Разработка модели и решение задачи линейного программирования (на примере задачи о составлении графика работы персонала)



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ (МГОУ)

                    Кафедра  «Прикладная математика и информатика»

КУРСОВАЯ РАБОТА

социально-экономических процессов»

Тема:  Разработка модели и решение задачи линейного программирования (на примере задачи о составлении графика работы персонала)

Выполнила  студентка:

21 группы  2 курса

Очно-заочной формы обучения

Экономического факультета

Усманова М.Р.

Научный руководитель:

Протасов Ю.М.

20 __ г.

Оценка: ____________________________

__________________________________

            (подпись научного руководителя)

Регистрационный номер ________

Дата регистрации ______________

Москва - 2015

Оглавление

Введение

В современных условиях приходится все чаще принимать серьезные и ответственные решения, но сделать это порой невозможно без помощи компьютера и находящихся в нем данных. Для того чтобы организация функционировала на достаточно высоком уровне при минимальном, но, при этом, эффективном использовании трудовых ресурсов, требуется учитывать множество факторов.

Одним из таких факторов является правильное управление персоналом. От того, в какой степени предприятие обеспеченно трудовыми ресурсами зависит результат многих экономических показателей. При эффективном применении трудовых ресурсов на производстве оборудование, машины и механизмы используются более оперативно, сокращается объем и своевременность выполнения поставленных целей и задач, вследствие чего растет объем производства продукции, прибыль. Именно рациональное использование персонала («живого капитала») – условие, которое обеспечивает успешное выполнение производственного процесса.

Однако во многих отраслях производства имеется большой объем задач планирования и управления, а, следовательно,  большой объем переменных и условий, с которым организация быстро справляется с помощью компьютеров и методов математического программирования.

Использование методов математического программирования в коммерческой деятельности связано сначала со сбором работником организации необходимой информации, а после постановкой задачи вместе с математикой. Многие методы математического программирования реализованы в виде пакета стандартных программ уже на компьютере, и доступ к ним обычно автоматизирован и не составляет трудностей. Программы обрабатывают необходимую информацию, проводят расчеты календарных планов и выдают результат вычислений в удобном для пользователя виде.

Наиболее развитые в области решения оптимизационных задач -  методы линейного программирования.

Данная тема актуальна, так как методы линейного программирования позволяют описать широкий спектр задач управления с достаточной точностью. Задачи линейного программирования ищут значения одного параметра с определенной целью или же нескольких параметров, обеспечивающих некоторый наперед заданный результат, что очень значимо для многих организаций. Такой результат может быть как конкретным, так и минимально или максимально возможным. Это помогает выявлять проблемы выпуска продукции, анализировать процесс расширения производства, составлять  наилучший плана загрузки оборудования, максимизировать прибыль и минимизировать затраты на содержание персонала. Помогает также планировать товарооборот и товароснабжение города или района, размещать розничную торговую сеть города,  прикреплять торговые предприятия к поставщикам, организовывать рациональные перевозки и закупки товаров, планировать капиталовложения, распределять работников торговли по должностям, оптимизировать межотраслевые связи и режим работы, определять оптимальный ассортимент товаров в условиях ограниченной площади.

Целью выполнения курсовой работы является закрепление и углубление знаний по основам и методам математического модулирования социально-экономических процессов, практическое применение теоретических знаний при решении задачи о составлении графика работы персонала.

Задачи исследования, которые необходимо выполнить для достижения поставленной цели:

1) Исследовать теоретические основы решаемой задачи о составлении графика работы персонала

2) Разработать экономико-математическую модель решаемой задачи о составлении графика работы персонала

3) Проанализировать результаты расчетов и оценить проблемы эффективности использованной методики расчета

В процессе выполнения работы использовались следующие методы исследования:

1) Изучение и анализ литературы по линейному программированию и математическому модулированию, статей в интернете, научных журналов.

2) Подытоживание изученной информации

3) Анализ информации и её сравнение с помощью графиков и таблиц

Практическая значимость работы заключается в том, что её можно использовать в дальнейшем при исследовании и разработки модели линейного программирования, решении задачи о составлении графика работы персонала.

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

  1. Общая математическая формулировка экономико-математической задачи.

Задача эффективного управления в любой сфере деятельности состоит в достижении наилучших результатов с точки зрения целей определенной организации, с использованием доступных ресурсов, и в условиях каких-либо ограничений на её деятельность, которые налагаются внешней средой.

Экономико-математическая модель — это математическое описание исследуемого экономического объекта или процесса. Эта модель с помощью математических соотношений представляет закономерности экономического процесса в абстрактном виде. Использование математического моделирования в экономике позволяет развить область экономической информации, повысить и ускорить экономические расчеты, а также углубить количественный экономический анализ.

