МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССА



МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ КУРСА ПО ВЫБОРУ «ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССА

Оглавление

Введение 3

Глава I. Теоретические основы изучения площадей многоугольников 7

Особенности проведения курсов по выбору 7

в основной школе в 9 классе 7

Анализ темы «Площадь» в учебниках геометрии 7-9 13

Вычисление площадей в древности 16

Различные подходы к изучению понятий «площадь», «многоугольник»,

«площадь многоугольника» 19

Понятие о площади. Свойства площади 19

Понятие о многоугольнике 21

Понятие о площади многоугольника 21

Выводы по I главе 22

Глава II. Методические особенности повторения темы «Площадимногоугольников» в 9 классе    23

.Тематическое планирование темы и особенности её изучения 23

Методика проведения занятий 26

Результаты опытно-экспериментальной работы 65

Выводы по II главе 73

Заключение 74

Список литературы 75

Приложения 79

Введение

Современная школа ориентирована на гуманизацию образования, усиление внимания к ученику, к его саморазвитию. Всё большее внимание уделяется развивающему обучению, где математика занимает одну из ведущих позиций, особенно геометрический материал позволяет обеспечить более гармоничную мыслительную деятельность школьников, что особенно важно на начальном этапе обучения математике. Поэтому многие отечественные ученые (А.Д.Александров, Г.Д. Глейзер, В.М. Тихомиров, И.Ф. Шарыгин и др.) стремились создать свои оригинальные концепции обучения геометрии в школе, которые учитывают не только специфику предмета и метода геометрии, но и содержат огромный развивающий эффект.

Исторически возникновение геометрии связано  с  потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Отцом науки-геометрии легенда считает Фалеса — ионийского купца, путешественника и философа. Фалеса причисляют к числу семи мудрецов древности, ему приписывают изречение «Познай самого себя», которое было высечено в храме Аполлона в Дельфах. Считается, что Фалес первым, анализируя геометрические истины, задался вопросом: почему? Затем наступила эра Пифагора, который превратил занятия геометрией в настоящую науку, рассматривая ее основы с высшей точки зрения и исследуя ее теории менее материальным и более умственным образом. А спустя два века греческие философы задумались над тем, как должна строиться научная теория. Итоги их размышлений были подытожены Аристотелем. Подведение итогов развития геометрии за четыре столетия и ее дедуктивное построение было осуществлено Евклидом. «Начала» Евклида считают одной из самых значительных книг в истории человечества.

Поиском новых моделей обучения геометрии в последнее время занимались  многие  исследователи,  такие  как  В.А.  Гусев,  Г.А.     Клековкин,

В.А. Панчишина, Н.С. Подходова, И.М. Смирнова и В.А. Смирнов, Т.Г.  Ходот,

И.Ф. Шарыгин и др., в результате чего появились новые систематические и пропедевтические курсы геометрии.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. И именно в геометрии заложены потенциальные возможности воспитывать интеллектуальные качества личности. Но чтобы реализовать эти возможности необходимо знать различные методические подходы  в  изучении  элементов  геометрии.  Этими  вопросами занимались Б.П. Белоцерковский, В.Г. Болтянский, В.А. Гусев, В.А. Жаров, Ю.М. Колягин, Ф.Ф. Нагибин, А.Д. Семушин, З.А. Скопец, Д. Пойа и др., в работах которых отражены проблемы обучения учащихся элементам геометрии и решению геометрических задач, формированию рациональных приемов учебной работы. Также отдельные вопросы методики затронуты в диссертационных исследованиях     Э.Г.     Готмана,     Г.Б.     Кузнецовой,     М.С.  Мацкиной, Л.М. Ноздрачевой,    Е.В.     Потоскуева,     Ю.А.     Розки,     Г.И. Саранцева, Е.Е. Овчинниковой и др.

Тема «Площади многоугольников» является частью школьного курса геометрии. Образовательные возможности темы «Площадь» в средней школе используются далеко не полностью, хотя она является базовой, фундаментальной и изучается на протяжении всего курса математики, начиная с начальных и заканчивая старшими классами.

В процессе обучения математике важное место отводится организации повторения изученного материала. Повторение тем содействует интенсивному протеканию процесса запоминания и предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, вырабатывание гибкости, подвижности ума, развитие их математических способностей, ориентацию на профессии,  существенным  образом  связанных  с  математикой,  подготовку  к

дальнейшему обучению. Однако на повторение темы отводится недостаточно времени.

Теоретическое обоснование вычисления площадей геометрических фигур и применение площади в качестве инструмента для решения задач в современной  методической   литературе   исследовано   достаточно   полно. Э.Г. Готман, И.А. Кушнир, Н.Д. Новиков, В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин рассматривают в своих работах методы вычисления площадей, однако в школе из-за недостаточного времени этим аспектам не уделяется должного внимания. И несмотря на достаточно серьезные исследования в области методики обучения математике усвоение школьниками темы «Площадь» вызывает определенные трудности. Об этом свидетельствуют опыт работы учителей и результаты экзаменов. Тем более, что в 9 классе у учащихся обязательный основной государственный экзамен, на котором ученики должны показать, что умеют выполнять действия с геометрическими фигурами. И каждый из них желает показать хороший результат для продолжения обучения или поступления в новое образовательное учреждение.

Всё вышесказанное говорит обактуальностипроблемы исследования.

Проблемаисследования состоит в разработке курса по выбору по теме

«Площади многоугольников».

Объектомисследования является процесс обучения математике в основной школе.

Предметомисследования является методика проведения курса по выбору

«Площади многоугольников» в 9 классах.

Цельюисследования является разработка содержания и методики проведения занятий курса по выбору «Площади многоугольников» в 9 классах общеобразовательной школы.

Гипотезаисследования заключается в том, что разработанный курс способствует повышению уровня математической культуры, а также воспитания  и  развития  учащихся,  оказывает  существенное  воздействие на

повышение качества их знаний по предмету.

Реализация поставленной цели исследования  потребовала решения ряда конкретныхзадач:

  1. На основе анализа психолого-педагогической и методической литературы выявить особенности проведения курсов по выбору в основной школе.
  2. Разработать содержание и методику проведения курса по выбору

«Площади многоугольников» для 9 класса.

  1. Провести опытно-экспериментальную проверку разработанного курса, дать необходимые методические рекомендации.

Решение поставленных задач осуществлялось методами исследования: анализ психолого-педагогической, методической и  математической литературы, школьных программ; наблюдение; анализ самостоятельных и контрольных работ обучающихся.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

ГлаваI. Теоретические основы изучения площадей многоугольников

Особенности проведения курсов по выбору в основной школе в 9 классе

Не мыслям надобно учить, а учить мыслить.

Э. КантЛ.С. Выготский считал, что любой педагог должен строить свою работу с опорой на психологическую науку. Таким образом он доказал связь психологии с  педагогикой  [13].  Также  проблемами  возрастной  психологии    занимались

А.Н. Леонтьев  [29], В.А. Крутецкий [24, 25] и др.

Рассмотрим возрастные особенности учащихся основной школы. Девятиклассники находятся на переходном периоде от подросткового  к раннему юношескому возрасту. Это один из самых сложных периодов в жизни ребёнка, это пик «подросткового кризиса». Особенность девятого класса, самого старшего из подростковых, заключается в переходности, в пересечении специфических возрастных черт – подростковых и юношеских.

Претендующие на роль взрослого человека подростки не терпят отношения к себе как к детям, они хотят полного равноправия со взрослыми.

С другой стороны, потребность быть взрослым постепенно заменяется необходимостью быть им: многие девятиклассники уже всерьез  задумываются о своем профессиональном и личностном будущем.

Девятиклассники все чаще обращают взгляд на собственный внутренний мир и соотносят его с миром внешним: «Кто я? Какой я? Каково мое место среди других».

Стремление подростка углубленно понять себя, разобраться в своих чувствах, настроениях, мнениях, отношениях, что побуждает интерес к психологическим переживаниям других людей и к своим собственным. Это порождает у подростка стремление к самоутверждению, самовыражению (проявлению себя в тех качествах, которые он считает наиболее ценными) и самовоспитанию.

Подростки критично относятся к отрицательным чертам  своего характера, переживают из-за тех черт, которые мешают им в дружбе и взаимоотношениях с другими людьми.

Межличностное общение девятиклассников может осложняться и другими проблемами, если класс находится на низкой ступени коллективного развития: старшие подростки в этом случае бывают более нетерпимы и даже агрессивны по отношению друг к другу, чем школьники других возрастов. Этому может способствовать тревожность по поводу предстоящих жизненных перемен и волнующих ребят вопросов: кого возьмут или не возьмут в старшие классы; что ждет тех, кто уйдет из школы? Но эти настроения могут не только разъединять, но и объединять ребят, если в классе создана атмосфера общей заботы и поддержки.

Поэтому значимой деятельностью для старших подростков нередко становятся вполне конкретные практические занятия, меняющие статус увлечения на более серьезный. К таким как раз можно отнести курсы по выбору для подготовки к экзамену. Окончание девятого класса – это не только завершение этапа общего образования, не только первые серьезные экзамены и получение первого официального документа об образовании. Это прощание с детством и отрочеством, для многих – прощание со своим классом и грядущая первая серьезная встреча со взрослой жизнью.

Курсы по выбору – учебные курсы, не обязательные для посещения, способствующие самоопределению обучающихся.

Курсы по выбору должны носить краткосрочный характер. Оптимальная продолжительность элективного курса в предпрофильной подготовке 8-12 часов. Максимальная продолжительность курса - 34 часа, по 2 часа в неделю. И это понятно, ведь ученики девятых классов находятся на пороге выбора направления дальнейшего обучения, и поэтому они должны иметь возможность попробовать свои силы на разных курсах.

Курсы  по  выбору  в  предпрофильной  подготовке  подразделяются     на

предметно-ориентированные (пробные) и межпредметные (ориентационные).

Предметно-ориентированные курсы решают следующие задачи:

Задачи межпредметных курсов:

В настоящее время не существует единой классификации элективных предпрофильных курсов. Однако большинство авторов выделяет три основных типа элективных курсов:предметные,межпредметныеиориентационные. Предметные элективные курсы построены на учебном материале одного учебного предмета, межпредметные – на учебном содержании 2–3 предметов, ориентационные призваны сориентировать ученика в мире профессий, помочь ему ответить на вопросы: «Какой я? Что я хочу? Что я могу?».

Курсы решают также ряд специфических образовательных задач:

В процессе изучения данных курсов учащиеся 9 классов должны иметь возможность:

Курсы  по  выборудолжны  быть  направлены  на  решение  следующих

задач:

Курсы по выбору предоставляют дополнительные возможности для развития способностей учащихся и их интересов, в том числе удачной сдачи экзамена.

История введения факультативных и элективных курсов в образование

Существенным звеном в непрерывном обновлении содержания и методов обучения в школе является факультативное изучение некоторых предметов по выбору учащихся. Первые зачатки этого сравнительно нового явления появились после опубликования закона «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР», от 24 декабря 1958 г. Дальнейшее развитие этот вид организации учебного процесса получил после опубликования Постановления ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 10 ноября 1966 г, «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы», где сказано: «Для углубления знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, а также развития много сторонних интересов и способностей учащихся проводить в школах, начиная сVII класса, факультативные занятия по выбору учащихся» (Фирсов В.В., Боковнев О.А., Шварцбурд С.И. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике /Под ред. М.П. Кашина. – М.: Просвещение, 1977. – С.4). [38]

Министерство просвещения СССР и министерства союзных республик в конце 60-х годов уделяли много внимания этому виду работы школы. Была разработана и утверждена коллегией Министерства просвещения СССР инструкция по факультативным занятиям, на основе которой союзные республики выработали свои инструкции. В министерствах были составлены примерные тематики этих занятий и разработаны программы для целого ряда курсов. По некоторым курсам подготовлены учебники и учебные пособия, В институтах усовершенствования учителей развернулась работа по оказанию помощи учителям, преподающим факультативы.

В НИИ содержания и методов обучения АПН СССР был создан научно- методический совет по проблемам углубленного изучения предметов. Совет организовал     всесоюзные     конференции,     на     которых     ученые-педагоги

докладывали о своих экспериментах и обобщениях, а учителя-практики поделились своим опытом по преподаванию факультативов.

Из ученых, более длительно занимающихся изучением проблемы факультативных занятий следует отметить М.А.Мельникова. Его интересовал первоначально проблема дифференциации учебного процесса в связи с производственным обучением.

Сессия общего собрания АПН СССР в 1975 г. всесторонне обсудила доклад М.П.Кашина об итогах перехода советской школы на новое содержание обучения и дала высокую оценку значению факультативных занятий, обратив при этом внимание на серьезные недостатки в их развитии.

В 1967-68 году в учебные планы общеобразовательных школ были включены факультативные занятия.

Широкого распространения «альтернативные занятия» не получили. Видимо, поэтому в современной научно-методической литературе элективные курсы чаще сопоставляют с факультативами, которые начиная с 1966 г. были организованы практически во всех школах страны.

Второй этап в становлении факультативных занятий начался в 1980  году и был связан с переходом средней школы на новую программу по математике.

Третий этап начался с проведения съезда работников народного образования, который проходил в Москве в декабре 1988 года. Реформой предусматривалось дальнейшее развитие всех форм дифференциации, в том числе и факультативов, основной целью которой является возможность углубленного изучения отдельного предмета, в том числе и математики.

В 1990 году была опубликована новая программа  факультативных курсов. (Программы средней общеобразовательной школы. Факультативные курсы. Сборник №2. Часть 1(математика, биология, химия). – М.: Просвещение). Основной целью программы является углубление знаний по основному курсу, получаемых на уроках.

В 2002 году была принята общая Концепция модернизации    российского

образования. Разработкой ее основных положений занимались видные  ученые:

Д.В. Аносов, В.И. Арнольд, Я.И. Кузьминов, В.Л. Матросов, Н.Д. Никандров, В.Д. Шадриков и др.

Анализ темы «Площадь» в учебниках геометрии 7-9

Рассмотрев следующие темы в двух учебниках Л. С. Атанасяна [4] и др. и И.М. Смирновой, В.А. Смирнова.[39], мы сделали сравнительный анализ.

  1. Параллелограмм. Площадь параллелограмма
  2. Треугольники. Площадь треугольников
  3. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Площадь прямоугольника.Площадь квадрата.
  4. Трапеция. Площадь трапеции.

Сравнительный анализ учебников

Таблица 1

Темы

Учебник Л.С. Атанасяна и др.

Учебник И.М.Смирновой и В.А. Смирнова

Прямоугольник, ромб, квадрат

Фигуры изучаются в одном параграфе в 8 классе  в обоих учебниках.

Площадь ромба в учебниках рассматривается только в виде задач.

Тема: «Площадь

квадрата» излагается раньше, чем «Площадь прямоугольника».

О задачном материале:

Больше   оснащен задачами, подготавливающими к ОГЭ учеников, например, задачи на практическое применение о полу с паркетами и кафельными плитками.

