). – С. 5-20.

  1. . Примерная основная образовательная программа основного общего обра-зования [Электронный ресурс] // Официальный сайт Министерства образованияи науки Российской Федерации. –URL:http://минобрнауки.рф/проекты/фгос-и-пооп, свободный.(Дата обращения: 22.10.2016).
  2. . Психология математических способностей школьников / В.А. Крутецкий;подред.Н. И. Чуприковой. – М.: Институт практической психологии, МОДЭК, 1998. – 416 с.
  3. . Репьев, В.В. Общая методика преподавания математики: учебное пособиедля педагогических институтов/ В.В. Репьев – М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1958. – 223 с.
  4. . Сикорский, К. П. Дополнительные главы по курсу математики: учебноепособие по факультативному курсу для учащихся 7–8 классов. /Сост. К. П. Си-корский. - М.: Просвещение, 1974. – 367 с.
  5. . Синюк, А.И. Круги Эйлера: Отношение между понятиями: пособие дляпреподавателей и студентов вузов по курсу «Логика» / Сост. А.И. Синюк. –Альметьевск: Академия наук социальных технологий и местного самоуправле-ния, Закамское отделение, 2008. – 36 с.
  6. . Смирнова, И. М. Дипломная работа и магистерская диссертация: учебноепособие / И. М. Смирнова. – М.: МПГУ «Прометей», 2005.-120с.

  1. . Смирнова, И. М. Дипломная работа и магистерская диссертация: учебноепособие / И. М. Смирнова. – М.: МПГУ «Прометей», 2015.-168с.
  2. . Смирнова, И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии вусловиях профильной дифференциации: Монография. – М.: Прометей, 1994. –152 с.
  3. . Смирнова, И.М. Педагогика геометрии: Монография. / И.М. Смирнова. –

М.: Прометей, 2004. – 336 с.

  1. . Старова, О.А. Математика. Все для учителя! / О.А. Старова // Издатель-ская группа «Основа». – 2013. – № 3(27). – С. 29-31.
  2. . Тимофеева, И.Л. Вводный курс математики: учебное пособие для студен-тов учреждений высш. пед. проф. образования/ И.Л. Тимофеева, И.Е. Сергеева,Е.В. Лукьянова – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 240 с.
  3. . Тимофеева, И.Л. Математическая логика. Курс лекций: учеб. пособие длястудентов вузов / И.Л. Тимофеева. – 2-е изд., перераб. – М: КДУ, 2007. – 304 с.
  4. . Факультативный курс по математике: учебное пособие для 7-9 классовсред. шк./Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991. — 383с.
  5. . Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию приреализации имеющих государственную аккредитацию образовательных про-грамм начального общего, основного общего, среднего общего образования:приказ от 31.03.2014 г. №253 [Электронный ресурс] // Официальный сайт Ми-нистерства образования и науки Российской Федерации. –URL:http://минобрнауки.рф/новости/4136, свободный.(Дата обращения: 19.10.2016).
  6. . Федеральный государственный образовательный стандарт основного об-щего образования. Приказ от 17 декабря 2010 года № 1897. 41 стр. [Электрон-ный ресурс] // Официальный сайт Министерства образования и науки Россий-ской Федерации. –URL:http://минобрнауки.рф/документы/938, свободный. (Дата обращения: 19.10.2016).
  7. . Фирсов, В.В. Состояние и перспективы факультативных занятий по ма-тематике / В.В. Фирсов, О. А. Боковнев, С.И. Шварцбурд; подред.М.П. Каши- на. – М.: Просвещение, 1977. – 118 с.

  1. . Фридман, Л. М. Психолого - педагогические основы обучения математи-ке в школе: Учителю математики о пед. психологии/ Л. М. Фридман. – М.: Про-свещение, 1983. – 160 с.
  2. . Фундаментальное ядро содержания общего образования: проект / подред. В. В. Козлова, А.М. Кондакова. – М.: Просвещение, 2009. – 48 с. – (Стан-дарты второго поколения).
  3. . Харин, Н.Н. Математическая логика и теория множеств. О соотношенииабстрактного и конкретного / Н.Н. Харин. – М.: Росвузиздат – 1963. – 192 с.
  4. . Ципоркина, И. В. Практическая психология для подростков, или вся,правда, о наркотиках / И. В. Ципоркина, Е. А. Кабанова. – М.: АСТ-Пресс, 2008.