Экономико-математические модели и методы применяют для поиска наилучшего и оптимального решения (максимума или минимума). Но задачи математического программирования применяют только тогда, когда имеется два и более допустимых решения.

Разработку любой модели оптимизации можно разбить на 5 стадий, не имеющих четких границ и частично перекрывающих друг друга:

1. Постановка (формулировка) задачи.

2. Разработка математической модели изучаемой системы.

3. Отыскание решения с помощью этой модели.

4. Проверка данной модели и решения.

5. Уточнение решения на практике.

Математическая постановка задачи линейного программирования в общем виде состоит в определении значения целевой функции.

Целевой функцией называют величину, значение которой количественно характеризует цель, которую мы хотим достичь. Это может быть прибыль от производства, где наша цель сделать ее максимальной, или затраты, когда цель – их минимизировать. Математически это записывается так:

Е =F (х;y)

Где Е – мера общей эффективности

F – функция, задающая соотношение между Е, х,y.

х – переменные или неизвестные величины, которые мы можем изменять (и от которых зависит целевая функция). Мы стремимся найти такие их значения, при которых целевая функция достигает максимума (или минимума).

y – некоторые действительные числа, или параметры модели. В ходе решения они остаются неизменными. Параметры модели определяют вид и значения целевой функции.

Существует несколько наиболее распространенных задач линейного программирования (ЗЛП):

1) Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства)

2) Задача о составлении рациона (задача о смесях, задача о диете)

3) Задача о раскрое материалов

4) Транспортная задача

  1. Методы решения экономико-математической задачи.

Рассмотрим подробнее наиболее распространенные задачи линейного программирования (ЗЛП), а затем перейдем к задаче о составлении графика работы персонала. Начнем с задачи об использовании ресурсов:

А) Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства)

Смысл задачи: составить план продаж, исходя из имеющихся запасов,  при котором прибыль будет максимальной.

Пример. Для изготовления двух видов продукции: сырников и блинов используют три вида сырья: яйцо, мука, сахар. Запасы и количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а так же величина прибыли от реализации ед. продукции, приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Норма расхода сырья

Вид сырья

Запас сырья

Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции

Сырники

Блины

Яйцо

20

2

5

Мука

40

8

5

Сахар

30

5

6

Прибыль от единицы продукции, руб.

50

40

Для выполнения смысла задачи, обозначим черезs1 количество сырников, а черезs2 – количество блинов. Тогда целевая функция (прибыль от реализации) будет выглядеть:

Поскольку количество сырья, расходуемого на изготовление как сырников, так и блинов, не может превышать имеющихся запасов, получим систему ограничений:

Б) Задача о составлении рациона (задача о диете, о смесях)

Цель задачи: При минимальных затратах составить рацион, обеспечивающий всеми необходимыми питательными элементами.

Пример. При кормлении животные хомячок и попугай ежедневно должны получать не менее 9 ед. питательных семечек, не менее 8 ед. отрубей и не менее 12 ед. зерна. Для составления рациона используют корм для хомячков и корм для попугаев. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и стоимость 1 кг корма приведены в таблице 2.

Таблица 2

Содержание питательных веществ

Питательные вещества

Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма

Корм хомячкам

Корм попугаям

Семечки

3

1

Отруби

1

2

Зерно

1

6

Стоимость 1 кг корма, руб.

4

6

Для выполнения цели этой задачи обозначим черезk1 иk2 соответственно количество килограммов корма хомячков и корма попугаев в дневном рационе. Общую стоимость рациона можно выразить в виде линейной функции (нужно добиться минимальных затрат на дневной рацион):

Принимая во внимание значения, приведенные в таблице 2, и поставленное условие задачи о питательности дневного рациона, получаем систему ограничений:

В) Задача о раскрое материалов

Цель: определить  наиболее рациональный способ раскроя имеющихся материалов (стальной лист, полоса, круг, стекло, бревно и т.д.).

Пример. Продукция бумажной фирмы выпускается в виде бумажных рулонов стандартной ширины – по 2 метра. Фирма имеет заказы на бумажные рулоны разной ширины: 150 шт. – шириной 0,5 м, 200 шт. – шириной 0,7 м, 300 шт. – шириной 0,9 м. Существует 6 вариантов, известно количество отходов в результате раскроя каждым из шести способов, данные приведены в таблице 3.