Площадь рассматривается частный случай прямоугольника.

как площади

Параллелограмм

В обоих учебниках тема: «Параллелограмм» изучается в 8 классе. А площадь параллелограмма проходят учащиеся после площади прямоугольника.

С

темой

«Площадь

Площадь

параллелограмма» учащиеся ознакомятся в 8 классе.

О задачномматериале:

В одной из представленных задач в пособии Атанасяна и др., а именно:  Диагональ параллелограмма равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь

параллелограмма. – главное понимание, что в данном случае диагональ является высотой, поможет при подготовке к ОГЭ.

параллелограмма излагается в 9 классе. На одну формулу вычисления  площади больше, чем в учебнике Атанасяна и  др.представлены формулы: через основание и высоту, через две стороны и угол.

О задачномматериале:

Задачи подобные задачам в ОГЭ тоже присутствуют.

Треугольники

В  учебнике треугольники изучаются в 7 классе очень подробно, а площади треугольников изучаются в 8 классе после площади параллелограмма.

Там даны формулы через основание и высоту и, как следствие, формула площади прямоугольного треугольника. Также излагается теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся   как

произведения сторон,

заключающих равные углы.

Тема «Треугольники» изучается в 7 классе, а площадь треугольника – в 9 классе. В этом учебнике также представлена формула площади через основание и высоту,  но даны ещё и  другие формулы:

  • через две стороны и угол;
  • формула Герона.

О задачномматериале:

Задачный материал лучше оснащен задачами, помогающими при подготовке к экзамену.

Например, в учебнике есть задача:

Какую часть площади

О задачномматериале:

Начиная с первой задачи можно сказать, что она похожа на один из вариантов задач на ОГЭ, а именно: Известны сторона и высота, найти площадь. В ОГЭ такие задачи обычно выражают в виде картинке, на которой изображен треугольник на клетчатой бумаге.

Второй тип задач, который есть  в этом учебнике и в ОГЭ – это найти   площадь прямоугольного треугольника, если известны катеты.

данного треугольника составляет  площадь треугольника, отсекаемого его средней линией? Если разобрать данную задачу, то на подобный номер на экзамене у школьников не займет много времени на его решение.

Также задача в учебнике дана в виде: Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 3см и 7 см, а угол между ними  равен 30°.В ОГЭ подобная задача звучит так: Площадь прямоугольного

треугольника  равна     . Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла. То есть это обратная задача.

В учебнике

присутствует ещё такая задача: вычислите площадь треугольника по трем сторонам.Подобный тип задач тоже встречается в ОГЭ.

Трапеция

Трапеция рассматривается в обоих учебниках в 8 классе.

В обоих учебниках представлена формула вычисления площади трапеции через основания  и высоту.О задачном материале:

В учебниках представлены задачи, которые могут помочь школьникам при решении задач на ОГЭ, если в условии известно что-то об углах.

Площадь рассматривается в 8 классе.

Площадь трапеции изучается в 9 классе.

В качестве следствия

выделена также формула через среднюю линию трапеции и высоту.

Вычисление площадей в древности

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Еще в 4 – 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, или можно заполнить плоскость без пробелов. [15]

В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Обе эти стороны должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах. Их произведение и составит площадь прямоугольника, выраженную в соответствующих квадратных единицах. Скажем, если высота и ширина стены измерены в дециметрах, то произведение обоих измерений будет выражено в квадратных дециметрах. И если площадь каждой облицовочной Плотки составляет квадратный дециметр, то полученное произведение укажет число плиток, нужное для облицовки. Это вытекает из утверждения, положенного в основу измерения площадей: площадь фигуры, составленной из непересекающихся фигур, равна сумме их площадей.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам, и умножалась на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на

высоту  и  т.п.  Для  вычисления  площадиSчетырехугольника  со сторонами

a,b,c,d

(рис. 1.1) применялась формула

S=a+cb+d

2 2

(1.1)

т.е. умножались полусуммы противоположных сторон.

Рис. 1.1

Эта формула явно неверна для любого четырехугольника, из  нее вытекает, в частности, что площади всех ромбов одинаковы. Между тем, очевидно, что у таких ромбов площади зависят от величины углов при вершинах. Данная формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь четырехугольников, у которых углы близки к прямым.

Для  определения  площадиSравнобедренного  треугольникаABC(рис.

1.2), в котором

AB=AC, египтяне пользовались приближенной формулой:

S=BC×AB

2

(1.2)

Рис. 1.2

Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между сторонойABи высотойADтреугольника,  иными  словами,  чем ближе вершинаBC)  к  основаниюDвысоты  изA.  Вот  почему приближенная

формула (1.2) применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине.

Но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников. В своих «Началах» Евклид не употребляет слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой.

Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Так, треугольник разбивается на такие части, из которых затем можно составить равновеликий ему прямоугольник. Из этого построения следует, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Прибегая к подобной перекройке, находят, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площадь трапеции –  произведению полусуммы оснований на высоту.

Когда каменщикам приходится облицовывать стену сложной конфигурации, они могут определить площадь стены, подсчитав число пошедших на облицовку плиток. Некоторые плитки, естественно, придется обкалывать, чтобы края облицовки совпали с кромкой стены. Число всех пошедших в работу плиток оценивает площадь стены с избытком, число необломанных плиток – с недостатком. С уменьшением размеров клеток количество отходов уменьшается, и площадь стены, определяемая через число плиток, вычисляется все точнее.

Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он  был

назван также «Герон Механик». В своем произведении «Диоптрика» Герон описывает разные машины и практические измерительные инструменты.

Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. О нахождении площади треугольника по его сторонам Герон пишет: « Пусть, например, одна сторона треугольника имеет в длину 13 мерных шнуров, вторая 14 и третья 15. Чтобы найти площадь, поступают вот как. Сложи 13, 14 и 15; получится 42. Половина этого будет 21. Вычти из этого три стороны одну за другой; сперва вычти 13 – останется 8, затем 14 – останется 7 и, наконец, 15 – останется 6. А теперь перемножь их: 21раз по 8 даст 168, возьми это 7 раз – получится 1176, а это еще 6 раз – получится 7056. Отсюда квадратный корень будет 84. Вот сколько мерных шнуров будет в площади треугольника».

В своем наиболее важном геометрическом произведении «Метрика» Герон излагает доказательство примененной выше формулы:

S=,

где

a,b,c

Эта формула носит название «формулы Герона». На самом деле она была установлена еще в 3 в. до н. э. величайшим математиком  древности Архимедом.

Практические правила Герона для вычисления площадей применялись греческими, римскими и средневековыми землемерами и техниками.

Различные подходы к изучению понятий «площадь»,

«многоугольник», «площадь многоугольника»

Понятие о площади. Свойства площади

Обычно говорят, что площадь

S(F)

фигурыFесть число,

показывающее, из скольких единиц площади составляется фигура. Однако это не определение, а только описание того, что такое площадь.

Строгое математическое определение площади можно получить с помощью палетки – прозрачной пластинки с нанесенной на нее сеткой из равных квадратов. Представим, что такая палетка лежит на плоскости. Иначе говоря, плоскость разбита на квадраты со стороной, равной 1. Если фигураFполностью  помещается   в  фигуре,  составленной,  например,  из81     квадрата

палетки, и содержит фигуру из 43 квадратов, то

43£S(F)£81. [23]

Для большей точности измерения можно каждый квадрат палетки разбить на сто квадратов и далее.

Способ измерения площадей с помощью палеток был предложен вXIX веке французским математиком Камилем Жорданом. Другой французский математик – Анри Лебег предложил более общее определение площади. Построенная выше фигураFнеквадрируема по Жордану, но имеет площадь

1

(равную

), по определению Лебега, или, как говорят, измерима по Лебегу.

2

Если же фигура квадрируема по Жордану, то она обязательно измерима и по Лебегу (и имеет ту же площадь).

Также имеется и второе определение площади – аксиоматическое определение: площадь – функция на множестве квадрируемых фигурQ, удовлетворяющая данным аксиомам:

А. Неотрицательность. Площадь любой квадрируемой фигурыF

неотрицательна:

S(F)³0. Не исключается нулевое значение площади,

поскольку, например, любой отрезок представляет собой квадрируемую фигуру нулевой площади.

В. Аддитивность. ПустьF1иF2– две квадрируемые фигуры, у которых нет  общих  внутренних  точек.  Обозначим  черезFобъединение  этих  фигур.

Тогда фигураFквадрируема и справедливо равенство

S(F)=S(F1)+S(F2).

То же имеет место при объединении не двух, а большего числа фигур, попарно не имеющих общих внутренних точек.

С. Инвариантность. Если две квадрируемые фигурыF1иF2равны, т. е. одна  получается  из  другой  с  помощью  движения,  то  площади  таких фигур

равны:

S(F1)=S(F2). Иначе говоря, площадь не изменяется при движениях.

D. Нормируемость. При определении площади фигуры задаётся некоторая  единица  площади  –  квадратК,  сторона  которого  равна   единице

длины:

S(К)=1.

Понятие о многоугольнике

Термин «многоугольник» понимается в математике и, в частности, в школьном курсе математики двояко. Во-первых, многоугольник как линия. В этом случае многоугольник – это простая (т. е. без самопересечения) замкнутая ломаная, лежащая в некоторой плоскости. И, во-вторых, многоугольник, как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломанной.

Понятие о площади многоугольника

В вопросе о площади многоугольник понимается как часть плоскости, ограниченная    простой    замкнутой    ломаной.    В    этом    смысле     понятие

«многоугольник» используется в дальнейшем в изложении школьного курса математики, а площадь многоугольника определяется с помощью указания её свойств:

  1. численное значение площади любого многоугольника всегда положительно;
  2. площади равных многоугольников, т. е. многоугольников, которые можно совместить с помощью движения, одинаковы;

  1. площадь многоугольника, полученного объединением двух многоугольников, не имеющих общих внутренних точек, будем называть не перекрывающимися);
  2. площадь квадрата со стороной единичной длины равна единице.

В различных учебниках по геометрии для общеобразовательных учреждений определения площади несколько отличаются друг от друга, но суть определений совпадает с указанным выше. Например, в учебнике Л.С. Атанасяна и др. площадь многоугольника определяется величиной той части плоскости, которую занимает многоугольник. А точное определение из учебника И.М. Смирновой и В.А. Смирнова говорит, что «площадь фигуры – это число, получающееся в результате измерения и показывающее, сколько раз единичный квадрат и его части укладываются в данной фигуре».

Можно рассмотреть различные формулы площадей многоугольников (см. приложение 1).

Выводы поI главе

В данной главе мы рассмотрели особенности проведения курсов по выбору, выделили их задачи. Коснулись исторических аспектов проведения факультативных и элективных курсов в образовании. Сделали сравнительный анализ учебников по выбранной теме, указали различные подходы к изучению понятий «площадь», «многоугольник», «площадь многоугольника».

ГлаваII. Методические особенности повторения темы

«Площади  многоугольников» в 9 классе

.Тематическое планирование темы и особенности её изучения

Таблица 2 Тематическое планирование курса по выбору «Площади многоугольников»

Содержание изучаемого материала

Кол-во часов

Площади многоугольников.

23

1

Вычисление площадей в древности.

1

2

Различные подходы к изучению понятий «площадь»,

«многоугольник», «площадь многоугольника».

Понятие о площади. Свойства площади.

1

Понятие о многоугольнике.

1

Понятие о площади многоугольника.

1

Различные формулы площадей многоугольников.

1

Площадь треугольника.

3

Определение и виды треугольников.

Формула площади треугольника.

Формула Герона.

Площадь параллелограмма.

2

Определение, свойства и признаки параллелограмма.

Формула площади параллелограмма.

Площадь ромба.

2

Определение, свойства и признаки ромба.

Формула площади ромба.

Площадь квадрата и прямоугольника.

3

Определение и свойства квадрата. Формула площади квадрата.

Определение и свойства прямоугольника. Формула площади прямоугольника.

Площадь трапеции.

4

Определение и виды трапеции.

Формула площади трапеции.

Подведение итогов.

2

Итоговая работа и разбор ошибок, полученных при ее написании.

2

Одним из важнейших вопросов, способствующих дальнейшему повышению успеваемости, достижению глубоких и прочных знаний у учеников, а также подготовка к экзамену является вопрос о повторении ранее пройденного материала.

Современные исследователи показали значительную роль  при повторении изученного материала таких дидактических приёмов,  как сравнение, классификация, анализ, обобщение, содействующее интенсивному протеканию процесса запоминания. При этом вырабатывается у учащихся гибкость, подвижность ума, обобщённость знаний.[2]

Необходимость повторения изученного ранее материала вызвано самой структурой программы учебного курса математики. Вот, например, учащиеся проходят по учебной программе тему: «Четырёхугольники», «Площадь» в 8 классе, а при подготовке к ОГЭ необходимо вспомнить изученную тему, для сдачи экзамена.

Правильно организованное повторение помогает ученику увидеть в старом нечто новое; помогает установить логические связи между вновь изучаемым материалом и ранее изученным; обогащает память ученика; расширяет его кругозор; приводит знания ученика в систему; дисциплинирует ученика; приучает в нем уменье находить необходимого для ответа на поставленный вопрос материал; воспитывает в ученике чувство ответственности.

Большую и серьезную ошибку допускает тот учитель, который побуждает ученика повторять материал в том порядке, в котором он изучался. Повторение в этом случае сводится и механическому воспроизведению в памяти пройденного материала.

Ушинский воспитывал против механического повторения. "Нет никакой надобности повторять выученное в том порядке, в каком оно было пройдено, а напротив, ещё полезнее повторения случайные, сводящие выученное в новые комбинации", — говорил он. [40]

Поэтому курсы по выбору по теме «Площади многоугольников» можно проводить и в 9 классе, а учитывая, что у учеников экзамен, то повторить им эту тему будет полезно.

Рассмотрим следующие виды повторения: Повторение в начале учебного года.

  1. Текущее повторение всего, ранее пройденного:

а) повторение пройденного в связи с изучением нового материала (сопутствующие повторению);

б) повторение пройденного вне связи с новым материалом.

  1. Tематичеcкoе повторение (обобщающее и систематизирующее повторение законченных тем и разделов программы).
  2. Заключительное повторение (организуемое при окончании прохождения большого раздела программы или в конце учебного года).

Данный курс по выбору рассчитан на тематическое повторение с включением задач из банка заданий ОГЭ.

При повторении необходимо применять различные приемы и методы, сделать повторение интересным путём внесения, как в повторяемый материал, так и в методы изучения некоторых элементов новизны. Только разнообразие методов повторения может устранить то противоречие, которое возникает ввиду отсутствия желания у части учащихся повторять то, что ими усвоено однажды.

При тематическом повторении систематизируются знания учащихся по теме на завершающем этапе его прохождения или после некоторого перерыва.

Повторение на уроке проводится путем беседы с вовлечением учащихся. После этого учащиеся решают задачи, дискутируя друг с другом, также может быть в дальнейшем проведена самостоятельная работа, а при окончании курса – контрольная работа.