– 288 с.

  1. . Шеврин, Л.Н. Математика: учебник – собеседник для 6 кл. общеобразо-ват. учреждений. – 4-е изд./ Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков, М.В. Вол-ков. – М.: Просвещение, 2001. – 288 с.
  2. . Ященко, И.В. Парадоксы теории множеств / И. В. Ященко. – М.:МЦНМО, 2009. – 40 с.
    1. По материалам статьи Адольфа Френкеля «Жизнь Георга Кантора»[Электронный ресурс], –URL:http://math4school.ru/cantor.html, свободный. (Дата обращения – 15.05.2017).
    2. Понятие множества [Электронный ресурс], –URL:http://studopedia.ru/2_1399_ponyatie-mnozhestva.html, свободный.(Дата обраще- ния – 17.05.2017).
      1. . Чем система отличается от совокупности в математике? [Электронныйресурс], –URL:http://thedifference.ru/chem-sistema-otlichaetsya-ot-sovokupnosti-v-matematike/, свободный.(Дата обращения: 17.05.2017).
      2. .[Электронный ресурс] – URL:http://www.e-reading.mobi/book.php?book=1046958, свободный. (Дата обращения – 21.06.2017).

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Материал для занятия по теме:Конечные и бесконечные множества

При отборе материала для этого занятия использованыкнигиН.Я. Виленкина [3] и Н.Н. Харина [56].

Цель занятия:дать определения понятиям «конечные и бесконечныемножества»; рассмотреть задачи на количественное сравнение множеств.

Дадим определение конечного и бесконечного множества.

Если множество состоит изn элементовa1an, то это множество обозна-чают так: {a1;…;an}, гдеn– произвольное натуральное число. Такое множествоназываютконечным. Пустое множество также считают конечным. Множество,не являющееся конечным, называютбесконечным.

Пример:Множество цифр десятичной системы счисления {0; 1; 2; 3; 4; 5;

6; 7; 8; 9} конечно. Множество натуральных чиселN бесконечно.

При перечислении элементов конечного множества принято указыватьтолько один раз и в произвольном порядке.

Чтобы разобраться, чем отличаются свойства конечных и бесконечныхмножеств. Попробуем поместить в гостиницу, каждый номер из которой занятодним постояльцем, еще одного жильца, да так, чтобы в каждом номере сноважил лишь один человек. Получится ли такое? Нет, потому что, число номеров вгостинице конечно, а если бы в ней было номеров бесконечно...

Занимательная задача на свойства бесконечных множеств

Раздать учащимся задачу, на прочтение (5 минут).

Необыкновенная гостиница.Межзвездные скитальцы решили построитьграндиозное сооружение — гостиницу для всех путешествующих по космосу. Эта гостиница протянулась почти через все галактики.

В гостиницу на съезд приехало бесконечное множество космозоологов ивсе номера оказались занятыми участниками съезда. Для меня места уже нехватило. Директор гостиницы постарался устроить меня в гостинице. После не-которых размышлений он обратился к администратору и сказал:

из № 3 – в № 4 и т.д.

Тут только я оценил необыкновенные свойства гостиницы. Если бы в нейбыло лишь конечное число номеров, то жителю последнего номера пришлосьбы перебраться в межзвездное пространство. А из-за того, что гостиница имелабесконечно много номеров, всем хватило места, и мне удалось вселиться, нелишив места никого.

На другое утро мне предложили переселиться в № 1000001. Просто в гос-тиницу прибыли запоздавшие и надо было разместить еще 1000000 жильцов.

На третий прибыли филателисты, их было бесконечное множество.

Как же их разместят? – подумал я.

Задача оказалась весьма сложной, администратор вышел от директора иприступил к расселению. В первую очередь он приказал переселить жильца из

№ 1 в № 2. А жильца из № 2 переселите в № 4, из № 3 – в № 6, вообще из номе-раn– в номер 2n.

Администратор таким путем освободил бесконечное множество нечетныхномеров и мог расселять в них филателистов. В результате четные номера ока-зались занятыми космозоологами, а нечетные — филателистами. Филателисты,стоявшие в очередиn-ми, занимали номер 2n− 1.

