Построение однофакторной динамической модели детерминированного объекта



Лабораторная работа №1

Построение однофакторной динамической модели детерминированного объекта

Динамические процессы в детерминированных сосредоточенных стационарных объектах описываются с помощью обыкновенных линейных дифференциальных уравнений вида:

,    (1)

где – постоянные коэффициенты.

Задачей идентификации объекта является определение величины этих коэффициентов. Эта задача решается эмпирическим методом путем анализа реакции на типовые воздействия. В качестве типовых воздействий может выбираться единичное ступенчатое воздействие, единичный импульс или гармоническое колебание.

Зачастую задача поиска значений коэффициентов упрощается в связи с тем, что в правой части уравнения отличным от нуля является только последнее слагаемое, так что выражение (1) принимает вид:

,                            (2)

где .

Рассмотрим различные методы идентификации:

Ольденбурга-Сарториуса;

Андерсона;

Симою;

узловых частот.

Метод Ольденбурга-Сарториуса

Этот метод применим для устойчивого (с положительным самовыравниванием) объекта второго порядка переходной процесс в котором носит неколебательный характер.

Передаточная функция такого объекта может быть записана в виде:

                           (3)

В процессе идентификации необходимо провести измерение временной зависимости отклика на входное единичное ступенчатое воздействие (переходную характеристику) и обработать полученный график так, как показано на рис.1. Установившееся значение , отвечающее стационарному состоянию, легко определить по графику. Касательная проводится к графикув точке перегиба. Подточкой перегибапонимается такая точка на графике функцииh(t), в которой производнаяdh/dtимеет максимальное значение. Так как переходные функции многих промышленных объектов не имеют явно выраженной точки перегиба, то определение ее координат следует  осуществлять путем дифференцирования – в точке перегиба производная проходит через максимум. Поскольку дифференцирование резко усиливает влияние шума, то полученную зависимость обычно сглаживают методом скользящего среднего.

Рис. 1.

Рис. 2

Если известны координаты точки перегиба  и величина углового коэффициента касательной  (значение производной в точке максимума), то значения  могут быть найдены графически или вычислены по формулам как:

Далее определяются параметры   и .

Введем обозначения:

Можно показать, что параметры  и  связаны функциональной зависимостью вида:

.

График этой кривой показан на рис.2.  Если дополнить этот график линейной зависимостью  (прямая на рис.2), то абсциссы пересечения ее с кривой Ольденбурга – Сарториуса позволят определить постоянные времени идентифицируемого объекта −  и .

На рис.3 представлен скриншотS-модели , которая применяется при идентификации методом Ольденбурга-Сарториуса с последующей проверкой точности идентификации.

Рис.3.S-модель исследуемой системы

Расчет искомых параметров может быть выполнен в рамках следующей программы, которая записывается в пакетеMatlab как М-файл-функция:

Аргументом функции является вектор ранее определенных значений .

Заметим, что при этом величина отношения  должна быть больше, чем критическая величина α=0,736. Если она равна этому параметру, то , а если меньше, то порядок объекта выше второго.

Метод Андерсона

Этот метод также обычно используется для идентификации устойчивого объекта второго порядка, поскольку хотя и теоретически его можно использовать для определения постоянных времени объектов старших порядков, но практически это представляется громоздкой затруднительной процедурой.

Метод основан на преобразовании известного выражения для переходной функции звена:

При условии, что  постоянные  положительны. Вначале, как и в методе Ольденбурга-Сарториуса следует определить величину установившегося значенияk, а затем преобразовать график переходной функции  определив величину относительной разности между стационарным состоянием (установившимся значением) и переходной функцией −  Это выражение запишется в виде:

После логарифмирования получим:

Эта зависимость имеет вид представленный на рис. 5: Поскольку предположили, что , то первое слагаемое затухает намного быстрее второго, поэтому график линеаризуется согласно закону:

Поэтому, определив величину отсечки  по оси ординат (продолжив линейную часть зависимости до пресечения с вертикальной осью) и угловой коэффициент наклона прямой  можно вычислить параметры передаточной функции :

На рис. 4 представлен скриншотS-модели , которая применяется при идентификации методом Андерсона.