Контрольная работа по теме должна включать основные вопросы. После выполнения контрольной работы проводится разбор характерных ошибок и их устранение.

При тематическом повторении полезно составить вопросник, а затем логический план по теме и завершить работу составлением итоговых схем. Таблица или схема экономно и наглядно показывает общее для понятий, входящих в данную тему, их взаимосвязь в логической последовательности.

Курс будет основываться на подготовку учащихся к сдаче Основного Государственно Экзамена, в котором необходимо повторить с учащимися свойства фигур, свойства площадей и разобрать необходимые задачи, входящие в работу.

Курс по выбору разбивается на несколько этапов:

«Треугольники» и «Четырехугольники».

Методика проведения занятий

Представленные уроки запланированы на несколько занятий, и количество задач учитывается усвоением их учащимися. Задачи предлагаются по одному типу из вариантов ОГЭ, взятых с сайтаhttp://www.fipi.ru/.[40]

Весь теоретический материал представлен из учебников:

  1. Атанасян Л.С. и др.Геометрия учебник для 7 – 9 классов [4]

  1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия учебник 7 – 9 классы [39]

Занят ие 1.

Тема: Треугольники. Площадь т реугольников.

Цель урока:

Обучающие:повторить, обобщить и систематизировать полученные знания по темам: «Треугольники», «Площадь треугольника», повторить формулы нахождения площади треугольника.

Воспитательные:воспитание внимательности, интереса к предмету.Развивающие: развить у учащихся логическое мышление,

сообразительность, внимание и культуру математической речи.

Ход занятия

  1. Организационный этап.

Приветствие. Ознакомление с целями курса (подготовка к ОГЭ по теме

«Площади многоугольников»: повторение свойств фигур и формул вычисления их площади).

  1. Этап повторения.

Для начала повторение определения треугольника, его видов, свойств.

Определение:Треугольник – это многоугольник с тремя углами.

Разбор теории по заданию: Выбрать верное утверждение из ОГЭ.

  1. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.

Утверждениевернопотеореме о сумме углов треугольника.

  1. Против равных сторон треугольника лежат равные углы.

Утверждениеверно(по свойствуравнобедренного иравностороннего треугольников).

  1. Всякий равносторонний треугольник является остроугольным.

Утверждениеверно, так как из теоремы о сумме углов треугольника следует, что каждый угол равностороннего треугольника равен 180°:3 = 60°.

  1. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Так как тупой угол - это угол больше 90°, то это утверждение неверно, потому  что,  если  бы  это  было  возможно,  то  сумма  углов   тупоугольного

треугольника будет больше 270°. А это неверно потеореме о сумме угловтреугольника.Утверждениеневерно .

  1. Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный.

Данное утверждениеневерно, так как оно не соответствует определению остроугольного треугольника (треугольник, в котором все углы острые).

  1. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

Утверждение вернопотеореме о соотношении углов и сторон.

  1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

По теореме о сумме углов треугольника знаем, что сумма всех углов треугольника равна 180°. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90°, следовательно, сумма двух оставшихся углов равна 180°-90°=90°.Значит утверждениеверно.

  1. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

Утверждениеневерно, так как косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

  1. Треугольник с углами 40°,  70°, 70° — равнобедренный.

Утверждениевернопо свойству равнобедренного треугольника и по теореме о сумме углов треугольника.

  1. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

Данное утверждениеневерно,так как противоречитсвойствамравнобедренного треугольника.

Вспомним свойства равнобедренного треугольника:

  1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые к боковым сторонам, равны.

  1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. (также справедливо, что высота является медианой и высотой и медиана – высотой и биссектрисой).

Также встречаются такие утверждения, которые являются верными:

Данное утверждениевернопосвойству равнобедренного треугольника.

  1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Данноеутверждениевернопотеореме об окружности: Около всякого треугольника можно описать окружность. Её центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

  1. В любой треугольник можно вписать окружность.

Утверждениевернопо теореме об окружности: В любой треугольник можно вписать окружность.Её центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника.

  1. Центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника совпадают.

Это утверждениеневерно, потому что центр вписанной окружности находится внутри треугольника, а центр описанной окружности может находиться вне треугольника.

  1. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Утверждениеневерно,т.к. не соответствует ни одному изпризнаковравенства треугольников.

Вспомним признаки равенства треугольников:

  1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
    1. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Прилежащий к известному острому углу катет равен произведению косинуса этого угла на гипотенузу (изопределения косинуса: Косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Cosa  = ).  Следовательно,  этот  катет  тоже  будет  равен  у       обоих треугольников. Тогда попризнаку равенства  треугольников, получается,  что

эти треугольники равны. Значит этоутверждениеверно.

Вспомним признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  3. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

  1. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.

Данное утверждениевернопопризнаку подобия.

Вспомним признаки подобия треугольников:

  1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
  3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Встречаются и такие верные утверждения:

Утверждениеневернопо теореме об отношении площадей подобных треугольников (Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия).

  1. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 не существует.

Утверждениевернопо неравенству треугольника (в  любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон). В данном случае: 4>1+2. То есть треугольник с такими сторонами не может существовать.

Также есть такое утверждение, которое считается верным по тому же неравенству:

  1. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Sтреугольника=

, где С - угол между сторонамиa иb. Т.к. значение синуса

не может быть больше единицы, получается, чтоa*b всегда больше

Следовательно, данноеутверждениеверно .

  1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

Утверждениеневерно по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Повторение теории необходимо для понимания и решения задач. Можно провести опрос среди учащихся на данные утверждения, ввести их в дискуссию, чтобы им было интересно, но и запомнилось, сопровождая при этом презентацией или плакатами.

3. Решение задач

Для начала вспомним формулы площадей треугольников:

Через основание и высоту:

.

Но впрямоугольном треугольникевысота совпадает с одним из   катетов,

и тогда площадьпрямоугольного треугольника равна половине  произведения катетов.

Следовательно, для прямоугольного треугольника:

Через две стороны и угол:

Формула Герона:                                                   ,

Через радиусы:            ,

Рассмотрим разные задачи из ОГЭ.

  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.Найдите его площадь.

Решение см. приложение 2 задача №1.

Данный тип задач следует решить несколько раз, применяя различные рисунки, чтобы учащиеся умели видеть и решали задачу «слету».

  1. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Решение см. приложение 2 задача №2.

На этот вид задач много времени отводить необязательно. Просто прорешать несколько вариантов для ознакомления и закрепления формулы.

  1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 29, а основание равно 42.Найдите площадь этого треугольника.

Решение см. приложение 2 задача №3.

Перед решением задачи повторить свойства равнобедренного треугольника, теорему Пифагора и формулу Герона.

  1. Два катета прямоугольного треугольника равны 14 и 5.Найдите площадь этого треугольника.

Решение см. приложение 2 задача №4.

Обратить внимание учащихся, что даны два катета, что и нужно для вычисления площади треугольника.

  1. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Решение см. приложение 2 задача №5.

Задача немного усложнилась по сравнению с предыдущей. В данном случае, у нас известны длины одного катета и гипотенузы.

Поэтому необходимо обратить внимание учащихся, что даны не те стороны, а найти второй катет можно с помощью теоремы Пифагора.

  1. Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23.Найдите площадь этого треугольника.

Решение см. приложение 2 задача №6.

Обратить внимание учеников, что известны сторона и высота, проведенная кэтойстороне.Что это очень важно, иначе использование формулы будет неверным.

  1. Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона – 78.Найдите площадь треугольника.

Решение см. приложение 2 задача №7.

Повторить с учащимися определение равнобедренного треугольника, периметра и формулу Герона.

  1. Площадь   прямоугольного   треугольника   равна   .   Один из острых углов равен 30°.Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Решение см. приложение 2 задача №8.

Вспомнить со школьниками, что катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. Зная это, задача решается проще с использованием переменной и теоремы Пифагора.

  1. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°.

Решение см. приложение 2 задача №9.

Учитель задает наводящие вопросы и подводит учащихся к использованию теоремы о сумме углов для получения того, тчо треугольник является равнобедренным. Показывает задачу другого типа, но с похожим решением.

Подобная задача, только здесь вместо катета известна гипотенуза:

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°.

Решение см. приложение 2 задача №9(а).

  1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100.

Решение см. приложение 2 задача№10.

Обратить внимание учащихся, что даны не те стороны, а найти второй катет можно с помощью теоремы Пифагора.

  1. Площадь равнобедренного треугольника равна 196√3. Угол, лежащий напротив основания, равен 120°

Решение см. приложение 2 задача №11.

Ученики вспоминают свойства равнобедренного треугольника, теоремы синусов и косинусов и, используя данные находят необходимую сторону.

Задачи посложнее:

  1. В треугольникеABCизвестно, чтоDE— средняя линия. Площадь треугольникаCDEравна 9. Найдите площадь треугольникаABC.

Решение см. приложение 2 задача №12.

Учитель напоминает школьникам, что такое средняя линия треугольника и теорему о средней линии:

Средняя линия треугольника –отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема о средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Учитель направляет учеников, на то, что нужно провести высоту, и вспомнить, что средняя линия делит высоту пополам.

  1. Через    серединуKмедианыBMтреугольникаABCи     вершинуAпроведена прямая, пересекающая сторонуBCв точкеP. Найдите отношение площади треугольникаABCк площади четырёхугольникаKPCM.

Решение см. приложение 2  задача №13.

Учитель осуществляет вместе с учащимися поиск решения задачи, а именно, что нужно пользоваться свойством медианы (треугольники, делящиеся медианой равны и равны половине площади данного треугольника). Обратить внимание девятиклассников, что точкаК- середина ВМ, следовательно, АК – медиана треугольника АВМ, что нужно провести медиану и для треугольника ВСМ, провести можно еще среднюю линию для треугольника АРС, и так разбирая средние линии треугольников, делаем вывод, что площадь маленького треугольника равна четверти площади данного треугольника.Далее разбирается все вместе с учителем.

  1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 16, а площадь равна 32√3.

Решение см. приложение 2 задача №14.

Школьники сначала должны выразить одну сторону через другую, зная площадь. Далее учитель направляет на поиск решения задачи, в частности, что можно, использовав теорему Пифагора и решив квадратное уравнение, найти одну сторону. Затем ученики вспоминают определение косинуса, так как надо найти углы, это пригодится. И результат получают с помощью теоремы о сумме углов треугольника.

  1. МедианаBMи биссектрисаAPтреугольникаABCпересекаются в точкеK, длина стороныACотносится к длине стороныABкак 9:7.Найдите отношение площади треугольникаABKк площади четырёхугольникаKPCM.

Решение см. приложение 2 задача №15.

Задача непростая, требует долгого рассуждения. Поэтому лучше начать решать задачу в начале урока после повторенного материала. Учитель вместе с учениками осуществляет поиск решения этой задачи вместе.

Рекомендации для учителя:При повторении этой темы необходимо обратить внимание на формулу вычисления площади, так как учащиеся путают ее с формулой нахождения площади параллелограмма и какие стороны известны и какие необходимы для вычисления площади. Вспомнить с учащимися, что катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.

Занят ие 2

Тема: Параллелограмм. Площадь параллелограмма.

Цели:

Обучающие: Повторить, обобщить и систематизировать полученные знания по темам: «Параллелограмм», «Признаки параллелограмма», «Площадь параллелограмма», повторить формулы нахождения их периметра и площади.

Воспитательные:воспитание внимательности, трудолюбия, интереса к предмету, умение слушать других и высказывать свою точку зрения.

Развивающие:развить у учащихся логическое мышление, сообразительность,  внимание и культуру математической речи.

Ход занятия

  1. Организационный момент.

Приветствие.

  1. Этап повторения.

Вспоминаем определение параллелограмма:

Параллелограммомназывается четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

AB||CD,BC||AD

Свойства параллелограмма:

1°)Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне,     равна

180°.

2°)В параллелограмме противоположные стороны равны и

противоположные углы равны.

3°)Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма:

  1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
  2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

  1. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.Площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон

на синус угла между ними.

Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его

диагоналей на синус угла между ними.

  1. Решение задач.

Приступаем к решению задач.

  1. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение см. приложение 2 задача №16.

На этот тип задач много времени отводить не нужно, так как он больше для закрепления формулы площади.

  1. На клетчатой бумаге с размером клетки1×1изображён параллелограмм.Найдите его площадь.

Решение см. приложение 2 задача №17.

Данный тип задач стоит решать побольше для того, чтобы учащиеся могли найти площадь параллелограмма, несмотря на то, как он будет повернут.

  1. ВысотаBHпараллелограммаABCDделит его сторонуADна отрезкиAH=2 иHD=64.Диагональ параллелограммаBDравна 80. Найдите площадь параллелограмма.

Решение см. приложение 2 задача № 18.

Обратить внимание учащихся, что внутри параллелограмма прямоугольный треугольник, и тогда школьники должны догадаться, что высоту параллелограмма можно найти как катет треугольника по теореме Пифагора.А площадь найти уже не составит труда.

Задачи посложнее:

  1. В параллелограммеABCDдиагоналиACиBDпересекаются в точке
    1. Докажите, что площадь параллелограммаABCDв четыре раза больше площади треугольникаAKD.

Решение см. приложение 2 задача №19.

Учитель повторяет перед решением задачи признаки равенства треугольников.Далее он вместе с учениками обговаривает решение вместе последовательно.

  1. В параллелограммеABCD проведена диагональAC. ТочкаO является центром окружности, вписанной в треугольникABC. Расстояния от точкиO до точкиA и прямыхAD иAC соответственно равны 25, 8 и 7.Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение см. приложение 2 задача №20.

Учитель задает наводящие вопросы, и они вместе приходят к выводу, что АС   –   касательная.  Тогда   можно  использовать  свойство   касательной,   что

ученики и делают, затем используют теорему Пифагора, свойства параллелограмма, признак равенства треугольников.

  1. Биссектрисы угловA иB параллелограммаABCD пересекаются в точкеK. Найдите площадь параллелограмма, еслиBC=2, а расстояние от точкиK до стороныAB равно 1.

Решение см. приложение 2 задача №21.

Вспомнить с учениками, какие углы равные есть у параллелограмма (накрестлежащие, соответственные, вертикальные). Желательно сопровождать решение задачи презентацией с последовательным дополнением к чертежу.

  1. Внутри параллелограммаABCD выбрали произвольную точкуE. Докажите, что сумма площадей треугольниковBEC иAED равна половине площади параллелограмма.

Решение см. приложение 2 задача №22.

Учитель направляет учащихся на поиск решения задач, а именно, предлагает провести отрезок, перпендикулярный основаниям, далее рассмотреть треугольники.

  1. Теоретическая самостоятельная работа.Проверка усваивания теоретических знаний.Задание:

Выберите верные утверждения:

  1. Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.
  2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность.

  1. В параллелограмме есть два равных угла.
  2. Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.
  3. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  4. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Ответ: с(свойство),e(третий признак равенства треугольников).