Из рассказа «Необыкновенная гостиница» стало ясно, что свойства ко-нечных и бесконечных множеств сильно отличаются. Вещи, невозможные дляконечных множеств, оказываются возможными для бесконечных.

Разберем вопрос о сравнении друг с другом бесконечных множеств. Дляконечных множеств самой разной природы всегда можно сказать, какое из нихсодержит больше элементов, а какое меньше. Для бесконечных множеств натакой вопрос становится намного сложнее ответить.[3, с. 64]

Выясним, в каких случаях два бесконечных множества имеют «поровну»

элементов.

На танцплощадке.Задача сравнения конечных множеств решается про-сто. Чтобы узнать, одинаково ли число элементов в двух множествах, достаточ-но их пересчитать. Если получается одинаковые числа, то, значит, в обоихмножествах поровну элементов. Для бесконечных множеств такой способ недаст результатов, начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мырискуем посвятить этому всю жизнь, так и не закончив это дело [3, с. 65]. Дляконечных множеств такой способ пересчета не всегда удобен. Приведем при-мер про танцплощадку.

Как узнать поровну ли здесь юношей и девушек? Можно конечно простопопросить отойти девушек в одну сторону, а юношей в другую, и пересчитать.Во-первых, получим избыточную информацию, нас не интересует, сколькоздесь юношей и девушек, а интересно поровну ли их. Во-вторых, не для тогомолодежь собралась, чтобы стоять и ждать пока мы их пересчитаем, а они при-шли танцевать [3, с. 65].

Удовлетворим желание молодежи и попросим включить медленную му-зыку, под которую все умеют танцевать. Тогда юноши пригласят девушек натанец, и наша задача будет решена. Если окажется, что все юноши и все девуш-ки танцуют, то есть все разбились на пары, то ясно, что на площадке поровнуюношей и девушек [3, с. 65].

Совершенно тем же методом можно узнать, что число зрителей в киноте-атре равно числу кресел в нем. Если во время просмотра фильма все места за-няты, то можно быть уверенным, что зрителей ровно столько же, сколько кре-сел в зале кинотеатра [3, с. 66].

Итак, мы выяснили, как узнать, что два конечных множества имеют по-ровну элементов, не прибегая к пересчету множеств. Этот метод можно приме-нить и для бесконечных множеств. Только здесь уже не получится прибегнуть кпомощи музыки, а придется самим располагать элементы двух сравниваемыхмножеств в «танцующие пары» [3, с. 67].

На каждый прилив – по отливу.Пусть даны два множестваАиВ. Ска- жем, что между ними установленовзаимно однозначное соответствие,если элементы этих множеств объединены в пары (a,b) так, что:

  1. Элементaпринадлежит множествуА, а элементb– множествуВ;
  2. Каждый элемент обоих множеств попал в одну и только в одну пару.

Например, если множествоАсостоит из юношей на танцплощадке, амножествоВ– из девушек на той же площадке, то пары (a,b) образуются изтанцующих друг с другом девушки и юноши. Если множествоАсостоит иззрителей, а множествоВ– из кресел в кинотеатре, то пары (a,b) образуется иззрителя и кресла, на котором он сидит.

Анкета №1(после изучения элементов теории множеств)

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

  1. Изучали ли Вы множества ранее? (Если да, то в каком классе?)
  2. Нравится Вам предмет «Математика» и понимаете ли Вы его?
    1. Да, я его понимаюb) Да, но не все понимаю

c) Нет, не люблю математику и не понимаю ееd) Иное

  1. Было ли Вам интересно то, что мы с вами изучали?
    1. Да b) Нетc)  Не всеd) Другой ответ
    1. Изучение каких вопросов Вам понравилось больше?
      1. Понятие множестваb) Круги Эйлераc) Операции над множествами

(объединение, пересечение, разность множеств)

d) Числовые множестваe) Конечные и бесконечные множества

f) Никаких

  1. Понравились ли Вам, как проводились занятия по множествам?
    1. Да b)  Нетc) Не знаю
    1. Хотели бы продолжить занятия и узнать много интересного и нового измира математики?