Рис.4. Метод Андерсона

Рис. 5. Идея метода Андерсона

Рис. 6. Идея метода Симою

Метод Симою

Это метод может быть использован для расчета значений коэффициентов как левой, так и правой частей дифференциального уравнения динамики (1). Этот метод получил название метода площадей, поскольку основан на вычислении площади между графиком переходной функции  и установившимся значением , которое должно быть найдено по графику. Вначале следует экспериментальную кривую разгона перестроить в относительных координатах , т.е. в диапазоне изменения − (0,1), как изображено на рис. 6. Далее вычисляются площади путем взятия определенных интегралов, причем число этих интегралов определяется порядком объекта. Для объекта 2 порядка следует рассчитать 2 интеграла:

и

а для объекта 3 порядка дополнительно вычислить:

После этого коэффициенты уравнения (1) определяются как результат решения системы линейных алгебраических уравнений  вида:

.

В случае, если все коэффициенты в правой части уравнения, кроме коэффициента , равны нулю, то эти соотношения могут быть использованы для вычисления коэффициентов знаменателя:

.

На рис. 7 представлен скриншотS-модели , которая применяется при идентификации методом Симою для объекта 2 порядка с последующей проверкой точности идентификации.

Таким образом, этим методом могут быть найдены коэффициенты передаточной функции устойчивого объекта 3 порядка , а далее постоянные времени  определены как результат решения системы уравнений:

Рис.7. Метод Симою

Метод узловых частот

Суть метода состоит в анализе реакции динамических звеньев на синусоидальное возмущение. Результаты этого анализа выражаются частотными характеристиками, по которым рассчитывают коэффициенты передач и постоянные времени. Этим методом удобно исследовать объекты порядок которых превышает 2.

Для идентификации объекта этим способом следует, определив коэффициент усиления  построить график фазочастотной характеристики его. Для построения следует подавать на вход гармонические колебания различной частоты ω, фиксировать сдвиг по времени  входных и установившихся выходных колебаний  и рассчитывать фазу φ по формуле . Общий вид построенного графика для объекта 3 порядка представлен на рис. 5.  Необходимо определить тангенс угла наклона касательной к графику  и вычислить значения узловых частот на которых график ФЧХ пересекает значения кратные .

Рис. 5.

В рассмотренном случае объекта 3 порядка параметры объекта параметры его могут быть найдены по уравнениям:

Далее можно рассчитать постоянные времени объекта.

Задание к лабораторной работе

1.Подав на вход объекта единичный ступенчатый сигнал следует выяснить каков характер объекта – устойчивый или нейтральный.

2. Если характер объекта является нейтральным, то следует измерить его импульсную переходную функцию, подав на вход единичный (по площади) высокий импульс, используя сигналы от двух смещенных ступенчатых функций Хевисайда.

3. Обработать переходную функцию  (или импульсную переходную функцию) методом Ольденбурга-Сарториуса. Найти отношениеТА/ТС. Если эта величина больше критического значения 0,736, то порядок объекта равен 2.

4. В этом случае следует определить постоянные времениТ1 иТ2 , а затем дополнительно проверить найденные результаты используя метод Андерсона.

5. Если отношениеТА/ТС. меньше критического, то порядок объекта выше второго и следует использовать другие методы для расчета его параметров – Симою и метод узловых частот, при этом, если объект нейтральный, то при использовании метода Симою, следует обрабатывать импульсную переходную функцию.




Похожие работы, которые могут быть Вам интерестны.

1. Разработка и моделирование компьютерной динамической модели робота-манипулятора с тремя степенями подвижности

2. Исследование проблемы оптимально управления в динамической односекторной экономической модели с дискретным временем и общими граничными условиями на основе метода динамического программирования

3. Построение математической модели динамики популяций

4. Построение модели информационной системы Электронный журнал

5. Построение экономической модели и определение возможностей ее использования

6. Построение управленческой модели развития аграрного вуза

7. Построение модели эндогенного экономического роста в случае гетерогенных потребителей и производителей

8. Модели экономических систем. Пути устранения несовершенств рыночного механизма в российской модели экономики

9. Исследование модели распространения вирусных атак в социальных сетях на основе эпидемиологической модели SEIR

10. Дисперсионный метод учета статической и динамической рефракции для дальномерного тракта лазерного локатора слежения