Рекомендации для учителя:При изучении данной темы необходимо обратить внимание учащихся на возможность использования различных фигур, например, если известны диагональ и основание, то высоту можно узнать из прямоугольного треугольника, расположенного внутри параллелограмма, как катет.

Цели:

З анят ие 3

Тема: Ромб. Площадь ро мба.

Обучающие: Повторить, обобщить и систематизировать полученные знания по темам: «Ромб», повторить формулы нахождения их периметра и площади.

Воспитательные:развитие навыков коммуникативного общения и диалоговой деятельности,воспитание внимательности, интереса к предмету.

Развивающие:развить у учащихся логическое мышление, сообразительность,  внимание и культуру математической речи.

Ход занятия

  1. Организационный момент.

Приветствие. Ознакомление учащихся с ходом работы на уроке:

Заранее предложено было ученикам повторить определение, свойства и признаки ромба.Поэтому урок начинается с задания: «Найдите ошибку».

  1. Выполнение задания – проверка знаний учащихся по теоретическому материалу.

  1. Найдите ошибку в предложенных утверждениях и аргументируйте свой ответ.
  2. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.
  3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
  4. Ромб не является параллелограммом.
  5. Диагонали ромба равны.
  6. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
  7. Все углы ромба равны.
  8. Диагонали ромба перпендикулярны.
  9. В любой ромб можно вписать окружность.
  10. Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
  11. Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
  12. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
  13. Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

Ответ:

  1. В данном утвержденииошибка.

Потому что не соответствуетсвойству ромба (Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам). Можно привести пример, когда диагонали перпендикулярны, но это явно не ромб.Вот, например, четырехугольник, изображенный на рисунке.

  1. Так как это утверждение являетсясвойством параллелограмма, а, по определению, ромб и есть параллелограмм (параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом), то это утверждение верно.
  2. Ошибка.

Так как противоречит определению ромба.

  1. Ошибка.

Противоречит свойствам ромба и параллелограмма.

  1. Ошибка.

Это признак прямоугольника, а не ромба.

  1. Ошибка.

Ромб - частный случай параллелограмма и обладает всеми его свойствами. Поэтому, по свойству параллелограмма: сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, нельзя сделать вывода, что углы равны.

  1. Верное утверждение по признаку ромба.
  2. Верное утверждение по теореме: в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, - а ромб – правильный четырехугольник.

9. Верно.                     .

10. Верно.            .

  1. Верно по признаку ромба.
  2. Вернопосвойству параллелограмма, противоположные стороны попарно равны. А раз смежные стороны равны, то и противоположные им стороны так же равны. Таким образом, все четыре стороны такого параллелограмма равны. А это и естьопределение ромба.Окончательный ответ: неверны: 1, 3, 4, 5, 6

3. Решение задач.

Прежде чем перейдем к решению задач вспомним формулы для нахождения площади ромба.

Площадь ромба равна произведению стороны ромба и его высоты.

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус

угла.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Задачи:

  1. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 20 и 6.

Решение см. приложение 2 задача №23.

На задачу не нужно отводить много времени. Ее необходимо решить для закрепления формулы.

  1. Периметр ромба равен 56, а один из углов равен 30°.Найдите площадь этого ромба.

Решение см. приложение 2 задача №24.

Обратить внимание, что дан периметр, и зная, что у ромба все стороны равны, легко можно найти и сторону ромба.

  1. ВысотаBH ромбаABCD делит его сторонуAD на отрезкиAH=44 иHD=11.Найдите площадь ромба.

Решение см. приложение 2 задача №25.

Обратить внимание школьников на треугольникABH,и что из него можно найти катетBH,который для ромба является высотой.

  1. Площадь ромба равна 15, а периметр равен 20.Найдите высоту ромба.

Решение см. приложение 2 задача №26.

Обратить внимание учащихся, что, зная периметр ромба, можно узнать его сторону.

  1. Сторона ромба равна 74, а диагональ равна 48.Найдите площадь ромба.

Решение см. приложение 2 задача №27.

Учитель направляет учащихся найти вторую сторону с помощью теоремы Пифагора.

Задачи посложнее:

  1. Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до неё равно
    1. Найдите площадь ромба.

Решение см. приложение 2 задача №28.

Учитель может предложить учащимся продлить высоту до второго основания, доказать равенство треугольниковDOEиBOF, тогда высота ромба будет равна двум расстояниям от центра ромба до его стороны.

7. Вершины ромба расположены на сторонах  параллелограмма,  а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 36.

Решение см. приложение 2 задача №29.

Вместе с учащимися учитель последовательно решают задачу, проговаривая все действия. При этом заранее повторяются свойства параллелограмма, формулы вычисления его площади, признаки подобия треугольников.

Рекомендации для учителя:Обратить внимание учащихся, что у ромба все стороны равны, потому что они на это не акцентируют внимания при решении задач.

Цели:

З анят ие 4

Тема: Прямоугольник. Квадрат . Их площадь.

Обучающие: Повторить, обобщить и систематизировать полученные знания по темам: «Прямоугольник, квадрат», «Площадь квадрата», «Площадь прямоугольника», повторить формулы нахождения их периметра и площади.

Воспитательные:воспитание внимательности, трудолюбия, интереса к предмету, умение слушать других и высказывать свою точку зрения.

Развивающие:развить у учащихся логическое мышление, сообразительность,  внимание и культуру математической речи.

Ход занятия

1. Организационный момент.

Приветствие.

2. Этап повторения.

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется

прямоугольником.

Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому он обладает всеми егосвойствами. В частности, в прямоугольнике противоположные стороны попарно равны и диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Признаки прямоугольника:

  1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.
  2. Если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм

– прямоугольник.

  1. Если в четырехугольнике три угла прямые, то этот четырехугольник – прямоугольник.

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называетсяквадратом.

Можно сказать, что квадратом является ромб, у которого все углы прямые. Квадрат обладает всемисвойствамипрямоугольника и ромба.

Площадь прямоугольника и квадрата

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Площадь квадрата также равна произведению его смежных сторон, а так как стороны у квадрата равны, то формула имеет такой вид:

Площадь прямоугольника равна половине квадрата длины его  диагонали

на синус угла между диагоналями.

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

3. Решение задач

  1. Площадь прямоугольного земельного участка равна 20 га, ширина участка равна 200 м. Найдите длину этого участка в метрах.

Решение см. приложение 2 задача №30.

Учитель задает наводящие вопросы: сколько в гектаре квадратных метров.Далее задача решается с использованием формулы площади.

  1. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 8 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 40 см.Сколько потребуется таких дощечек?

Решение см. приложение 2 задача №31.

Осуществляют поиск решения задачи, а именно, найти площадь одной дощечки, и  площадь комнаты разделить на площадь одной дощечки.

  1. Аналогичная задача:

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 3,8 м?

  1. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок).Найдите площадь получившейся фигуры.

Решение см. приложение 2 задача №32.

Обратить внимание учащихся, что площадь оставшейся фигуры – это площадь квадрата без площади прямоугольника.

  1. Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 14 см и 27 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 558 см2. Какова ширина окантовки?Ответ дайте в сантиметрах.

Решение см. приложение 2 задача №33.

Обратить внимание школьников, что окантовка с двух сторон от картинки.

  1. В прямоугольнике одна сторона равна 4, а диагональ равна 5.Найдите площадь прямоугольника.

Решение см. приложение 2 задача №34.

Обратить внимание учащихся, что прямоугольник делится на два прямоугольных треугольника.

  1. Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 19.

Решение см. приложение 2 задача №35.

Продемонстрировать учащимся, что сторона квадрата равна диаметру окружности.

  1. Периметр квадрата равен 36. Найдите площадь этого квадрата.

Решение см. приложение 2 задача №36.

Напомнить детям, что у квадрата стороны равны, и это поможет найти сторону квадрата, зная периметр.

4. Теоретическая самостоятельная работа.Проверка усваивания теоретических знаний.Задание:

Выбрать верные утверждения:

  1. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм – квадрат.

  1. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.
  2. Существует квадрат, который не является прямоугольником.
  3. Диагонали любого прямоугольника равны.
  4. Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов всех его сторон.
  5. Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
  6. Любой квадрат можно вписать в окружность.
  7. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
  8. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
  9. Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
  10. В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
  11. Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.
  12. Квадрат является прямоугольником
  13. Любой квадрат является ромбом.
  14. Существует прямоугольник, который не является параллелограммом.
  15. Существует ромб, который не является квадратом.
  16. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
  17. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.
  18. Все квадраты имеют равные площади.
  19. Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
  20. Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

Ответ: 1(свойство), 2(теорема Пифагора), 4(свойство), 5(теорема Пифагора), 6(ромб - частный случайпараллелограмма, то к нему и применимы всесвойства  параллелограмма,  следовательно   (посвойству  параллелограмма),

противоположный прямому углу, угол тоже равен 90°.Другие два угла по тому же свойству равны друг другу. Сумма углов многоугольника вычисляется по формуле (n-2)*180°, гдеn - количество углов. В нашем случае, углов - 4. Тогда сумма углов равна (4- 2)*180°=360°.Тогда получается, что сумма двух неизвестных углов равна 360°- 90°-90°=180°. А так как они равны друг другу, то каждый из них равен 180°/2=90°.Т.е. мы узнали, что все четыре угла равны по 90°), 7(теорема о правильных многоугольниках вписанных в окружность), 8(в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°), 13(определение), 16(при значениях отличных от 90), 18(свойство квадрата), 20 (S =a2), 21(S=ab).

Рекомендации для учителя:обратить внимание на практическую направленность при решении задач в бытовых условиях, организовать визуальное представление задачи (с паркетами, окантовкой картины).

Занят ие 5

Тема: Трапеция. Площадь т рапеции.

Цели:

Обучающие: Повторить, обобщить и систематизировать полученные знания по темам: «Трапеция», «Площадь трапеции», повторить формулы нахождения их периметра и площади.

Воспитательные:развитие навыков коммуникативного общения и диалоговой деятельности,воспитание внимательности, интереса к предмету.

Развивающие:развить у учащихся логическое мышление, сообразительность,  внимание и культуру математической речи.

Ход занятия

  1. Организационный момент.

Приветствие. Ознакомление учащихся с ходом работы на уроке:

Заранее предложено было ученикам повторить определение, свойства и признаки ромба.Поэтому урок начинается с задания: «Выберите верное утверждение».

  1. Выполнения задания – проверка знаний учащихся по теоретическому материалу.
    1. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
    2. Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
    3. У любой трапеции боковые стороны равны.
    4. У любой трапеции основания параллельны.
    5. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
    6. Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
    7. В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла.
    8. Основания равнобедренной трапеции равны.
    9. Диагонали прямоугольной трапеции равны.
    10. Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
    11. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Ответ:

  1. Верно., где - средняя линия трапеции.
  2. Во-первых, нет такогосвойства трапеции. Во- вторых, если рассмотретьпрямоугольную трапецию с проведенной диагональю, то становится очевидным, что

один   из   получившихся  треугольников -прямоугольный,   а   второй   -  нет.Следовательно, этоутверждение неверно.

  1. Неверно. Боковые стороны равны только у равнобокой трапеции.

  1. Вернопо определению трапеции (трапециейназывается четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны).
  2. Неверно. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

  1. Неверно. Это свойство параллелограмма.
  2. Верно.Углы равны по 90°. См. рисунок.

  1. Неверно. У равнобедренной трапеции равны боковые стороны.

  1. Неверно. Только диагонали равнобокой трапеции равны, но равнобокая трапеция не может быть прямоугольной, а прямоугольная трапеция не может быть равнобокой.
  2. Неверно. Такой формулы вычисления площади трапеции нет.
  3. Верно.По теореме о средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Окончательный ответ: 1, 4, 7, 11.

  1. Решение задач.

Прежде чем перейдем к решению задач вспомним формулы для нахождения площади трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Площадь равна произведению средней линии на высоту.

Площадь трапеции равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними.

Задачи:

  1. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение см. приложение 2 задача № 37.

Данный тип задач следует решить несколько раз, применяя различный поворот трапеции, чтобы учащиеся могли различить трапецию и в ином виде.

  1. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение см. приложение 2 задача №38.

На этот тип задач много времени отводить необязательно, так как он просто на применение формулы площади.

  1. Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30°.Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.

Решение см. приложение 2 задача №39.

Обратить внимание учащихся, что можно провести высоту, и тогда получится прямоугольный треугольник с углом в 30 градусов. Далее учащимся можно напомнить, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

  1. Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 17, а её боковые стороны равны 10.Найдите площадь трапеции.

Решение см. приложение 2 задача №40.

Ученики вместе с учителем осуществляют поиск решения задачи, а именно проведут две высоты и покажут, что кусочки по бокам равны.И, используя теорему Пифагора, находят высоту.

  1. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°.Найдите площадь этой трапеции.

Решение см. приложение 2 задача № 41.

Повторить с учениками теорему о сумме углов треугольника, свойства равнобедренного треугольника, признаки равенства треугольников, и вместе с ними подробно разобрать эту задачу.

  1. В трапецииABCDизвестно, чтоAD=6,BC=2, а её площадь равна
    1. Найдите площадь трапецииBCNM, гдеMNсредняя линия трапеции

ABCD.

Решение см. приложение 2 задача №42.

Учитель с учениками осуществляет поиск решения, задавая наводящие вопросы. Обращает внимание, что высота  делится  точкой  пересечения средней линией и высоты пополам, т.к. располагается на средней линии, а средняя линия делит стороны трапеции пополам.

  1. Основания трапеции равны 3 и 16, одна из боковых сторон равна

, а угол между ней и одним из оснований равен 135°.Найдите площадь трапеции.

Решение см. приложение 2 задача № 43.

Напоминает, что сумма соседних углов при боковых сторонах трапеции равна 180 градусам, определение синуса угла (синус угла А равен отношению противолежащей стороны на гипотенузу), где противолежащая сторона – высота, которую надо найти, чтобы вычислить площадь трапеции.

  1. Основания трапеции равны 20 и 26, одна из боковых сторон равна

, а угол между ней и одним из оснований равен 120°.Найдите площадь трапеции.

Решение см. приложение 2 задача №44.

Последовательно решают задачу, рассуждая все вместе (можно без помощи учителя).

ADH=120° - 90° = 30°

Задачи посложнее:

  1. В трапецииABCDAD=4,BC=1, а её площадь равна 35.Найдите площадь треугольника ABC.

Решение см. приложение 2 задача №45.

Обращает внимание, что высоту можно найти через формулу площади трапеции, и высота трапеции равна высоте треугольника

  1. В трапецииABCDоснованиеADвдвое больше основанияВСи вдвое больше боковой стороныCD.УголADCравен 60°,сторонаABравна 1. Найдите площадь трапеции.

Решение см. приложение 2 задача № 46.

Учитель рассуждает вместе со школьниками, что нужно провести две высоты, далее рассмотреть треугольник с известным углом. Учитель напоминает теорему о сумме углов треугольника, определение синуса угла, определение прямоугольника, признаки равенства треугольников, определение равнобедренной трапеции, теорему Пифагора.Тогда учащиеся, пользуясь подсказками учителя, решает задачу.