Таблица 3

Варианты раскроя

ширина рулона

варианты раскроя

Заказанное кол-во рулонов

1

2

3

4

5

6

0,5

0

2

2

4

1

0

150

0,7

1

1

0

0

2

0

200

0,9

1

0

1

0

0

2

300

Отходы (м)

0,4

0,3

0,1

0

0,1

0,2

Обозначим переменные:

b1 – количество рулонов раскроенных первым способом

b2 – количество рулонов раскроенных вторым способом

b3 – количество рулонов раскроенных третьим способом

b4 – количество рулонов раскроенных четвертым способом

b5 – количество рулонов раскроенных пятым способом

b6 – количество рулонов раскроенных шестым способом

Целью нашей задачи будет минимизация отходов.

Целевая функция будет рассчитываться как:

Поскольку при раскрое рулона четвертым способом отходы не образуются, то значение величиныb4не будет влиять нацелевую функцию. Исходя из имеющихся заказов, получаем систему ограничений:

Г) Транспортная задача

Цель: отыскание оптимального плана перевозок с минимальными транспортными расходами.

Пример. На складе и на мебельном заводе имеется по 30 комплектов мебели. Известно, что перевозка одного комплекта со складав магазины «Мебельград», «Шатура», «Икея» стоит 1р., 3р., 5р., а стоимость перевозки в те же магазины, но уже из мебельного завода– 2р., 5р., 4р. необходимо доставить в каждый магазин по 20 комплектов мебели. Составить план перевозок так, чтобы затраты на транспортировку мебели были наименьшими.

Количество комплектов мебели, перевозимых со склада в магазины «Мебельград», «Шатура», «Икея» обозначим черезm11,m12,m13, а из мебельного завода  – черезm21,m22,m23. Тогда схема перевозок буде выглядеть следующим образом (см. таблицу 4.):

Таблица 4

Схема перевозок

в М1

в М2

в М3

Всего

отправлено

Со склада

m11

m12

m13

30

Из мебел. завода

m21

m22

m23

30

Всего получено

20

20

20

60

Целевая функция (стоимость перевозок) будет выглядеть:

Ограничения:

Глава 2. РАСЧЕТ ЗАДАЧИ О СОСТАВЛЕНИИ ГРАФИКА ПЕРСОНАЛА.

2.1 Вербальная постановка  и разработка задачи о составлении графика персонала

Очень важно правильно организовать работу предприятия для получения качественной продукции с минимальными затратами. Для этого необходимо подобрать оптимальный график работы персонала.

Рассмотрим пример: Открывается новый филиал супермаркета «Ашан» - магазин «Атак». Необходимо рассчитать численность кассиров и подобрать оптимальные графики их работы. Количество покупателей зависит от времени суток и отличается по дням недели. Магазин работает с 8-00 до 24-00 ч. Известно количество касс, необходимое для эффективного обслуживания покупателей, данные сведены в таблицу (табл.5).

Таблица 5

Потребность в кассирах

Часы работы

8-12

12-16

16-20

20-24

пн

3

5

8

3

вт

3

5

8

3

ср

3

5

8

3

чт

3

5

8

3

пт

3

5

8

5

сб

3

8

5

5

вс

3

8

5

3

По условиям задачи кассир получает заработную плату 40 у.е. в день, из расчета 8-ми часовой рабочей смены.

Для решения данной задачи определяем цель – минимизировать расходы на оплату труда кассиров. Значит, целевая функция будет вычисляться как сумма произведений числа кассиров в каждую смену на заработную плату. Переменными решения (p1,p2,p3, …p28) будет количество персонала, работающего в четырехчасовой отрезок времени. Ограничения:

, целые числа

Чтобы обеспечить наиболее комфортную для покупателей атмосферу, количество кассиров должно быть больше или равно данным, приведенным в таблице 5.

2.2 Решение задачи о составлении графика персонала с помощью программыMicrosoftExcel

Вначале создаем форму для ввода условий задачи (см. рис.1).

Рисунок 1. Форма для ввода условий

В нашей задаче оптимальные решения будут помещены в ячейках АD3: АD23. Оптимальное значение целевой функции поместим в ячейку В27.

Затем вводим исходные данные в форму. В ячейки В26:АС26 переносим данные из таблицы 2.1. Составляем 21 вариант графиков работы. Причем цифра 1 – будет обозначать работу, а 0 – отдых (см. рис. 2).

Рисунок 2. Ввод исходных данных

Введем формулу расчета количества персонала в ячейку В24:

=СУММПРОИЗВ(B3:B23;$AD3:$AD23)

Затем копируем эту формулу на диапазон ячеек С24:АС24. (см. рис.3)

Рисунок 3. Ввод формулы расчета количества персонала

Поскольку мы разделили каждый день недели на 4 отрезка времени, равных 4 часам, а зарплата кассира в смену (8 часов) составляет 40 у.е., то половинка смены будет стоить 20 у.е. Сумма в диапазоне B24:AC24 будет равняться количеству отработанных всеми работниками половинок смен. Соответственно целевая функция будет представлять собой недельный фонд оплаты труда всего персонала.

