Правила дифференцирования



14   Правила дифференцирования.

Теорема 4.2.Если функцииu(x) иv(x) дифференцируемы в точкех, то их сумма, разность, произведение, частное(при условииv(x) 0) также дифференцируемы в точкех, и справедливы равенства:

  1. [u(x)v(x)]' =u'(x)v'(x).
  2. [u(x)v(x)]' =u'(x)v(x) +u(x)v'(x).
  3. = (v(x) 0)

Доказательство:

Докажем, например формулу 2). Обозначиму =u(x)v(x). Тогдау =u(x+х)v(x+х) -u(x)v(x) = [u(x +х) -u(x)]v(x+х) +u(x)[v(x +х) -v(x)] =uv(x +х) +u(x)v.

Поэтому =v(x +х) +u(x) Отсюда получаем:

прих 0

u'(x)v(x)u(x)v'(x).

=u'(x)v(x) +u(x)v'(x), то естьy' = (uv)' =u'v +uv'. Формула 2) доказана.

Остальные формулы докажите самостоятельно.

Следствие: Еслис =const, то (c(y(x)))' =cy'(x).

Примеры:

1)(tgx)' ====.

Итак, (tgx)' =.

2) (ctgx)' = -- (доказать самостоятельно).

Производная обратной функции.

Теорема 4.3.Пусть функцияy =f(x) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точкиx0, дифференцируема в точкеx0, причём производнаяf'(x0) 0. Тогда в некоторой окрестности точкиу0(гдеу0 =f(x0)) существует обратная функцияx =f -1(y), эта обратная функция дифференцируема в точкеу0, иf -1'(y0)=.

Доказательство:

(рисунок)

Из условий теоремы следует: [a,b]:y =f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на [a,b]. причёмa <x0 <b. Поэтому, согласно теореме 3.5, множеством значенийf(x), рассматриваемой на [a,b], является сегментY = [f(a),f(b)], наY существует обратная функцияx =f -1(y), строго монотонная и непрерывная. При этомy0 (f(a),f(b)). Зададим приращениеy 0 аргументу обратной функции в точкеy0. Обратная функция получит приращениех =f -1(y0 +y) -f -1(y0), причемх 0 в силу строгой монотонности обратной функции. Рассмотрим равенство:

=.(1)

Пустьy 0, тогдах 0 в силу непрерывности обратной функции. Но прих 0 знаменатель в правой части равенства(1)стремится кf'(x0), причем по условиюf'(x0) 0. Поэтому приy 0 предел правой части равен . Следовательно приy 0 существует предел левой части равенства(1), то есть существует производная обратной функции в точкеу0 и она равна :f -1'(y0)=.

Теорема доказана.

Лекция 12

Примеры:

  1. y = sin x, -< x <. sin x f(x), x = arcsin y. arcsinyf-1(y)x (-,) выполнены все условия теоремы 4.3
  2. (arcsiny)' = ===[гдеsin2xy2] =. (arcsinx)' = , -1 <x < 1.

При х +1 (-1): (arcsinx)'. В таком случае говорят, что функция имеет в данной точке бесконечную производную. Геометрически это означает, что график имеет в данной точке вертикальную касательную.

(рисунок)

  1. (arccosx)' = --докажите сами.
  2. y =tgx на -<x <

x = arctg y. x (-,) выполнены все условия теоремы 4.3

(arctg y)' = = cos2 x ==; (arctg x)' =.

  1. (arcctgx)' = -- докажите сами.




Похожие работы, которые могут быть Вам интерестны.

1. Правила наложения стерильных повязок

2. Правила разрезки каменной кладки

3. Приемы и правила стрельбы из пистолета

4. Библиографические ссылки и правила их оформления

5. Два основных правила комбинаторной теории

6. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СХЕМ ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ

7. Сущность и общие правила проведения допроса

8. Международные правила толкования торговых терминов

9. ОБЩИЕ ПРАВИЛА И КУЛЬТУРА ОФОРМЛЕНИЯ ДОКУМЕНТОВ

10. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ТРЕБОВАНИЯ И ПРАВИЛА ПРОГРАММИРОВАНИЯ