  1. Площадь параллелограммаABCD равна 56. ТочкаE — середина стороныCD.Найдите площадь трапеции AECB.

Решение см. приложение 2 задача №47.

Можно дать данную задачу для рассуждения, так как есть несколько вариантов решение. Если задача пойдет тяжело, дать подсказку, что параллелограмм можно разделить на четыре равных треугольника, и  отрезокECбудет стороной двух таких треугольников.

  1. На средней линии трапецииABCD с основаниямиAD иBC выбрали произвольную точкуF. Докажите, что сумма площадей треугольниковBFC иAFD равна половине площади трапеции.

Решение см. приложение 2 задача № 48.

Учитель направляет школьников: предлагает провести высоту через точку

  1. Далее учащимся задает наводящие вопросы для того, чтобы подвести их к тому, чтобы они представили сумму площадей этих треугольников и сравнили ее с площадью трапеции.

4. Самостоятельная работа.

Необходимо поставить знак «+», где утверждение верно для данной фигуры.

Свойства четырехугольников

Таблица 3

параллелограмм

прямоугольник

ромб

квадрат

трапеция

1. Противолежащие стороны параллельны и равны

2. Все стороны равны

3. Противолежащие стороны равны, сумма соседних углов равна 180°

4. Все углы прямые

5. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

6. Диагонали равны

7.   Диагонали  взаимно

перпендикулярны  и являются биссектрисами его углов

Рекомендации для учителя:Обратить внимание на задачи,  где изображена трапеция на клетчатой бумаге. Учащиеся часто не видят, какая именно фигура изображена, особенно, если она повёрнута не в том виде, который они привыкли видеть.

Если даны углы у трапеции, обратить внимание, что если провести высоту, то внутри трапеции будет расположен прямоугольный треугольник.

Больше решать сложные задачи, так как в основном с трапецией связаны задачи уровня посложнее.

В классе всегда есть ученики, которые быстро будут решать предложенные задачи. Поэтому более сильным учащимся можно дать дополнительные задания в виде вывода различных формул фигур (см. приложение 3).

2.3. Результаты опытно-экспериментальной работы

Экспериментальная    проверка    была    проведена    в    школе  №2123 им. М. Эрнандеса в 9 классе.

Было проведено несколько занятий, которые включали в себя: самостоятельную работу для выявления остаточных знаний с 8 класса, уроки повторения, на которых мы с учащимися вспоминали теорию: свойства многоугольников и формулы их площадей, решали задачи и ликвидировали трудности, возникшие при их решении, и контрольную работу.

Рассмотрим подробнее:

В экспериментальном классе участвовало 19 человек.Самостоятельная работа, которую писали 17 человек:

Вариант 1.

№1. Укажите номера верных утверждений.

  1. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
  2. В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  3. Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку,  равноудалена от концов этого отрезка.

№2. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

№3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображёна трапеция.Найдите ее площадь.

№4. Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2 и    6.

Вариант 2.

№1. Какие из данных утверждений верны?Запишите их номера.

  1. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
  2. Диагонали прямоугольника равны.
  3. У любой трапеции боковые стороны равны.

№2. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

№3. .На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1  изображёна трапеция.Найдите ее площадь.

№4. Боковая сторона трапеции равна 4, а один из прилегающих к ней углов равен 30°.Найдите площадь трапеции, если  её основания равны 2 и    5

Проанализировав работы, мы получила такие результаты:

Оценка

«5»

«4»

«3»

«2»

Количество человек

7

5

4

1

Как видно из диаграммы на данном этапе, у учащихся хорошие знания, они многое помнят, но все же ближе к среднему.

Анализ  работ  показал,  что  наиболее  сложным  оказалось  задание  №4.

Остальные задания не вызывали особых затруднений.

Далее были проведены занятия, на которых мы разбирали теорию и решали задачи.

Контрольное (закрепляющее) занятие с использованием презентации(см. приложение №4).

Контрольная работа:

Вариант 1.

№1. Установите соответствие формулы площади с фигурой.Фигуры:

  1. Треугольник
  2. Прямоугольный треугольник

Формулы:

  1. Параллелограмм

А.

  1. Ромб

Б.

  1. Прямоугольник

  1. Квадрат
  2. Трапеция

В.

Г.

Д.

Е.S = a · h

Ж.

№2. Укажите номера верных утверждений.

  1. Существует квадрат, который не является прямоугольником.
  2. Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
  3. Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.

№3. Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°.Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.

№4.  ВысотаBHпараллелограммаABCDделит  его  сторонуADна отрезкиAH=8 иHD=40.Диагональ параллелограммаBDравна 50. Найдите площадь параллелограмма.

№5. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°.Найдите площадь трапеции.

№6. Площадь параллелограммаABCDравна 56. ТочкаE— середина стороныCD.Найдите площадь трапецииAECB.

Вариант 2.

№1. Установите соответствие формулы площади с фигурой.

Фигуры:

  1. Треугольник

Формулы:А.

  1. Прямоугольный треугольник

  1. Параллелограмм
  2. Ромб
  3. Прямоугольник
  4. Квадрат

Б.

В.

  1. Трапеция

Г.

Д.

Е.

Ж.S = a · h

1

2

3

4

5

6

7

№2. Какие из данных утверждений верны?

  1. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
  2. Диагонали прямоугольника равны.
  3. У любой трапеции основания параллельны.

№3. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

№4. Периметр  ромба  равен  116,  а  один  из  углов  равен 30. Найдите площадь ромба.

№5. Боковая сторона трапеции равна 4, а один из прилегающих к ней углов равен 30°.Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 7.

№6. Площадь параллелограммаABCDравна 176. ТочкаE— середина стороныAD.Найдите площадь трапецииAECB.

Сначала расскажу о трудностях, возникших у учащихся при написании работы.

№1. В данном номере некоторые учащиеся затруднялись установить соответствие, потому что некоторые формулы подходят для нескольких фигур, но большее количество учащихся с этим заданием справилось.

№2. Трудностей не возникло у большинства учащихся.

№3,5 В основном возникали сложности во втором варианте (трапеция с углом в 45 градусов). Трудности состояли в последовательности логических рассуждений, но и элементарные ошибки присутствовали: в вычислениях.

№4 (первого варианта). Особых трудностей не возникло у учащихся, но были такие, кто не приступил к выполнению данного номера.

№4 (второго варианта). Очень много учащихся даже не брались за эту задачу, они просто не стали рассуждать.

№6. Эту задачу или решали правильно учащиеся, или не решали вовсе, просто не брались или были единицы, которые придумывали «а вдруг правильно». А один школьник даже сделал предположение, что АЕ – средняя линия.

При выполнении работы присутствовали и те учащиеся, которых, к сожалению, не было на предыдущих занятиях.

Проанализировав работы, я получила такие результаты:

Результаты самостоятельной работы

Таблица 4

Оценки

Результаты учащихся, которые присутствовали на занятиях

Результаты учащихся, которые

отсутствовали на занятиях

«5»

7

2

«4»

6

3

«3»

0

3

«2»

0

2

Из диаграмм видно, что учащимся, которых не было на уроках – повторениях работа дается тяжелее, чем тем, кто присутствовал. И результаты их были похуже.

В итоге можно сказать, что изначально учащиеся подзабыли некоторый материал и есть пробелы. Поэтому повторение было им полезно. Были и такие ученики, которые даже не хотели думать и рассуждать, но большинство школьников очень стараются и решают задачу пока не дойдут до окончательного ответа.

Полученные в результате экспериментальной проверки данные позволили судить об эффективности применения повторения в 9 классе. Несмотря на то,

что сроки проведения проверки были ограничены, а исследуемая проблема требует более длительного изучения, мы смогли получить необходимые данные, подтверждающие гипотезу о том, что если в 9 классе повторить изученные в 8 классе темы, то это повысит эффективность  обучения математике и положительно повлияет на результаты их экзамена.

Выводы поII главе

В   этой   главе  мы  представили   разработанный  нами   курс  по  выбору

«Площади многоугольников» в 9 классе, составили тематическое планирование курса, отметили методические особенности повторения данной темы, сделали разработки занятий, методические рекомендации к их проведению. Также подробно описали проведение опытно-экспериментальной работы и результаты её проведения.

Заключение

Прочное усвоение знаний является главной задачей процесса обучения, это очень сложный процесс. В него входят восприятие учебного материала, его запоминание и осмысление, а также возможность использования этих знаний в различных задачах.

Сформулируем основные выводы и полученные результаты проведенного исследования.

  1. На основе изученной литературы выделены психолого- педагогические особенности обучающихся в подростковом возрасте.
  2. Разработаны содержание и методика проведения курса  по выбору по теме «Площади многоугольников» для 9 классов.
  3. Провели проверку эффективности разработанной методики.
  4. Доказали, что разработанная методика позволяет добиться от большинства обучающихся хорошего понимания материала, обеспечивает усвоение теоретического материала и применения его при решении задач.
  5. Выявили, что необходимость повторения темы «Площадь». Обосновали, что повторение предоставляет учащимся большую возможность сдать экзамен на высший балл. Обобщающие уроки являются итогом большой работы учащихся по повторению, оказывают им большую практическую помощь в подготовке к экзаменам.Недаром говорят: «Повторение – мать учения».

Подводя итог исследованию, можно сделать вывод, что повторение данной темы необходимо для закрепления материала и успешной сдачи ОГЭ.

Это дает основание полагать, что задачи, поставленные во введении, полностью решены.

Список литературы

  1. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 2002. – 240с.
  2. Аракелян О.А. Некоторые вопросы повторения математики в средней школе. – М.: Учпедгиз, 1960. – 84с.
  3. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Для студентов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1987.
  4. Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.: Геометрия 7-9. учебник для общеобразовательных учреждений.-М.: Просвещение, 2000. – 335с.
  5. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Некрасов В.Б., Юдина И.И. Изучение геометрии в 7,8,9 классах: Метод. рекомендации к учеб. :Кн.Для учителя. – М.: Просвещение, 2003. – 255с.
  6. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия 7-11. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1996. – 351с.
  7. Березина Л. Ю.,  Мельникова  И.  Б.  Геометрия  в  7-9  классах  – М., 1990.
  8. Березин В.Н. и др. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: книга для учителя. – М.: Просвещение, 1985. – 175с.
  9. Библиотека учителя математики. Преподавание геометрии в 6-8 классах.Сборник статей / Составитель Гусев В.А. – М.: Просвещение, 1979. – 281с.
  10. Блок А.Я. Методика преподавания в школе. – М.: Просвещение, 1987.
  11. Бутурлакина Т.Ю. Методическое пособие по созданию современного урока по ФГОС. – г. Армавир, 2013 – 60с.
  12. Воропаева Р. Н. Методические советы из опыта

преподавания//Математика, 2001, №35, с. 25-28.

  1. Выготский Л.С. Педагогическая психология /Под ред.В.В. Давыдова – М.: АСТ Астрель Хранитель, 2008 – 671 с.
  2. Гильберт Д. Основания геометрии. – М. – Л.: Гостехиздат, 1948. –

491с.

  1. Глейзер Г. И. История математики в школе.Пособие для учителей.

http://festival.1september.ru/articles/594252/

  1. Киселев А. И., Рыбкин Н. А. Геометрия: Планиметрия: 7-9 кл.: Учебник и задачник. – М.: Дрофа, 1995.
  2. Колмогоров А. Н. Математика в её историческом развитии. – М.: Наука, 1991. – 224с.
  3. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования //Профильная школа. – 2003. – №1.
  4. Корешкова Т. А., Цукерман В. В. Многоугольники и их площадь в школьном курсе математики// Математика в школе, 2003, №9, с. 10-18.
  5. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников / Под редакцией Н.И. Чуприковой. – М.: Издательство «Институт практической психологии»; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 1998. – 416 с.
  6. Крутецкий В.А., Лукин Н.С. Психология подростка. – М.: Просвещение, 1965. – 314с.

  1. Кучугурова Н.Д. Интенсивный курс общей методики преподавания математики.Учебное пособие / Н.Д. Кучугурова. – М.: МГУ, 2014. – 152с.
  2. Кучугурова Н.Д. Курсы по выбору как средство формирования профессиональной компетентности будущих специалистов. Труды пятых Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2007, 380 с., С.164 – 167.
  3. Кучугурова Н.Д.Организация и управление современным уроком. Современный урок: Сборник статей. – М.: МГУ, 2013. – 138с.. С. 30 -34.
  4. Леонтьев А.Н. Лекции по общей психологии. Учебное пособие. – М.: Смысл, 2000. – 509с.
  5. Макарова Н. Д. Площадь. Единицы площади// Математика, 2002,

№10, с. 30-31.

  1. Математический энциклопедический словарь. – М. «Советская энциклопедия», 1988. – 847с.
  2. Перельман Я. И. Занимательная геометрия. Гос-ное изд-во технико- теоретической литературы.Москва – 1950. Ленинград. – 297с.
  3. Погорелов А. В. Геометрия 7-11. Учебник  для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1999. – 383с.
  4. Прицнер Б. С. Площадь четырёхугольника// Математика в школе, 1989, №5, с. 21-22.
  5. Рохлин В. А. Площади и объём. Энциклопедия элементарной математики. – М.: Наука, 1966. – С. 7 - 89
  6. Рыбников К. А. История математики. – М.: МГУ, 1994. – 496с.
  7. Сефибеков С. Р. Внеклассная работа по математике: кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1988. – 79с.
  8. Смирнова И.М. Дипломная работа и магистерская диссертация: Учебное пособие. – М.: МГУ «Прометей», 2005. – 120 с.
  9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 7-9: учебник для общеобразовательных учреждений.-М.: Мнемозина, 2007. – 376с.
  10. Ушинский К.Д. Избранные педагогические сочинения. // в 2 т. –

Изд-во Педагогика, 1974. – Т. 1. Теоретические проблемы педагогики. – 584с.

  1. Федеральный институт педагогических измерений [Электронный ресурс]: Открытый банк заданий ОГЭ. – Режим доступа:http://www.fipi.ru/
  2. Хилько М.Е., Ткачёва М.С. Возрастная психология: краткий курс лекций. – М.: Издательство Юрайт, 2012. – 194с.
  3. Шевченко И. Н. Методы обучения математике // Минск.Высшая школа, 1977.
  4. Энциклопедический словарь юного математика для старшего и среднего школьного возраста. – М.: Педагогика, 1985. – 352с.
  5. Юшкевич А. П. История математики. – М., 1970. – 353с.
  6. Об утверждении федерального базисного учебного плана и примерных учебных планов для образовательных учреждений Российской Федерации, реализующих программы общего образования [Электронный ресурс]: приказ Министерства образования РФ от 09.03.2004 г. №1312 (ред. от 01.02.2012 № 74). – Режим доступа: Система Гарант.
  7. Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования: приказ Минобрнауки России от 17.12.2010 г. № 1897 (в редакции приказов от 19.12.2014 г. №1644) [Электронный ресурс]. – Режим доступа:http://kem-edu.ucoz.ru/index/fgos/0-26.
  8. Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования: приказ  Минобрнауки России от 17.05.2012 г. № 413 [Электронный ресурс]. – Режим доступа:http://www.rg.ru/2012/06/21/obrstandart-dok.html.
  9. О методических рекомендациях по реализации элективных курсов: письмо департамента государственной политики в образовании (от 4  марта 2010 г. № 03-413) / Министерство образования и науки Российской Федерации.
    • Режим доступа:http://docs.cntd.ru/document/902306291

Приложения

Приложение 1.