В ячейку В27 вводим формулу расчета целевой функции:

=СУММ(B24:AC24)*20

Далее запуск Поиска решения.

Устанавливаем целевую ячейку (вводим адрес ячейки целевой функции В27). Направление целевой функции «минимальному значению».

Вводим адреса искомых переменных - АD3: АD23

Далее – ограничения:

АD3: АD23 – целые, АD3: АD23 ≥ 0

Поскольку число кассиров не должно быть меньше числу, заданному условиями задачи, в соответствующий отрезок времени, то вводим ограничение: В24:АС24 ≥ В26:АС26 (см. рис. 4)

Рисунок 4. Ввод условий для поиска решений

Нажимаем «Выполнить», а затем «Cохранить найденное решение».

В итоге программаMicrosoftExcel подобрала 11 графиков работы, вычислила оптимальное количество работников (16 человек), а так же рассчитала недельный фонд оплаты труда (3200 у.е.) (см. рис. 5).

Рисунок 5. Итоговая таблица

2.3 Анализ результатов расчетов и выработка управленческого решения

Одним из важных этапов решения задач оптимизации является анализ полученных данных с последующей выработкой управленческого решения. Поскольку программаMicrosoftExcel может лишь рассчитать и предложить оптимальные варианты решения, но именно принятие решения целиком и полностью лежит на человеке, а точнее руководителе.

По условиям задачи недельный фонд оплаты труда (ФОТ), исходя из потребности в кассирах, должен быть:

Требуемый ФОТ = СУММ(B26:AC26)*20 у.е.= 2740 у.е.

То есть, по результатам решения нашей задачи, перерасход ФОТ составит 460 у.е. Сравнивая данные полученные программой и потребность магазина в кассирах по условиям задачи, видно, что в понедельник 1 кассир не будет загружен работой целую смену с 8-00 до 16-00. А в остальные дни недели некоторые работники будут загружены не полностью. Соответственно магазин понесет лишние затраты, связанные с оплатой труда в момент простоя.

С целью минимизации расходов на оплату труда, кого-то из сотрудников можно привлекать на неполный рабочий день, либо предоставлять дополнительный выходной день (например, в понедельник). Так же можно предложить использование совмещения профессий. То есть в момент полной загрузки работник выполняет функции кассира, а во время вынужденного перерыва функции (например) мерчендайзера.

Заключение

В процессе выполнения курсовой работы, мною изучены задачи линейного программировании, методы оптимальных решений.

В ходе проделанной работы было выявлено, что задачи линейного программирования являются крайне важной и актуальной частью современного управления организацией.

В данной курсовой работе был решен ряд поставленных нами задач. В заключительной главе данной работы детально рассмотрена задача о составлении графика персонала организации (график работы кассиров в гипермаркете). Мною получены практические навыки составления и решения задач линейного программирования такого типа, используя программуEXCEL (надстройку «Поиск решений»).

К сожалению, проблема оптимального планирования и организации производства все больше набирает обороты, но, к счастью, существует множество методов линейного программирования, позволяющих находить скрытых ресурсы предприятия, помогающих снизить затраты, повысить производительность труда и прибыль предприятия с достаточной точностью.Список литературы

1)  Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б.  - Математические методы и модели для менеджмента -  2-е изд., испр. и доп. СПб.: Издательство «Лань» - 2005. 528 с.

2) Зайцев М.Г. - Методы оптимизации управления для менеджеров -  М: Дело, 2002.

3) Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. - Исследование операций в экономике - М: ЮНИТИ - 2002. 407 с.

Размещено на Allbest.ru




Похожие работы, которые могут быть Вам интерестны.

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ ПРИ ПОМОЩИ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА

2. Разработка системы по учёту и ведению охранников, своевременному оповещению об аттестациях, ведению информации об объектах и составлении графика дежурств для предприятия

3. Решение задачи Бернулли о брахистохроне с учетом только сухого трения

4. Изучение вопросов наследственного права в Древнем Риме через решение арифметической задачи

5. СРЕДЫ С ПЛОСКО–ПАРАЛЕЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ РАЗДЕЛА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ЗЕРКАЛЬНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

6. Решение конкретной практической производительной задачи в области Организации перевозки и эксплуатации флота

7. Мембранные технологии – современное решение задачи улучшения качества питьевой воды для сельских районов

8. Основные приемы проектирования в Ansys, содержание программирования и его оптимальный стиль, задачи взаимодействия машин со средой, склеивание и контактирование, выбор расчетных схем и моделей

9. Решение линейного уравнения численным методом

10. Оперативное управление на основе решения задач линейного программирования