а) Даb) Нетc) Не знаюd)  Все равноАнкетированием было охвачено 12 учащихся.

Результаты анкетирования №1

Таблица 3.7- Результаты анкетирования №1

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Вопрос

Количество учащих- ся, выбравших ответ (из 12 человек)

В процентах

(с округлением)

1.

Изучали ли Вы множества ранее?

В 8 классе (Информатика)

4

33,3%

Нет

4

33,3%

Не помню

3

25%

В 6 классе

1

8,3%

2.

Нравится ли Вам предмет «Математи-

ка» и понимаете ли Вы его?

Да, нравится и я его понимаю

7

58,3%

Да, нравится, но не все понимаю

3

25%

Нет, не люблю математику и не понимаю

1

8,3%

Не знаю (Иное)

1

8,3%

3.

Было ли Вам интересен материал, кото- рый мы с вами изучали?

Да

7

58,3%

Нет

0

0%

Не все

3

25%

Затрудняюсь ответить

2

16,7%

4.

Изучение каких вопросов Вам понрави- лось больше?

Понятие множества

1

8,3%

Круги Эйлера

6

50%

Операции над множествами

4

33,3%

Числовые множества

2

16,7%

Конечные и бесконечные множества

1

8,3%

Никаких

1

8,3%

5.

Понравились ли Вам, как проводились занятия по теории множеств?

Да

10

83,3%

Нет

0

0%

Не знаю

2

16,7%

6.

Хотели бы продолжить занятия по изу- чению теории множеств?

Да

5

41,7%

Нет

0

0%

Не знаю

6

50%

Все равно

1

8,3%

Проверочная работа №1 и результаты ее проверки

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Проверочная работа№1 (по теме"Элементы теории множеств")

Инструкция:Обведите кружком номер правильного ответа, а где необхо-димо запишите свой.Ответов может быть несколько.

  1. Кто является создателем теории множеств?
  2. Какое свойство называется характеристическим свойством элементов множе-ства?
  3. Дайте определение подмножества данного множества и приведите пример.
  4. Дайте определение объединения и пересечения множеств и проиллюстрируй-те с помощью кругов Эйлера.

5. НайдитеAÇB,AÈB,A/B, еслиA= (-3; 7),B= (1; 8).

6. НайдитеAÇB,AÈB,A/B, еслиA={1; 2; 3; 4; 6; 12},

B={1; 2; 3; 6; 9; 18}.

  1. Напишите переместительный закон для пересечения множеств и сочетатель-ный закон для объединения множеств.
  2. На каких круговых схемах изображена разность множеств (заштрихованноемножество):

  1. b. c. d.
  1. Восстановите на кругах Эйлера

обозначения числовых множеств: N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел.

  1. Вместо многоточия вставьте слова, чтобы получилось определениечислового промежутка:

…= {xÎR|a£x£b}-…;(a;b) = …-интервал;

…= {xÎR|a£x<b}-полуинтервал; (a;b] = {xÎR|a<x£b} - ….

Таблица 4.9 - Результаты проверочной работы №1 для каждого ученика

№ уча- щихся

1

2

3

5

6

7

8

9

10

Всего баллов

Оценка

1.

1

1

1

2

2

0

3

2

1

1

2

16

Хорошо

2.

1

0

2

2

2

2

3

2

1

1

2

18

Отлично

3.

1

1

0

2

2

1

2

2

0

1

2

13

Удовл.

4.

1

1

1

2

2

0

3

2

1

1

2

16

Хорошо

5.

1

1

0

2

2

0

2

0

1

1

1,5

11,5

Удовл.

6.

1

1

0

1

1

0

2

2

1

1

2

12

Удовл.

7.

1

0

1

2

2

1

2

2

1

1

2

15

Хорошо

8.

1

1

0

0

0

0

0

0

1

0

1,5

4,5

Неуд.

9.

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

2

5

Неуд.

10.

1

1

0

2

1

0

2

2

1

1

2

13

Удовл.

11.

1

1

0

2

2

2

2

2

1

1

2

16

Хорошо

12.

1

1

2

2

2

2

3

1

1

1

2

17

Отлично

Критерии оценивания проверочной работы №1

Таблица №5.8 - Критерии оценивания проверочной работы.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

№ за- дания

Балл

Максимальный балл

1.