Различные формулы площадей многоугольников

Площадь прямоугольника со сторонамиaиbвычисляется по формуле (рис. 1.1)

S=a×b

Площадь параллелограмма вычисляется по формулам

S=a×bsina,

S=a×h,

гдеа– его основание,b– боковая сторона,α– угол между ними,h– высота (рис. 1.2)

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Площадь многоугольника вычисляется по формулам

S=1a×h,

2

гдеа– одна из сторон треугольника,h– проведённая к ней высота (рис.

1.3,а);

S=1a×bsing,

2

гдеa,b– стороны треугольника,γ – угол между ними (рис 1.3, а);

S=(формула Герона),

a+b+c

гдеа,b, с– стороны треугольника, а 1.3, б);

p=- полупериметр (рис.

2

S=p×r,

гдер– полупериметр,r– радиус вписанной в треугольник окружности (рис. 1.3, в);

abc

S=,

4R

гдеa,b,c– стороны треугольника,R– радиус описанной около треугольника окружности (рис. 1.3, г);

a2×sin

S=

bsing

,

2 sina

гдеa– сторона треугольника,α– противолежащий ей угол,β,γ– два других угла (рис. 1.3, д);

Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле

SправD= 4,

гдеa– сторона правильного треугольника (рис. 1.3, е).

а) б)

в) с)

д) е)

Рис. 1.3

Площадь трапеции вычисляется по формулам

S=a+b×h,

2

гдеаиb– основания трапеции,h– высота (рис. 1.4, а);

S=MN×h,

гдеMN– средняя линия трапеции,h– её высота (рис. 1.4, б);

S=d1×d2sina,

2

гдеd1,d2– диагонали трапеции,α– угол между ними (рис. 1.4, в);

S=с×h,

гдес– боковая сторона трапеции,h– перпендикуляр из середины другой боковой стороны на первую или её продолжение (рис. 1.4, г).

а) б)

в) г)

Рис. 1.4

Если даны диагоналиeиfи уголαмежду ними, то площадь произвольного четырёхугольника находят по формуле

S=1e×f

2

sina.

В частности, площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей (рис. 1.5):

S=1e×f.

2

Рис. 1.5

Площадь  произвольного  четырёхугольника  (рис.  1.6)  можно   выразить

через его стороныа,b,cи суммуj

=a+b

пары противоположных углов:

S=p(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos2j,

2

гдер– полупериметр четырёхугольника.

Рис. 1.6

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника (j1.7, а) вычисляется по формуле Брахмагупты

=1800) (рис.

S=,

а описанного (рис. 1.7, б) (a+c=b+d) – по формуле

S=sinj

2

Если же четырёхугольник вписан и описан одновременно (рис. 1.7, в), то формула становится совсем простой:

S=.

а) б)

Рис. 1.7

Площадь всякого описанного многоугольника вычисляется по формуле

S=1R×P,

2

гдеR– радиус круга, вписанного в многоугольник, аР– периметр прямоугольника.

Общий метод для нахождения площади произвольного многоугольника состоит в том, что его надо разбить на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Иногда многоугольник представляют как сумму  и разность треугольников. Однако простой и компактной формулы для определения площади произвольногоn-угольника нет. Это неудивительно, ведь в ней неизбежно будет слишком много переменных. Чтобы задатьn-угольник (его форму и размеры), нужно указать 2n– 3 его элемента: например, длины всех сторон. Кроме одной, и величиныn– 2 образованных ими углов.

Приложение 2.

Решение задач.Треугольники:

  1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.Найдите его площадь.

Используем формулу площади через высоту и основание. Тогда:h = 5,a = 8. Следовательно,S = 5*8 = 40 клетка2.

Ответ: 40.

  1. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Воспользуемся той же формулой, что и в предыдущем номере. В данном случае высота равна 168, а основаниеa = 26+95 = 121.

Значит, площадьS = 121*168/2=1064 см2.

Ответ: 1064.

  1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 29, а основание равно 42.Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

По свойству равнобедренного треугольника: высота, проведенная к основанию, так же является и медианой.

Следовательно,AD=DC=AC/2=60/2=30

Чтобы   вычислить   эту   высоту   треугольника  воспользуемся теоремой Пифагора:

AB2=BD2+AD2

342=BD2+302

1156=BD2+900 BD2=256 BD=16

Тогда: S = a*h/2 S=60*16/2=480

Ответ: 480.

Также задачу можно решить через формулу Герона, и получится:

. Ответ: 480.

  1. Два катета прямоугольного треугольника равны 14 и 5.Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

клетка.2

Ответ: 35.

  1. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Решение:

Находим длину второго катета при помощи теоремы Пифагора:AC                                                                                            =Теперь можно найти площадь:

см2.

Ответ: 840.

  1. Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23.Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Используем  формулу  через  высоту  и  основание.  Их  длина    известна,

поэтому просто подставляем:

клетка2.

Ответ: 161.

  1. Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона – 78.Найдите площадь треугольника.

Решение:

Используя определение равнобедренного треугольника и определение периметра, можем найти длину основания треугольника:

P=2*a+c=216 2*78+c=216c=60.

Далее вычислим площадь треугольника, используя формулу Герона:

=108

=30*72=2160.

Ответ: 2160.

  1. Площадь прямоугольного треугольника равна        . Один из острых углов равен 30°.Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Решение: Пусть:

a - искомый катетb - второй катет

c – гипотенузаsin30°=1/2

sin30°=a/c=1/2 (Синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе). Из этого делаем вывод, что:

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

То есть,c=2a

Используя теорему Пифагора, получаем:a2+b2=c2

a2+b2=(2a)2

b2=3a2b=a√3

Из условия:Sтреугольника=   =

a*a    /2=

Сокращаем : a2=722*2=1444 a=38

Ответ: 38.

  1. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°.

Решение:

По  теореме о сумме углов  треугольника  вычисляем третий  угол: 180°- 90°-45°=45°.

Следовательно, этот треугольник равнобедренный (по свойству).

Площадь прямоугольного треугольника = .

Тогда:Sтреугольника=4*4/2=8 Ответ: 8.

9(а). Подобная задача, только здесь вместо катета известна гипотенуза:

В  прямоугольном треугольнике  гипотенуза равна 70, а один из     острых

углов равен 45°.

Решение:SABC=AB*AC/2.

Треугольник, аналогично, является равнобедренным.

ЗначитAB=AC.

По теореме Пифагора:BC2=AB2+AC2BC2=AB2+AB2702=2AB2

4900=2AB2AB2=2450 SABC=AB*AC/2

SABC=AB2/2=2450/2=1225

Ответ: 1225.

  1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны, соответственно 28 и 100.

Решение:AB=100,AC=28

По теореме Пифагора найдем второй катет:AB2=AC2+BC2

1002=282+BC2BC2=10000-784 BC2=9216 BC=96

SABC=

Ответ: 1344.

  1. Площадь равнобедренного треугольника равна 196√3. Угол, лежащий напротив основания, равен 120°

Решение:

ВысотаBD так же является и медианой, и биссектрисой (по свойству равнобедренного треугольника).

Площадь треугольникаABCSABC=(1/2)AC*BD Так какBD – медиана, тоAC=2AD

Тогда: SABC=(1/2)2AD*BD=AD*BD

Так какBD еще и биссектриса, тоABD=ABC/2=60°

AD=AB*sin( ABD)=AB*sin60° BD=AB*cos( ABD)=AB*cos60° Тогда:

SABC=AB*sin60°*AB*cos60°=AB2(√3/2)*(1/2)=AB2√3/4=196√3

AB2/4=196 AB2=784 AB=28

Ответ: 28.

  1. В треугольникеABCизвестно, чтоDE— средняя линия. Площадь треугольникаCDEравна 9. Найдите площадь треугольникаABC.

Решение:

Проведем высотуCH.

Средняя линия делитCH пополам, как и стороны треугольника.

Следовательно,CK=KH.

По теореме о средней линииAB=2DE.

SCDE=

=9.

DE*CK=18.

ABC

Ответ: 36.

  1. Через   серединуKмедианыBMтреугольникаABCи вершинуAпроведена прямая, пересекающая сторонуBCв точкеP. Найдите отношение площади треугольникаABCк площади

четырёхугольникаKPCM.

Решение:

По условию задачи ВМ  – медиана треугольника АВС, следовательно, по свойству медианы, площади

треугольников АВМ и ВСМ равны, и равны половине площади треугольника АВС.

SABM=SBCM=(SABC)/2.

В свою очередь,AK является медианой для треугольника АВМ, следовательно, по тому же свойству медианыSABК=SAKM=(SABM)/2=(SABC)/4.

Проведем отрезок СК. СК является медианой для треугольника СМВ, следовательно,SCMK=SCKB=(SCMB)/2=(SABC)/4.

Проведем отрезок МЕ, параллельно АР. МЕ является средней линией для треугольника АРС,

следовательно (по теореме о средней линии) СЕ=ЕР. А для треугольника МВЕ КР является средней линией, следовательно ВР=ЕР(=СЕ). Т.е. сторона ВС делится на три равные части точками Р и Е. Проведем высотуh, как показано на рисунке.h является общей высотой для треугольников СКВ и СКР. Выше мы определили, чтоSCKB=(SABC)/4. Площадь этого же треугольника будет равна половине произведения высоты наBC.SCKP=(1/2)*h*РС=(1/2)*h*(2/3)*ВС=(2/3)*(1/2)*h*BC=(2/3)SCKB=(2/12)SABC

=(1/6)SABC.

SKPCM=SCMK+SCKP=(SABC)/4+(1/6)SABC=(5/12)SABC.

Следовательно, отношениеSABCкSKPCMравно 12/5.Ответ: SABC/SKPCM=12/5=2,4.

  1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 16, а площадь равна 32√3.

Решение: S=ab/2=32√3 ab=64√3 a=64√3/b

По теореме Пифагора:c2=a2+b2162=(64√3/b)2+b2|*b2

256b2=642*3+b4

b4-256b2+12288=0

Обозначимb2=tt2-256t+12288=0

Решим это квадратное уравнение:

D=(-256)2-4*12288=65536-49152=16384

D=√16384=√4*4096=√4*4*1024=√4*4*4*256=2*2*2*16=128t1=(-(-256)+128)/2=192

t2=(-(-256)-128)/2=64

Рассмотрим оба случая: 1)t=192=b2b=√192=8√3

По определению,cosα=b/c=8√3/16=√3/2α=30° (по таблице)

По теореме о сумме углов треугольника, второй острый угол равен 180°- 90°-30°=60°

2)t=64=b2

b=8

По определению,cosα=b/c=8/16=1/2α=60° (по таблице)

По теореме о сумме углов треугольника, второй острый угол равен 180°- 90°-60°=30°

Ответ: 30° и 60°

  1. МедианаBMи биссектрисаAPтреугольникаABCпересекаются в точкеK, длина стороныACотносится к длине стороныABкак 9:7.Найдите

отношение площади треугольникаABKк площади четырёхугольникаKPCM.

Решение:

BM – медиана треугольника АВС, следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника  (свойство медианы).

SABM=SCMB=SABC/2

Рассмотрим треугольникABM.SABK+SAKM=SABM=SABC/2

AP – биссектриса, по теореме о биссектрисе можно записать

AM/AB=KM/BK.

По условию задачиAC/AB=9/7, следовательно, 2AM/AB=9/7 =>AM/AB=9/14 =>KM/BK=9/14

Т.к. площадь треугольника вычисляется по формулеS=1/2*h*a, где а- основание иh-высота, то можем записать:SAKM=1/2*h*KM=1/2*h*((9/14)*BK)=9/14*(1/2*h*BK)=9/14*SABK(т.к. высотаh для этих треугольников общая)

SABK+SAKM=SABM=SABC/2SABK+9/14*SABK=SABC/2 23/14*SABK=SABC/2SABK=14SABC/46

По тому же свойству биссектрисы для треугольникаABC получаем, чтоAC/AB=CP/PB

AC/AB=9/7 (по условию задачи) =>CP/PB=9/7 следовательно,CP=9*PB/7

SAPC=1/2*h*PC=1/2*h*(9*PB/7)=9/7*(1/2*h*PB)=9/7*SABP,SABP+SAPC=SABC

SABP+9/7*SABP=SABC16/7*SABP=SABCSABP=7/16*SABC

Далее найдем площадь треугольникаBPK:

SBPK=SABP-SABK

Ранее мы нашли, чтоSABK=14SABC/23SBPK=7SABC/16-14SABC/46=322SABC/736- 224SABC/736=98SABC/736=49SABC/368

Найдем площадь четырехугольникаKPCM:SKPCM=SCMB-SBKP

SKPCM=SABC/2-49SABC/368, (площадьCMB мы нашли ранее),

SKPCM=184SABC/368-49SABC/368=135SABC/368

Отношение площадейABK кKPCM

=(14SABC/46)/(135SABC/368)=(14*368)/(46*135)=(14*8)/135=112/135

Ответ: отношение площади треугольникаABK к площади четырёхугольникаKPCM=112/135.

Параллелограмм:

  1. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение:

По формуле находим площадь параллелограмма:S =a*ha

Sпараллелограмма=12*(5+5)=120 см2.

Ответ: 120.

  1. На клетчатой бумаге с размером клетки1×1изображён параллелограмм.Найдите его площадь.

Решение:

По той же формуле, что использовали в предыдущей задаче, находим площадь:

S = 7*2=14клетка2.

Ответ: 14.

  1. ВысотаBHпараллелограммаABCDделит его сторонуADна отрезкиAH=2 иHD=64.Диагональ параллелограммаBDравна 80. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

Для нахождения площади нам необходимо знать длину основания и высоты.

Найдем высоту по теореме Пифагора:BD2=HD2+BH2

802=642+BH2

6400=4096+BH2BH2=2304BH=48

Основание состоит из отрезковAH иHD. Тогда:Sпараллелограмма=BH*AD=BH*(AH+HD)=48*(2+64)=48*66=3168.Ответ: 3168.

  1. В параллелограммеABCDдиагоналиACиBDпересекаются в точкеK. Докажите, что площадь параллелограммаABCDв четыре раза больше площади треугольникаAKD.

Решение:

Рассмотрим треугольникиABC иACD. СторонаAC - общая для этих треугольников,AB=CD иBC=AD (посвойствупараллелограмма), следовательно, рассматриваемые треугольники равны (потретьему признаку). А значит, равны и их площади, и равны эти площади половине площади параллелограмма.

Рассмотрим треугольникACD, как только что выяснили, площадь этого треугольника равна половине площади параллелограмма. ОтрезокDK - являетсямедианой (по третьемусвойству параллелограмма), и соответственно делит этот треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. равных по площади (свойство медианы).

Следовательно,  площадьAKD  равна  половине  площади   треугольника

ACD.

.

ч.т.д.

  1. В параллелограммеABCD проведена диагональAC. ТочкаO является центром окружности, вписанной в треугольникABC. Расстояния от точкиO до точкиA и прямыхAD иAC соответственно равны 25, 8 и 7.Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

По свойству касательной:

OF - радиус окружности, т.к.OF проходит через центр окружности и перпендикулярен касательнойAC.

AG=AF BG=BH=x CH=CF=y

AF найдем по теореме Пифагора:AO2=AF2+OF2

252=AF2+72

625=AF2+49AF2=576AF=24=AG

EH – высота параллелограмма.EH=OH+OE=7+8=15

SABC=p*r, гдеp - полупериметр,r - радиус вписанной окружности.p=(AB+BC+AC)/2.

Рассмотрим треугольникиABC иCDA.

AD=BC иAB=CD (по свойству параллелограмма).AC - общая сторона.

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников, данные треугольники равны.

Тогда:SABCD=2*SABC

И в тоже времяSABCD=EH*AD. Приравняем полученные равенства:p*r=EH*AD/2 (AB+BC+AC)/2*r=EH*BC/2

(AG+GB+BH+HC+CF+AF)*r=EH*(BH+HC)

(24+x+x+y+y+24)*7=15*(x+y) (48+2x+2y)*7=15*(x+y) 336+7(2x+2y)=15*(x+y)

336+14(x+y)=15*(x+y)

336=x+y x+y=BC=AD

SABCD=EH*AD=15*336=5040

Ответ: 5040.

  1. Биссектрисы угловA иB параллелограммаABCD пересекаются в точкеK. Найдите площадь параллелограмма, еслиBC=2, а расстояние от точкиK до стороныAB равно 1.

Решение:

Обозначим точки пересечения биссектрис со сторонами как показано на рисунке.

FAK=BEK (т.к. это накрест лежащие углы).

Получается,  чтоBAK=BEK,  следовательно,  треугольникABE – равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника). ТогдаAB=BE.

ТреугольникиABK иEBK равны по первому признаку равенства треугольников.

параллелограмма равна 2h.

Следовательно, и высоты у этих треугольников тоже равны.

Аналогично, равны и треугольникиABK иAFK.

Получается, что высота

Площадь параллелограмма равнаSABCD=2h*BC=2*1*2=4.Ответ: 4.

  1. Внутри параллелограммаABCD выбрали произвольную точкуE. Докажите, что сумма площадей треугольниковBEC иAED равна половине площади параллелограмма.

Решение:

Проведем отрезок перпендикулярный сторонамAD иBC, проходящий через точку Е.

Площадь параллелограмма:SABCD=AD*GF

Площадь треугольникаAED:

SAED=AD*EF/2

Площадь треугольникаBEC:SBEC=BC*EG/2

AD=BC (посвойству параллелограмма).

SBEC+SAED=BC*EG/2+AD*EF/2=AD*EG/2+AD*EF/2=

=EG+EF)*AD/2=GF*AD/2=SABCD/2

ч.т.д.

Ромб:

  1. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 20 и 6.

Решение:

По формуле получаемсм2.

Ответ: 60.

  1. Периметр ромба равен 56, а один из углов равен 30°.Найдите площадь этого ромба.

Решение:

Воспользуемся формулой:                    .

Для  этого  нам  необходимо   узнать длину  стороны,  а  это  мы   легко сделаем, зная периметр

Р=56. Следовательно, а = 56:4=14.

А синус 30 градусов равен

Подставляем в формулу: 142/2=196/2=98см2.

Ответ: 98.

  1. ВысотаBH ромбаABCD делит его сторонуAD на отрезкиAH=44 иHD=11.Найдите площадь ромба.

Решение:

Будем использовать формулу:S=a*h.AD=AH+HD=44+11=55.

AD=AB=BC=CD (по определению ромба). Рассмотрим треугольникABH.

ABH – прямоугольный (т.к.BH – высота), тогда по теореме Пифагора:AB2=BH2+AH2

552=BH2+442

3025=BH2+1936BH2=1089BH=33

Sромба=AD*BH=55*33=1815см2.Ответ: 1815.

  1. Площадь ромба равна 15, а периметр равен 20.Найдите высоту ромба.

Решение:

Все стороны ромба равны (по определению). ПоэтомуP=20=4a, где а - сторона ромба.a=20/4=5

S=ah, гдеh – высота ромба.

15=S=ah=5h h=15/5=3 см Ответ: 3.

  1. Сторона ромба равна 74, а диагональ равна 48.Найдите площадь ромба.

Решение:

Будем пользоваться формулой нахождения площади через диагонали, но для этого требуется узнать длину второй диагонали.

Тогда мы воспользуемся теоремой Пифагора и, зная, что при пересечении диагонали точкой пересечения делятся пополам, получим:

,

742= 242+x2, гдеx – половина второй диагонали.

x2=5476 – 576 = 4900 = 702

Тогдаd2=2*70=140

Можно подставлять все в формулу:S = 140*48/2 = 3360 см2.

Ответ: 3360.

  1. Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до неё равно
    1. Найдите площадь ромба.

Решение:

Обозначим ключевые точки  как показано  на рисунке. Проведем продолжение высотыOE к сторонеAB и обозначим точку

пересечения какF (как показано на рисунке).

Площадь ромба  равна произведению высоты на сторону ромба.

Высота ромба =EF (т.к.EF перпендикулярнаCD). Рассмотрим треугольникиDOE иBOF.

DO=OB (по свойству ромба: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.)

DOE=BOF (т.к. они вертикальные)

EDO=FBO (т.к. это внутренние накрестлежащие)

Следовательно, треугольникиDOE иBOF равны по  второму    признаку.

Тогда OE=OF => EF=2*OE=2*1=2

Sромба=EF*CD=2*9=18 Ответ: 18.

  1. Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 36.

Решение:

Для удобства введем обозначения:

a - сторона ромба (они равны по определению ромба)d - диагональAC

36d - диагональBD (по условию)AEk

EBt

Площадь параллелограмма через диагонали равнаBD*AC*sinα/2 = 36d*d*sinα/2 = 18d2*sinα, гдеα - угол между диагоналями (при чем не важно  какой,  так  как  синусы  обоих  углов  будут  равны  друг    другу).

Так как стороны ромба параллельны диагоналям,

образуется маленький параллелограмм, а значит противоположные    углы   равны

(по свойству параллелограмма). Рассмотрим треугольникиABC иEBF.

EBF – общий

BFE=BCA (это соответственные углы для параллельных прямыхEF иAC с секущейFC)

Следовательно, треугольникиABC иEBF подобны (по первому признаку подобия).

Тогда EF/AC=a/d=t/(t+k)

Аналогично, подобны и треугольникиABD иAEH. Для них справедливо:a/36d=k/(t+k)

Складываем эти два уравнения:a/d+a/36d=t/(t+k)+k/(t+k) 36a/36d+a/36d=(t+k)/(t+k) 37a/36d=1

37a=36d

a=36d/37 Sромба=a2sinα

Sпараллелограмма=18d2*sinα (это мы выяснили ранее)

Sромба/Sпараллелограмма=(a2sinα)/(18d2*sinα)=a2/(18d2)=(36d/37)2/(18d2)=

=(362*d2)/(372*18*d2)=1296/(372*18)=72/372

Ответ: 72/372

Прямоугольник. Квадрат.

  1. Площадь прямоугольного земельного участка равна 20 га, ширина участка равна 200 м. Найдите длину этого участка в метрах.

Решение:

В одной гектаре 10 000 м2.S = a*b

200*10 000 = 200*b

b = 200 000 : 200 = 1 000м.

ответ: 1 000.

  1. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 8 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 40 см.Сколько потребуется таких дощечек?

Решение:

Находим площадь дощечки: Sдощечки= 10*40 = 400см2

Теперь площадь комнаты в метрах:

Sкомнаты= 8м*7м = 800 см * 700 см = 420 000 см2.

Для того, чтобы узнать сколько дощечек потребуется разделим площадь комнаты на площадь одной дощечки:

420000 : 400 = 1050 штук.

Ответ: 1050.

  1. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок).Найдите площадь получившейся фигуры.

Решение:

Площадь получившейся фигуры найдем, если вычтем из площади квадрата площадь прямоугольника.

Sквадрата=a2= 82=64см2

Sпрямоугольника=a*b = 5*1 = 5 см2S = 64 – 5 = 59 см2.

Ответ: 59.

  1. Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 14 см и 27 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 558 см2. Какова ширина окантовки?Ответ дайте в сантиметрах.

Решение:

Обозначим ширину окантовки какa.

Тогда ширина бумаги будет (2a+14) см (2a потому, что окантовка с обоих сторон от картинки).

Высота бумаги - (2a+27) см. Sбумаги=(2a+27)(2a+14)=558 4a2+54a+28a+378=558

4a2+82a – 180 = 0

a2+20,5a – 45 = 0

Решим это квадратное уравнение:

D=20,52– 4*1* (-45) = 420,25+180 = 600,25 = 24,52

Следовательно, ширина окантовки 2 см.

Ответ: 2.

  1. В прямоугольнике одна сторона равна 4, а диагональ равна 5.Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

По теореме Пифагора найдем вторую сторону прямоугольника:b2= 52– 42= 25 – 16 = 9 =  32.

Теперь находим площадь:S =a*b = 3*4 = 12см2.

Ответ: 12.

  1. Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 19.

Решение:

Стороны квадрата являются касательными к окружности, следовательно, отрезок, проведенный от центра окружности к точке касания, будет перпендикулярен стороне квадрата и равен радиусу окружности (По свойству касательной).

Значит, что сторона квадрата равна диаметру окружности, или двум радиусам, т.е. 2*19=38

Площадь квадрата равна произведению сторон:S=38*38=1444см2.

Ответ: 1444.

  1. Периметр квадрата равен 36. Найдите площадь этого квадрата.

Решение:

Воспользуемся формулой:           .

Для  этого  нам  необходимо   узнать длину  стороны,  а  это  мы   легко сделаем, зная периметр квадрата:

Р=36. Следовательно, а = 36:4=9. Подставляем в формулу: 92=81см2.

Ответ: 81.

Трапеция.

  1. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение:

По формуле находим площадь трапеции:

клетка2.

Ответ: 32.

  1. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение:

AD =AH+HD=64+76=140

.

Ответ: 7224.

  1. Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30°.Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Основания      нам      известны,      найдем      высоту      трапеции. Проведем высоту. Получившийся треугольник является прямоугольным. По определению синуса можем записать:sin30°=h/3 =>h=3*sin30°,sin30°=1/2 (табличное значение).

h=3*1/2=1,5.

Sтрапеции=(3+9)/2*1,5=9 Ответ: 9.

  1. Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 17, а её боковые стороны равны 10.Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции будем находить по формуле, используемой в предыдущей задаче.

Проведем высоты, как показано на рисунке.

ТреугольникиABE,DCF равны по трем сторонам. Если примемAE заx, то отрезокAD = 2x+5=17 2x=12

x=6

По теореме Пифагора найдем катетBE, который является высотой трапеции.

, Теперь найдем площадь:

S = 8(5+17)/2=88см2.

Ответ: 88.

  1. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°.Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

Проведем высоты как показано на рисунке. И рассмотрим треугольникCDF.     Это     прямоугольный      треугольник      (т.к.CFD      -     прямой). По теореме о сумме углов треугольника найдем уголFCD

FCD=180°-90°-45°=45°. Заметим, чтоFCD=FDC.

Следовательно, треугольник равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника). Отсюда следует, чтоFD=FC (по определению равнобедренного треугольника).

Рассмотрим треугольникABE.BAE=FDC=45° (т.к. по условию задачи трапеция равнобедренная).

Аналогично   по   теореме   о   сумме   углов   треугольника   получим, что

ABE=180°-90°-45°=45°, а следовательно (аналогично предыдущему треугольнику) треугольникABE – равнобедренный.

Причем эти треугольники равны (AB=CD,BE=CF иABE=FCD  – первый признак равенства)=>AE=FD. Рассмотрим четырехугольникBCFE.

Т.к.BC||EF,BE иFC - высоты, следовательно,BEF=90°=CFE.

EBC=BCF=90°. Следовательно, четырехугольникBCFE - прямоугольник =>BC=EF.

Теперь можем записать:

AD=AE+EF+FD, 9=AE+3+FD, 9=AE+3+AE 6=2*AE =>AE=3.

Т.к.AE=BE=3, аBE-высота трапеции, то теперь можем вычислить площадь трапеции.

Sтрапеции=(BC+AD)/2*BE Sтрапеции=(3+9)/2*3=18.

Ответ: 18.

  1. В трапецииABCDизвестно, чтоAD=6,BC=2, а её площадь равна
  1. Найдите площадь трапецииBCNM, гдеMNсредняя линия трапеции

ABCD.

Решение:

Воспользуемся формулой через основания и высоту. Для этого необходимо найти основаниеMN трапецииBCNM и высоту.

MN найдем с помощью формулы средней линии трапеции:

.

,

,

Следовательно,          см

Высота делится точкой пересечения средней линией и высоты пополам, т.к. располагается на средней линии, а средняя линия делит стороны трапеции пополам.

Значит, высота трапецииBCNM равна половине 8, т.е. 4 см. Можем подставить все данные и формулу:

2

Ответ: 12.

см

  1. Основания трапеции равны 3 и 16, одна из боковых сторон равна

, а угол между ней и одним из оснований равен 135°.Найдите площадь трапеции.

Решение:

Сумма соседних углов при боковых сторонах трапеции равна 180 градусам. Тогда, еслиD= 135°(по условию), то А=180° – 135° = = 45°. Рассмотрим треугольникADH.

Найдемh по формуле: синус угла А равен отношению противолежащей стороны на гипотенузу.

Противолежащая сторона – высота, которую надо найти, чтобы вычислить площадь трапеции.

,

,

Тогда:                                   см2

Ответ: 152.

  1. Основания трапеции равны 20 и 26, одна из боковых сторон равна

, а угол между ней и одним из оснований равен 120°.Найдите площадь трапеции.

Решение:

ABH=120° - 90° = 30°

Рассмотрим  треугольникABH – прямоугольный:

В = 30°   ВН =

По теореме Пифагора:

.

Ответ: 276.

,

  1. В трапецииABCDAD=4,BC=1, а её площадь равна 35.Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Площадь трапеции равнаh*(a+b)/2, гдеa иb - основания трапеции,h - высота трапеции.

hтрапеции*(4+1)/2=35 (по условию задачи)h=35/2,5=14

Проведем высоту треугольникаABC, как показано на рисунке.

hтреугольника=hтрапеции, так как они обе перпендикулярны  одним  и  тем  же  параллельным

основаниям трапеции и образуют прямоугольник.Sтреугольника=hтреугольника*BC/2=14*1/2=7

Ответ: 7.