1 – если задание выполнено верно;

0 – если задание не выполнено или выполнено не верно.

1

2.

1 – если задание выполнено верно;

0 – если задание не выполнено или выполнено не верно.

1

3.

2 – если верно дано определение и приведен пример;

1 – если только приведен пример или только дано определение; 0 –- если задание не выполнено или выполнено не верно.

2

4а.

2 – если верно дано определение и проиллюстрировано на кру- гах Эйлера;

1 – если приведено либо только определение, либо только ил- люстрация на кругах Эйлера;

0 – если задание не выполнено или выполнено не верно.

2

2 – если верно дано определение и проиллюстрировано на кру- гах Эйлера;

1 – если приведено либо только определение, либо только ил- люстрация на кругах Эйлера;

0 – если задание не выполнено или выполнено не верно.

2

5.

3 – выполнено все верно;

2 – если выполнено верно два задания; 1 – если выполнено верно одно задание;

0 – если задание не выполнено или выполнено не верно.

3

6.

3 – выполнено все верно;

2 – если выполнено верно два задания;

1 – если выполнено не все или допущена одна ошибка; 0 – если задание не выполнено или выполнено не верно.

3

7.

2 – оба закона написаны верно;

1 – если написан один из законов или допущена одна ошибка; 0 – если задание не выполнено или выполнено не верно.

2

8.

1 – если задание выполнено верно;

0 – если задание не выполнено или выполнено не верно.

1

9.

1 – если задание выполнено верно;

0 – если задание не выполнено или выполнено не верно.

1

10.

2 – если все четыре задания выполнены верно; 1,5 – если выполнено верно три задания;

1 - если выполнено верно два задания; 0,5 - если выполнено верно одно задание;

0- если задание не выполнено или выполнено не верно.

2

Всего:

20

Итоговая оценка при пятибалльной системе оценивания:18-20 «отлично»;

15-17 «хорошо»;

11-14 «удовлетворительно»;

не более 10 «неудовлетворительно».

Анкета №2. (после изучения элементов логики)1а. Изучали ли вы раньше элементы логики?

а) не помнюb) нетc) да

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

1б. Если да, то, в каком классе?

На каком предмете: а) Математика б) Информатика?

  1. Понравилось ли Вам изучать элементы логики?

a) Даb)  Нетc) Не знаю

  1. Понравились ли Вам проведенные занятия?

a) Даb)  Нетc) Не знаю

  1. Хотели бы Вы продолжить занятия и узнать больше об элементах логики?

a) Даb)  Нетc) Не знаю

  1. Какой из предметов Вам больше нравится: «Математика» или «Информа-

тика»?

  1. Математика.
  2. Информатика.
  3. Оба предмета нравятся одинаково.
  4. Ни один из указанных не нравится.

Результаты анкетирования №2

Таблица 7.12- Результаты анкетирования №2

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

Вопрос

Количество учащих- ся, выбравших ответ (из 12 человек)

В процентах

(с округлением)

1.

Изучали ли Вы множества ранее?

В 8 классе (Информатика)

4

33,3%

Нет

4

33,3%

Не помню

3

25%

В 6 классе

1

8,3%

2.

Нравится ли Вам предмет «Математика»

и понимаете ли Вы его?

Да, нравится и я его понимаю

7

58,3%

Да, нравится, но не все понимаю

3

25%

Нет, не люблю математику и не понимаю

1

8,3%

Не знаю (Иное)

1

8,3%

3.

Было ли Вам интересен материал, который мы с вами изучали?

Да

7

58,3%

Нет

0

0%

Не все

3

25%

Затрудняюсь ответить

2

16,7%

4.

Изучение каких вопросов Вам понрави- лось больше?

Понятие множества

1

8,3%

Круги Эйлера

6

50%

Операции над множествами

4

33,3%

Числовые множества

2

16,7%

Конечные и бесконечные множества

1

8,3%

Никаких

1

8,3%

5.

Понравились ли Вам, как проводились занятия по теории множеств?

Да

10

83,3%

Нет

0

0%

Не знаю

2

16,7%

6.

Хотели бы продолжить занятия по изучению теории множеств?

Да

5

41,7%

Нет

0

0%

Не знаю

6

50%

Все равно

1

8,3%

Проверочная работа №2 (по теме "Элементы логики")

ПРИЛОЖЕНИЕ 8

  1. Кто является основателем логики, и в каком веке она возникла?
  2. Укажите, истинно или ложно высказывание:а) Число 17 нечетное и число 17 простое;

б) Число 17 нечетное или число 17 простое.в)  Если 15 делится на 5, то 15 делится на 3;

г)  Если 121 делится на 11, то 121 делится на 10.

  1. Какие из следующих предложений являются высказываниями; высказыва-тельными формами:

а) 3+7=10;б) 17y>5;в) 1 > 7;

г) «Москва столица России»;д) «Она светло-русая»;

е) «В четырехугольнике противоположные стороны равны».

  1. Определите значения истинности высказыванийA,B иC, если:
    1. B& (2*2=4) – ложное высказывание;
    2. C(2*2=5) – истинное высказывание;
    3. А®(2*2=5) – ложное высказывание.
      1. Перечислите логические операции и запишите их таблицы истинности (наобратной стороне листа).
      2. Составьте таблицы истинности для формул (на обратной стороне листа):а) (¬X®Y) &¬(X˅Y);

б) ¬X®(X˅Y);

в) ((X˅Y)&(Y®Z))®(X®Z).

ПРИЛОЖЕНИЕ 9

Таблица  9.13 - Критерии оценивания проверочной работы №2

№ задания

Балл

Максим. балл

1.

1 – если задание выполнено верно;

0 – если задание не выполнено или выполнено не верно.

1

2.

2 – если все четыре задания выполнены верно; 1,5 – если выполнено верно три задания;

1 - если выполнено верно два задания; 0,5 - если выполнено верно одно задание;

0- если задание не выполнено или все задание выполнено не верно.

2

3.

3 – если все шесть заданий выполнены верно; 2,5 – если выполнено верно пять заданий;

1,5 – если выполнено верно четыре задания; 1 – если выполнено верно три задания;

0,5 – если выполнено верно два задания;

0 – если задание не выполнено или все задание выполнено не верно.

3

4.

2 – если выполнено верно три задания; 1- если выполнено верно два задания;

0,5 – если выполнено верно одно задания;

0 – если задание не выполнено или все задание выполнено не верно.

2

5.

4 – если перечислены все логические операции и приведены верно таблицы истинности к каждой из них;

3 – если приведены верно три логические операции и таблицы ис- тинности к ним;

2 – если приведены верно две логические операции и таблицы ис- тинности к ним;

1 – если приведена верно одна логическая операция и таблица ис- тинности к ней;

0 – если задание не выполнено или все задание выполнено не верно.

4

6.

3 – если все таблицы истинности верно построены; 2 – если две таблицы истинности построены верно; 1 – если одна таблица истинности построена верно;

0 – Если нет ни одной верно построенной таблицы или учащийся не приступал к выполнению данного задания.

3

Всего:

15

Итоговая оценка при пятибалльной системе оценивания:15-13 «отлично»;

12-10 «хорошо»;

9-7 «удовлетворительно»;

не более 6 «неудовлетворительно».

ПРИЛОЖЕНИЕ 10

Таблица №10.14 - Результаты проверочной работы №2 для каждого ученика

№ учащихся

1

2

3

4

5

6

Всего баллов

Оценка

1.

1

2

1,5

2

4

3

13,5

отлично

2.

1

0,5

1,5

2

4

2

11

хорошо

3.

1

1,5

0,5

2

4

2

11

хорошо

4.

1

2

3

2

3

3

14

отлично

5.

1

2

2,5

2

3

1

11,5

хорошо

6.

1

2

2,5

2

4

3

14,5

отлично

7.

1

1,5

2,5

2

4

3

14

отлично

8.

1

1,5

2,5

2

4

3

14

отлично

9.

0

1,5

1,5

0

1

0

4

неудовлетворит.

10.

1

1,5

2,5

2

3

3

13

отлично

11.

1

2

1,5

2

4

3

13,5

отлично

12.

1

0

1,5

0

3

1

6,5

неудовлетворит.

13.

0

1,5

2,5

2

4

1

11

хорошо

14.

1

2

0

2

4

3

12

хорошо