  1. В трапецииABCDоснованиеADвдвое больше основанияВСи вдвое больше боковой стороныCD.УголADCравен 60°,сторонаABравна 1. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем высотыBE иCF как показано на рисунке.

Рассмотрим треугольникCDF. Он прямоугольный, т.к.CF-высота. По теореме о сумме углов треугольникаFCD=180°- 90° - 60°=30°. По

определению синуса                                        °

Т.е.DF=CD/2,CD, в свою очередь, по условию задачи равноAD/2, получаем, чтоDF=AD/4.

BC=AD/2 (по условию задачи)EF=BC=AD/2 (т.к.BCFE - прямоугольник)

Вычислим AE, AE=AD-DF-EF=AD-AD/4-AD/2=AD/4, т.е. мы получили, что AE=FD

Рассмотрим треугольникиABE иDCF:BE=CF (т.к.BCFE - прямоугольник)AE=FD (только что получили)

AEF=90°=DFC, тогда по первому признаку равенства, треугольникиABE иDCF равны.

Следовательно,AB=CD, т.е. наша трапеция равнобедренная.

AB=CD=1 (по условию задачи),AD=2*CD=2*BC=2 (тоже по условию),BC=CD=1

FD=AD/4=0,5

По теореме ПифагораCD2=CF2+FD2

12=CF2+0,52CF2=0,75

CF= = *3=0,5SABCD=(BC+AD)/2*CF=(1+2)/2*0,5SABCD=0,75

Ответ: 0,75    .

  1. Площадь параллелограммаABCD равна 56. ТочкаE — середина стороныCD.Найдите площадь трапеции AECB.

Решение:

Sпараллелограмма=AB*h=56

Первый вариант решения

Проведем высотупараллелограммаDO, как показано на рисунке. Площадь параллелограмма равна произведению стороны      на      высотупараллелограмма.

А площадьтрапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Sтрапеции=h*(AB+EC)/2.EC=DC/2 (по условию задачи).

DC=AB (посвойству параллелограмма). СледовательноEC=AB/2.

ТогдаSтрапеции=h*(AB+AB/2)/2 =h*(3*AB/2)/2 =h*3*AB/4=h*AB*3/4=Sпарал-ма*3/4=56*3/4=42.

Ответ:Sтрапеции=42.

Второй вариант решения задачи

Отметим точку М на АB, так чтобыAM=MB

SADEM=SMECB, т.к. ЕМ делитABCD на

равные части.

2) ТреугольникAED равен треугольникуEAM (попервому признаку):

  1. AED =EAM (т.к.AB||CD,AE - секущая, а эти углы -внутренниенакрест лежащие)

DЕ=AM

AE - общая сторона

  1. Пусть площадь треугольникаAED = х, тогдаSABCD= 4x т.к.EM делитABCD пополам.

4x = 56

x = 14

SAECB= SABCD- SAED= 4x-x = 3x SAECB= 3*14 = 42

Ответ: площадь трапеции 42 см в кв.

  1. На средней линии трапецииABCD с основаниямиAD иBC выбрали произвольную точкуF. Докажите, что сумма площадей треугольниковBFC иAFD равна половине площади трапеции.

Решение:

Проведем через точкуF высоту трапецииh.

Высотаh делится точкойF пополам, т.к. располагается на средней линии, а средняя линия делит стороны трапеции пополам.

Таким образом, получается, что высота обоих треугольников равнаh/2. Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание треугольника.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.SBFC=(h/2)*BC/2

SAFD=(h/2)*AD/2

SBFC+SAFD=(h/2)*BC/2+(h/2)*AD/2=(h/2)(BC+AD)/2=(h*(BC+AD)/2)/2=SAB

CD/2

ч.т.д.

Приложение 3.

Вывод формул площадей многоугольников

  1. Площадь треугольника. Формула Герона

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведённую к ней высоту:

S=1a×h.

2

Доказательство проводится очень просто.Данный треугольникАВС(рис.

  1. достроим до параллелограммаABDC. ТреугольникиABCиDCBравны по трём сторонам, поэтому их площади равны. Значит, площадь треугольникаАВСравна половине площади параллелограммаABDC, т. е.

S=1AB×CH.

2

Рис. 8

Но здесь возникает следующий вопрос: почему три возможных полупроизведения основания на высоту для всякого треугольника одинаковы? Это, впрочем, легко доказать из подобия прямоугольников с общим острым углом. Рассмотрим треугольникАВС(рис. 9):

Тогда

AA1^BC;

BB1^

AC;CC1^

AB.

DABB1

DAСС1;

DСBB1

DСАA1

И, следовательно,

AB=AC;

BB1CC1

BC=AC,

BB1AA1

откуда

АВ×СС1=

AC×BB1;

АВ×BB1=BC×AA1

1АВ×СС

=1AC×BB

=1BC×AA.

и212

121

Рис. 9

Однако в школьных учебниках так не делается. Наоборот, равенство трёх полупроизведений устанавливается на основе того, что все эти полупроизведения  выражают  площадь  треугольника.  Таким  образом, неявно

используется   существование   единственной  функции

S(F).   А   ведь здесь

появляется удобная и поучительная возможность продемонстрировать пример математического моделирования. Действительно, за понятием площади стоит физическая реальность, но прямая проверка равенства трёх полупроизведений показывает добротность перевода этого понятия на язык математики.

Пользуясь приведённой выше теоремой о площади треугольника очень часто бывает удобно сравнивать площади двух треугольников. Приведём ниже некоторые очевидные, но важные следствия из теоремы.

Следствие 1. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной её основанию, то его площадь при этом не меняется.

На рис. 10 треугольникиАВСиАВDимеют общее основаниеАВи равные высоты, опущенные на это основание, т. к. прямаяа, которая содержит вершиныСиDпараллельна основаниюАВ, а поэтому площади этих треугольников равны.

Рис. 10

Следствие 1. Можно переформулировать следующим образом.

Следствие 1′. Пусть дан отрезокАВ. Множество точекМтаких, что площадь  треугольникаАМВравна  заданной  величинеS,  есть  две    прямые,

2S

параллельные отрезкуАВи находящиеся от него на расстоянии

11)

h=(рис.

2AB

Рис. 11

Следствие 2. Если одну из сторон треугольника, прилежащих к данному его углу, увеличить вkраз, то площадь его также увеличится вkраз.

На рис. 12 треугольникиАВСиABDимеют общую высотуВH, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований

SDABC

:SDABD

=AC:AD=k.

Из следствия 2 следуют важные частные случаи:

  1. Медиана делит треугольник на две рановеликие части.
  2. Биссектриса угла треугольника, заключённая между его сторонамиа

иb, делит его на два треугольника, площади которых относятся какa

:b.

Следствие 3. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.

Это следует из  того, что (рис. 12)

SDABC:SDABD

=BC

:BD,

поэтому

SDABCSDEBD

SDABD:SDEBD

AB×BC

=.

EB×BD

=AB:EB,

Рис. 12

В частности, имеет место следующее утверждение:

Если два треугольника подобны и сторона одного из них вkраз больше соответствующих сторон другого, то его площадь вk2раз больше площади второго.

Выведем формулу Герона для площади треугольника следующими двумя способами. В первом используем теорему косинусов:

с2=a2+b2-2abcosg, (1.1)

гдеa,b,c– длины сторон треугольника,γ– угол, противолежащий сторонес.

Из (1.1) находим

Значит,

cosg

a2+b2-c2

=.

2ab

sin2g

=1-cos2g

=(1-cosg)(1+cosg)=

2 2 2

2 22

2ab-a-b+c2ab+a+b-c

×=

2ab

c2-(a-b)2

=

2ab

(a+b)2-c2

×

2ab

2ab

=

 1

×(c-a+b)×(c+a-b)×(a+b-c)×(a+b+c).

4a2b2

Замечая, что

a+b+c=2p,

a+b-c=2p-2c,

a+c-b=2p-2b,

c-a+b=2p-2a,

где

p=a+b+c- полупериметр треугольника, получаем:

2

sing

=2

ab

p(p-a)(p-b)(p-c).

Таким образом, площадь треугольника

S=1absing=.

2

Формулу Герона можно вывести, опираясь только на теорему Пифагора и не используя теорему косинусов.

Рассмотрим произвольный треугольникАВС(рис. 6) со сторонамиa,b,c.

Рис. 13

В нём всегда найдётся высота, основание которой лежит на стороне треугольника, а не на её продолжении. Искомая площадь треугольникаАВС:

1

S=aha,

2

следовательно, для её определения достаточно вычислить Пифагора:

ha. По теореме

Кроме того,

x2+h2=b2,

y2+h2

=c2.

x,y:

x+y=a.

Решаем полученную систему трёх  уравнений с тремя   неизвестными

ha,

ìx2

ï2

íy

=b2

=c2

(1.2)

ïx+

î

y=a

Вычитая из первого уравнения системы (1.4) второе, имеем:

ìx2-y2

í

=b2-c2

ì(x+y)(x-y)=b2-c2

Û íÛ

îx+y=a

2 2

îx+y=a

ìa2+b2-c2

ì

ïx-y=

í

b-c

a

ïïx= 2a

.

2 22

ïx+y=a

ïy=a+c-b

îïî2a

Теперь из первого уравнения системы (1.2) находим

ha:

ha===

=1 2a

=1 2a

(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=

p(p-a)(p-b)(p-c)Þ

S=.

Предложенный вывод формулы Герона отражает межпредметные связи алгебры и геометрии, он доступен учащимся сразу же после изучения теоремы Пифагора.

  1. Площадь прямоугольника

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Рассмотрим одно из доказательств этой теоремы, которое в школьном курсе не рассматривается.

Пусть нам дан прямоугольник со сторонамиa,bи площадьюS(рис.    14).

Докажем, что

S=ab.

Рис. 14

Достроим прямоугольник до квадрата со сторонойa +b. Площадь этого квадрата(a+b)(a-b).

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадьюS, равного ему прямоугольника с площадьюSи двух квадратов с

площадями

a×a=b×b.

Из чего имеем:

Отсюда получаем:

Теорема доказана.

(a+b)(a-b)=S+S+aa+bb,

(aa+2ab+bb)=2S+aa+bb.

S=ab.

  1. Площадь трапеции

Докажем следующую формулу для вычисления площади трапеции:

Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, опущенного на неё из середины другой боковой стороны.

Доказательство. ПустьABCD– данная трапеция (AD||BC),K– середина

стороны (рис. 15)

CD,KH–  перпендикуляр,  опущенный  из  точкиKна  прямуюAB.

Рис. 15

Проведём через точкуKпрямую, параллельную прямойАВ. ПустьМиР

– точки её пересечения с прямымиВСиAD. ПараллелограммАВМРравновелик данной трапеции, так как пятиугольникАВСКРявляется для них общим, а треугольникСМКконгруэнтен треугольникуKPD, т. е. трапеция и параллелограмм составлены из одинаковых частей.

Поскольку площадь параллелограмма равна произведению его основания

АВна высотуКН, утверждение доказано.

Замечание. Последний абзац решения можно (более формально)  записать

и так:

SABMP

=SABCKP+SCMK,

SABCD

=SABCKP+SKPD

(по построению),

DKPD= DCMK(по стороне и двум прилежащим углам),   поэтому

SDKPD

=SDCMK,

следовательно,

SABCD

=SABMP

=AB×KH.

  1. Площадь четырёхугольника

Школьная программа предусматривает вычисление площадей фактически двух видов выпуклых четырёхугольников: параллелограмма и трапеции. Для

четырёхугольника, фактически не являющегося параллелограммом или трапецией, формула нахождения его площади не выводится. В то же время применение такой формулы для решения ряда задач было бы удобным. Имеется в виду формула вычисления площади произвольного выпуклого четырёхугольника, которую можно назвать аналогом формулы Герона, учитывая их некоторое внешнее свойство.

Докажем следующуютеорему: площадь произвольного выпуклого четырёхугольника может быть определена по формуле:

S=,

где

A=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d),a,b,c,d– длины сторон,р

полупериметр,δиβ– противолежащие углы четырёхугольника.

Доказательство. Пусть в четырёхугольникеABCD АВ = а,ВС =b,CD =c,DA =d;ÐABC=β,ÐADC=δ(рис. 16)

ИзDABC

Рис. 16 в силу теоремы косинусов

AC2

=a2+b2-2abcosb

ИзDADC:

AC2

=c2+d2-2cdcosd.

Приравнивая правые части этих выражений, получим:

a2+b2-2abcosb

=c2+d2-2cdcosd,

или

a2+b2-c2-d2

=2abcosb

-2cdcosd. (1.3)

Найдём площадь четырёхугольникаABCDкак сумму площадей треугольниковABCиADC:

откуда

S=1absinb

2

2

4S=2absinb

(1.4)

В равенствах (1.3) и (1.4) обе части возведём в квадрат, а затем почленно сложим:

(a2+b2-c2-d2)2+16S2

=(2abcosb

Выполним равносильные преобразования, получим

S=,

что и требовалось доказать. Теорема имеет ряд следствий.

Следствие 1. Площадь произвольного четырёхугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле (как было сказано выше) Брахмагупты:

S=.

Доказательство сразу следует из теоремы, рассмотренной выше, с учётом того, что сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 1800, т. е.

b+d

=1800,

cosb+d

2

=cos 900=0.

Поэтому

S=.

Следствие 2. Площадь произвольного четырёхугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле:

S=.

Доказательство. Так как у описанного четырёхугольника суммы противолежащих сторон равны, т. е.

a+b=b+d,

то

p-a=c, Имеем:

p-b=d,

p-c=a,

p-d

=b.

S==

==

Следствие 3. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность и описанного около окружности, может быть вычислена по формуле:

S=.

Доказательство. Так как

a+с=b+d

и в силу следствия 1

S=,

S=с+d+b-a×с+d+a-b×a+d+b-c×с+a+b-d=

то 2 2 2 2

=2c×2d

×2a×2b=

abcd.

2 2 2 2

  1. Универсальная формула

Существует универсальная формула, известная в математике под названием формулы Симпсона, с помощью которой можно вычислять площади плоских фигур: параллелограмма, трапеции и треугольника.

Она имеет вид:

S=h(b

b-  длина  нижнего основания,

b-  длина

61 2 31 2

среднего основания,b3

Применяя формулу, имеем:

Для параллелограмма (квадрата, прямоугольника) (рис. 17, а)

S=h(b

61

для трапеции (рис 17, б)

1 1 1

S=h(b

+4b1+b3+b

)=h(b

+b),

612

321 3

для треугольника (рис 17, в)

S=h(b

+4b1

+0)=b1h.

612 2

а) б)

в) Рис. 17

  1. Площадьn-угольника

Теорема. Площадь всякого описанного многоугольника равна произведению периметра на половину радиуса.

Рис 18